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1、专题训练二线段的计算 一、利用几何的直观性求解 1. 如图 ,C,B 在线段 AD上 , 且 AB=CD, 则 AC与 BD的大小关系是( B ) (A)ACBD (B)AC=BD (C)ACBD (D) 不能确定 2. 如图 ,A,B,C,D是直线 l 上的顺次四点 , 且线段 AC=10,BD=8,则线段 AB-CD= 2 . 3. 如图 ,AE=EB,点 F 是线段 BC的中点 ,BF=AC=1.5, 求线段 EF的长 . 解: 因为 BF= AC=1.5, 所以 AC=7.5, 因为点 F 是 BC的中点 , 所以 BC=2BF=3, 所以 AB=AC-BC=7.5-3=4.5, 因为
2、 AE= BE, 所以 AE= AB=1.5, 所以 BE=2AE=3, 所以 EF=BE+BF=3+1.5=4.5. 二、利用线段中点的性质求解 4. 已知点 C是线段 AB的中点 , 现有三个表达式: AC=BC;AB=2AC=2BC; AC=CB=AB. 其中正确的有 ( D ) (A)0 个(B)1 个(C)2 个(D)3 个 5. 如图 , 已知线段AB=80 cm,M为 AB的中点 ,P 在 MB上,N 为 PB的中点 , 且 NB=14 cm,则线段 PA的长 = 52 cm . 6. 如图 , 已知 AB=40,点 C是线段 AB的中点 , 点 D为线段 CB上的一点 ,点 E
3、为线段 DB的中 点,EB=6, 求线段 CD的长 . 解: 因为点 C是 AB的中点 , 因为 CB= AB, 因为 AB=40, 所以 CB=20 因为点 E是 DB的中点 因为 DB=2EB, 因为 EB=6, 所以 DB=12, 所以 CD=CB-DB=20-12=8. 7. 根据下列语句画图并计算. (1) 作线段 AB,在线段 AB的延长线上取点C,使 BC=2AB,M 是线段 BC的中点 , 若 AB=30 cm,求 线段 BM的长 ; (2) 作线段 AB,在线段 AB的延长线上取点C,使 BC=2AB,M 是线段 AC的中点 , 若 AB=30 cm,求 线段 BM的长 .
4、解:(1)如图 , 因为 BC=2AB, 且 AB=30 cm, 所以 BC=60 cm. 因为点 M是 BC的中点 , 所以 BM= BC=30(cm). (2) 如图 , 因为 BC=2AB, 且 AB=30 cm, 所以 BC=60 cm, 所以 AC=AB+BC=90(cm). 因为点 M是 AC的中点 , 所以 AM= AC=45(cm), 所以 BM=AM-AB=45-30=15(cm). 三、利用分类讨论思想求解 8. 点 A,B,C 在同一条数轴上, 其中点 A,B 表示的数分别为-3,1, 若 BC=2,则 AC等于 ( D ) (A)3 (B)2 (C)3或 5 (D)2
5、或 6 9. 已知线段AB=8 cm,在直线 AB上画线段BC,使它等于3 cm, 则线段 AC的长是5 cm 或 11 cm . 10. 已知 B,C 是线段 AD上的两点 , 若 AD=18 cm,BC=5 cm, 且 M,N分别为 AB,CD的中点 . (1) 求 AB+CD 的长度 ; (2) 求 M,N的距离 . 解: 情况一 : 如图 (1) 因为 AB+CD=AD-BC=18-5=13(cm). (2) 因为点 M,N分别是 AB,CD的中点 , 所以 MB+CN=(AB+CD)=6.5(cm), 所以 MN=MB+BC+CN=6.5+5=11.5(cm). 情况二 : 如图 (
6、1) 因为 AB+CD=AD+BC=18+5=23(cm). (2) 因为点 M,N分别是 AB,CD的中点 , 所以 MA+DN=(AB+CD)=11.5(cm), 所以 MN=AD-(MA+DN) =18-11.5 =6.5(cm). 四、利用方程思想求解 11. 如图 , 点 O是线段 AB=40 cm的中点 , 而点 P将线段 AB分为两部分AP PB=5 3, 求线段 OP 的长 . 解: 设 AP=5k,PB=3k, 依题意有5k+3k=40, 解得 k=5, 所以 AP=5k=25(cm), 因为点 O是 AB的中点 , 因为 AO= AB, 因为 AB=40 cm, 所以 OA
7、=20 cm, 所以 OP=AP-OA=25-20=5(cm), 故 OP的长为 5 cm. 12. 若线段 a,b,c,满足 :a b c=345, 且 a+b+c=60, 求线段 2c-3a-b 的长 . 解: 设 a=3k,b=4k,c=5k, 依题意有3k+4k+5k=60, 解得 k=5, 所以 a=15,b=20,c=25, 所以 2c-3a-b=50-45-4=1. 13. 如图 , 线段 AB被点 C,D 分成了 345 三部分 , 且 AC的中点 M和 DB的中点 N之间的距离 是 40 cm, 求 AB的长 . 解: 由比值可设AC=3x cm,CD=4x cm, DB=5
8、x cm. 因为 M是 AC的中点 , 所以 CM= AC= x cm. 因为 N是 DB的中点 , 所以 DN= DB= x cm. 因为 MN=MC+CD+DN, 又 MN=40 cm, 所以x+4x+x=40, 所以 x=5. 所以 AB=AC+CD+DB=12x =125=60(cm). 五、动态问题 14. 如图 , 线段 AB=24,动点 P从 A点出发 , 以每秒 2 个单位的速度沿射线AB运动 ,M 为 AP的中 点. (1) 点 P出发多少秒后 ,PB=2AM? (2) 点 P在线段 AB上运动时 , 试说明 2BM-BP为定值 , 并求出这个值. 解:(1)设点 P出发 x 秒后 ,PB=2AM,则 PA=2x, 因为 M为 AP的中点 , 所以 AM= AP= 2x=x. 当点 P在线段 AB上时 ,PB=AB-PA=24-2x, 则有 24-2x=2x, 解得 x=6. 当点 P在 AB的延长线上时 ,PB=2x-24, 则有 2x-24=2x, 此时无解 , 即点 P出发 6 秒后 ,PB=2AM. (2) 因为 BM=PM+PB, 所以 2BM=2(PM+PB)=2PM+2PB. 因为 M为 AP的中点 , 所以 AP=2PM, 所以 2BM=AP+2PB, 所以 2BM-BP=AP+2BP-BP=AP+BP=AB=24, 即定值为24.