三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题13不等式、推理与证明理(含解析).pdf

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1、专题 13 不等式、推理与证明 1【 2019 年高考全国I 卷理数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长 度之比是 51 2 （ 51 2 0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最 美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 若某人满足上述两个黄金分割比例， 且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A165 cm B175 cm C185 cm D190 cm 【答案】 B 【解析】方法一：如下图所示. 依题意可知： 5151 , 22 ACAB CDBC ， 腿长为 105 cm 得，即

2、105CD， 51 64.89 2 ACCD， 64.89 105169.89ADACCD， 所以AD169.89. 头顶至脖子下端长度为26 cm， 即ABb，则 Aln(a-b)0 B3 a0 Dab 【答案】 C 【解析】取2,1ab，满足ab，ln( )0ab ，知 A错，排除A ；因为9333 ab ，知 B错， 排除 B；取1 ,2ab，满足ab，12ab，知 D错，排除 D，因为幂函数 3 yx是增函数， ab，所以 33 ab，故选 C 【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理 和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断 4 【20

3、19 年高考北京卷理数】若x，y满足|1|xy，且y -1，则 3x+y的最大值为 A- 7 B1 C5 D7 【答案】 C 【解析】由题意 1 , 11 y yxy 作出可行域如图阴影部分所示. 设3,3zxy yzx, 当直线 0 :3lyzx经过点2, 1时,z 取最大值5. 故选 C 【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型, 根据“画 ?移?解”等步骤可得解. 题目难度不大 , 注 重了基础知识 ?基本技能的考查. 5 【2019 年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮 度满足m2-m1= 5 2 lg 2 1 E E ，其中星等为mk

4、的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是- 26.7 ，天狼星 的星等是 -1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A 10 10.1 B 10.1 C lg10.1 D 10 10.1 【答案】 A 【解析】两颗星的星等与亮度满足 1 21 2 5 lg 2 E mm E , 令 21 1.45,26.7mm, 10.111 21 22 22 lg( 1.4526.7)10.1,10 55 EE mm EE . 故选： A 【名师点睛】本题以天文学问题为背景, 考查考生的数学应用意识?信息处理能力 ?阅读理解能力以及指 数对数运算 . 6 【 2019 年高考天津卷理数】设变量 ,

5、x y满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy xy x y ，则目标函数 4zxy的最大值 为 A2 B3 C5 D6 【答案】 D 【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线4yxz在y轴上的截距， 故目标函数在点 A处取得最大值 . 由 20, 1 xy x ，得( 1,1)A， 所以 max 4( 1)15z. 故选 C. 【名师点睛】 线性规划问题， 首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线， 其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距 离等等，最后结合图形确定目标函数最

6、值或范围即：一画，二移，三求 7 【2019 年高考天津卷理数】设 xR，则“ 2 50xx ”是“|1|1x”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】化简不等式，可知05x推不出 11x ， 由11x能推出 05x ， 故“ 2 50xx ”是“|1|1x”的必要不充分条件， 故选 B. 【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件. 8【 2019 年高考浙江卷】若实数 , x y 满足约束条件 340 340 0 xy xy xy ，则 32zxy的最大值是 A1B 1 C 10 D 12 【

7、答案】 C 【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。 因为 32zxy，所以 31 22 yxz. 平移直线 31 22 yxz可知，当该直线经过点A时，z取得最大值 . 联立两直线方程可得 340 340 xy xy ，解得 2 2 x y . 即点A坐标为 (2,2)A ， 所以 max 322210z. 故选 C. 【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细. 往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确 程度，也有可能在解方程组的过程中出错. 9【 2019 年高考浙江卷】若0,0ab，则“4ab”是“4ab”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充

8、分也不必要条件 【答案】 A 【 解 析 】 当 0, 0a b 时 ， 2aba b当 且 仅 当a b时 取 等 号 ， 则 当4ab时 ， 有 24abab，解得4ab，充分性成立； 当=1, =4ab时， 满足 4ab ， 但此时=54a+b， 必要性不成立， 综上所述， “ 4ab ”是“ 4ab ” 的充分不必要条件. 【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋 值法”，通过特取,a b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 10【 2018 年高考全国I 卷理数】已知集合 2 20Ax xx ，则 A R e A12xx B12x

9、x C |1|2x xx xD|1|2x xx x 【答案】 B 【解析】解不等式 0得1或，所以1或，所以可以求得 | 12AxxR e，故选 B 11 【 2018 年高考全国III卷理数】设 0.2 log0.3a， 2 log 0.3b，则 A0ababB0abab C0ababD0abab 【答案】 B 【解析】 0.2 log0.3a ，2 log 0.3b ， .0.3030.2 11 log,lo2g ab ， 0.3 11 lo0.g4 ab ， 0 11 1, 即01，又00，0，即0，故选 B. 12 【 2018 年高考天津卷理数】设变量,x y满足约束条件 5 24

10、1 0 xy xy xy y ， ， ， ， 则目标函数35zxy的最大值为 A6 B 19 C21 D 45 【答案】 C 【解析】绘制不等式组 5 24 1 0 xy xy xy y ， ， ， 表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函 数在点A处取得最大值，联立直线方程得 5 1 xy xy ，可得点A的坐标为2,3A，据此可知目标函 数的最大值为： max 353 25321zxy. 本题选择C选项 . 【名师点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0 时，直线过可行域且在y轴上截距 最大时，z值最大， 在y轴截距最小时，z值最小； 当b0 时，直线过可行域

11、且在y轴上截距最大时， z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大 . 13【 2018 年高考天津卷理数】设xR，则“ 11 | 22 x”是“ 3 1x”的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】绝对值不等式 11111 01， 由 11. 据此可知 11是 1的充分而不必要条件. 故选 A. 【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 14 【 2018 年高考北京卷理数】设集合( , ) |1,4,2,Ax yxyaxyxay则 A对任意实数a， (2,1)AB对任

12、意实数a， （2，1）A C当且仅当a0 时， （2，1）AD当且仅当 3 2 a时， （2，1）A 【答案】 D 【解析】点（ 2，1）在直线1xy上，4axy表示过定点（ 0，4），斜率为a的直线，当0a 时，2xay表示过定点（2， 0），斜率为 1 a 的直线，不等式2xay表示的区域包含原点，不 等式4axy表示的区域不包含原点. 直线4axy与直线2xay互相垂直. 显然当直线 4axy的斜率0a时，不等式4axy表示 的区域不包含点（2，1），故排除 A；点（ 2，1） 与点（ 0，4）连线的斜率为 3 2 ，当 3 2 a，即 3 2 a时，4axy表示的区域包含点（2，1），

13、 此时2xay表示的区域也包含点（2，1），故排除 B；当直线4axy的斜率 3 2 a，即 3 2 a 时，4axy表示的区域不包含点（2，1），故排除 C，故选 D. 【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，考查考生的数形结合思想、化归与转化思想以及逻辑推理 能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算. 15 【 2017 年高考全国I 卷理数】设x、y、z为正数，且235 xyz ，则 A2x3y5zB 5z2x3y C3y5z2xD 3y2x5z 【答案】 D 【解析】令235(1) xyz k k，则 2 logxk， 3 logyk， 5 logzk 22lglg 3lg

14、 9 1 3lg 23lglg8 xk yk ，则23xy， 22lglg5lg 25 1 5lg 25lglg32 xk zk ，则25xz，故选 D. 【名师点睛】 对于连等问题， 常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的 , ,x y z， 通过作差或作商进行比较大小. 对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0 与 1 的对数表示 . 16【 2017 年高考全国II卷理数】设x，y满足约束条件 2330 2330 30 xy xy y ，则2zxy的最小值是 A15B9 C1D9 【答案】 A 【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示

15、，目标函数即：2yxz，其中z表 示斜率为2k的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点( 6, 3)B处取 得最小值， min 2()3)56(1z，故选 A 【名师点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0 时，直线过可行域且在y轴上截距 最大时，z值最大， 在y轴截距最小时，z值最小； 当b0 时，直线过可行域且在y轴上截距最大时， z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大 17 【 2017 年高考全国II卷理数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说： 你们四人中有2 位优秀， 2位良好， 我现在给甲看乙、丙的成绩， 给乙看丙的成绩，

16、给丁看甲的成绩看 后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则 A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】 D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩 则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩故选D 【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能 帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理仅 是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的

17、结论一定正确( 前提和推理形式 都正确的前提下) 18【 2017 年高考北京卷理数】若x，y满足 3 2 x xy yx ， ， ， 则x + 2y的最大值为 A1 B 3 C5 D 9 【答案】 D 【解析】如图，画出可行域， 2zxy表示斜率为 1 2 的一组平行线，当2zxy过点3, 3C时，目标函数取得最大值 max 3239z，故选 D. 【名师点睛】 本题主要考查简单的线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域， 将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求常见的目标函数类型 有： （1）截距型：形如zaxby. 求这类目标函数的最值时常将

18、函数zaxby转化为直线的斜截 式 ： az yx bb ， 通 过 求 直 线 的 截 距 z b 的 最 值 间 接 求 出z的 最 值 ； （ 2） 距 离 型 ： 形 如 22 zxayb； （3）斜率型：形如 yb z xa ，而本题属于截距形式. 19【 2017 年高考天津卷理数】设变量, x y满足约束条件 20, 220, 0, 3, xy xy x y 则目标函数zxy的最大值 为 A 2 3 B1 C 3 2 D3 【答案】 D 【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由zxy得yxz， 作出直线 yx， 平移使之经过可行域，观察可知，最优解在(0,3)B处取

19、得，故 max 033z ，选 D. 【名师点睛】 线性规划问题有三类：简单的线性规划， 包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值， 有时考查斜率型或距离型目标函数；线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数的取值范 围；线性规划的实际应用 20【 2017 年高考浙江卷】若x，y满足约束条件 0 30 20 x xy xy ，则2zxy的取值范围是 A0 ，6 B0 ，4 C6 ，) D4 ，) 【答案】 D 【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D 【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式 0

20、AxByC转化为ykxb（或ykxb） ，“”取下方，“”取上方，并明确可行域对 应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的 截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值 取法、值域范围 21 【 2017 年高考山东卷理数】若，且，则下列不等式成立的是 AB CD 【答案】 B 【解析】因为0ab，且1ab，所以 1 2 11 2log () a b aabaab bb ，所以选B. 【名师点睛】比较幂或对数值的大小, 若幂的底数相同或对数的底数相同, 通常利用指数函数或对数函 数单调性进行比较, 若底

21、数不同 , 可考虑利用中间量进行比较. 本题虽小， 但考查的知识点较多，需灵活 利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断. 22【2017年高考天津卷理数】 已知奇函数( )f x 在 R上是增函数，( )( )g xxf x 若 2 ( l o g5 . 1 )ag ， 0.8 (2)bg， (3)cg，则a，b，c的大小关系为 A abcB cba C bacD bca 0ab1ab 2 1 log 2 a b aab b 2 1 log 2 a b aba b 2 1 log 2 a b aab b 2 1 log 2 a b aba b 22 1,01,1,log ()log

22、21, 2 a b ababab 【答案】 C 【解析】因为( )f x是奇函数且在R上是增函数，所以当 0x 时，( )0f x， 从而( )( )g xxf x是R上的偶函数， 且在0,)上是增函数， 22 (log 5.1)(log 5.1)agg， 0.8 22 ， 又45.18，则 2 2log 5.13 ， 所以 0.8 2 02log 5.13， 0.8 2 (2)(log 5.1)(3)ggg， 所以bac，故选 C 【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数， 借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要

23、特别关注灵活利用 函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式 23 【 2019 年高考全国II卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）半正 多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2 是一个 棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半 正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空2 分，第二空3 分） 【答案】 26， 21 【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9

24、 个面，计18 个面，第二层共 有 8个面，所以该半正多面体共有18826个面 如图，设该半正多面体的棱长为x，则ABBEx，延 长CB与FE交于点G，延长BC交正方体棱 于H，由半正多面体对称性可知， BGE 为等腰直角三角形， 22 ,2(21)1 22 BGGECHxGHxxx ， 1 21 21 x， 即该半正多面体棱长为 21 【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实 很简单，稳中求胜是关键立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形 24 【 2019 年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水

25、果中有草莓、京白梨、 西瓜、桃，价格依次为60 元/ 盒、65 元/ 盒、 80 元/ 盒、 90 元 /盒为增加销量，李明对这四种水果进行 促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到 支付款的80% 当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付 _元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 _ 【答案】 130 ； 15. 【解析】（1）10x, 顾客一次购买草莓和西瓜各一盒, 需要支付608010130元. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元, 120y元时 , 李明得到的金额

26、为80%y, 符合要求 . 120y元时 , 有80%70%yxy恒成立 ,即87 , 8 y yxy x, 即 min 15 8 y x元 . 所以x的最大值为 15 . 【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质?数学的应用意识?数学式子变形与运算求解能力, 以实 际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 25 【 2019 年高考天津卷理数】设0,0,25xyxy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为 _ 【答案】 4 3 【解析】方法一： (1)(21)221266 2 xyxyyxxy xy xyxyxyxy . 因为0,0,25xyxy， 所以2

27、522xyxy， 即 525 2,0 28 xyxy，当且仅当 5 2 2 xy时取等号成立. 又因为 66 22 24 3xyxy xyxy ，当且仅当 6 2xy xy ，即=3xy时取等号，结合 25 8 xy可知， xy可以取到 3，故 (1)(21)xy xy 的最小值为4 3. 方法二：0,0,25,xyxy 0,xy (1)(21)221266 22 12=43 xyxyyxxy xy xyxyxyxy . 当且仅当3xy时等号成立， 故 (1)(21)xy xy 的最小值为4 3. 【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立. 26 【 2018 年高考全国I

28、卷理数】若x，y满足约束条件 220 10 0 xy xy y ，则32zxy 的最大值为 _ 【答案】 6 【解析】根据题中所给的约束条件 220 10 0 xy xy y ，画出其对应的可行域，如图所示： 由32zxy可得 31 22 yxz，画出直线 3 2 yx，将其上下移动，结合 2 z 的几何意义，可知 当直线过点B时，z取得最大值， 由 220 0 xy y ，解得2,0B，此时 max 3206z，故答案为6. 【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应 的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移

29、，判断哪个 点是最优解， 从而联立方程组， 求得最优解的坐标，代入求值， 要明确目标函数的形式大体上有三种： 斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解. 27【2018年高考全国 II 卷理数】若 , x y满足约束条件 250 230 50 xy xy x ， ， ， 则z xy的最大值为 _ 【答案】 9 【解析】不等式组 250 230 50 xy xy x ， ，表示的可行域是以 5,4 ,1,2 ,5,0ABC 为顶点的三角形区域， 如下图所示，目标函数zxy的最大值必在顶点处取得，易知当 5,4xy 时， max 9z. 【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，

30、主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束 条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等. 28 【 2018 年高考浙江卷】若, x y满足约束条件 0, 26, 2, xy xy xy 则3zxy 的最小值是 _，最大值 是_ 【答案】 -2,8 【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以（2，2），（ 1，1），（ 4，- 2）为顶点的三角形 及其内部区域，如图所示. 由线性规划的知识可知，目标函数3zxy 在点（ 2，2）处取得最大值， 在点（ 4，- 2）处取得最小值，则最小值 min 462z，最大值 max 268z. 【名师点睛】本题主要考查简单的线性

31、规划，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学 核心素养是数学运算、直观想象. 29 【 2018 年高考北京卷理数】若,y满足12xyx，则 2y-?最小值是_. 【答案】 3 【解析】作出可行域，如图，则直线2zyx过点A(1,2)时，z取最小值3. 【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想. 需要注意的是： 一、准确无误地作出可行域； 二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错； 三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 解本题时，先作出可行域，再根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法. 30

32、 【 2018 年高考天津卷理数】已知,a bR，且360ab，则 1 2 8 a b 的最小值为 . 【答案】 1 【解析】由60可知6，且 1 8 ， 因为对于任意x，0恒成立，结合基本不等式的结论可得： 6 1. 当且仅当 6 ，即 1 时等号成立 . 综上可得 1 8的最小值为 1. 【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式： 22 ,2a bababR，当且仅当ab时取等号； ,a bR ， 2abab，当且仅当ab时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的 条件，同时求最值时注意“1的妙用” 31 【2018 年高考江苏卷】在ABC中，角, ,A B C所对的

33、边分别为, ,a b c，120ABC，ABC 的平分线 交 AC 于点D，且1BD，则 4ac 的最小值为 _ 【答案】 9 【解析】由题意可知，, 由角平分线性质和三角形面积公式得 1 1 0 1 160 1 160 ，化简得 11 1， 因此 11 当且仅当时取等号，则的最小值为. 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中 “正”（即条件要求字母为正数）、“定”不等式的另一边必须为定值）、“等（等号取得的条件）的 条件才能应用，否则会出现错误. 32 【 2017 年高考全国I 卷理数】设x，y满足约束条件 21 21 0 xy xy x

34、y ， ， ， 则32zxy的最小值为 . 【答案】5 【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 易求得 111 1 ( 1,1), (,),(, ) 333 3 ABC， 由32zxy得 3 22 z yx在y轴上的截距越大，z就越小， 所以，当直线32zxy过点A时，z取得最小值， 所以z的最小值为3( 1)2 15. 【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：直线型，转化成斜截式 比较截距，要注意z前面的系数为负时，截距越大，z值越小；分式型，其几何意义是已知点与未 知点的斜率；平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；绝对值 型，转化后其几

35、何意义是点到直线的距离. 33【 2017 年高考全国III卷理数】若x，y满足约束条件 0 20 0 xy xy y ，则34zxy的最小值为 _. 【答案】1 【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示. 目标函数即 31 44 yxz，易知直线 31 44 yxz在y轴上的截距最大时，目标函数 34zxy取得 最小值，数形结合可得目标函数34zxy在点1,1A处取得最小值，为 min 3 1 4 11z. 【名师点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0 时，直线过可行域且在y轴上的截距 最大时，z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；当b0 时，直线过可行域且在

36、y轴上的截距最 大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大 . 34 【 2017 年高考天津卷理数】若,a bR，0ab，则 44 41ab ab 的最小值为 _ 【答案】 4 【解析】 4422 414111 42 44 aba b abab abababab ， （前一个等号成立的条件是 22 2ab ， 后一个等号成立的条件是 1 2 ab，两个等号可以同时成立，当且仅当 22 22 , 24 ab时取等号） 【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式： 22 ,2a bababR，当且仅 当ab时取等号；,a bR ，2abab，当且仅当ab时取等号解题时要注意公式

37、的适 用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1 的妙用” 35 【 2017 年高考北京卷理数】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai 的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工 人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3. 记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 _. 记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是 _. 【答案】 1 Q 2 p 【解析】作图可得 11 A B中点的纵坐标比 2233 ,A BA B中点的纵坐标大，所以Q 1

38、，Q2，Q3中最大的是 1 Q， 分别作 123 ,B BB关于原点的对称点 123 ,BBB ，比较直线 112233 ,A BA BA B的斜率（即为第i名工人 在这一天中平均每小时加工的零件数），可得 22 A B最大，所以p1，p2，p3中最大的是 2. p 【名师点睛】 本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第i名工 人加工总的零件数是 ii AB，比较总的零件数的大小，即可转化为比较 2 ii AB 的大小，而 2 ii AB 表 示 ii A B中点连线的纵坐标，第二问也可转化为 ii A B中点与原点连线的斜率. 36【 2017 年高考北京卷理

39、数】能够说明“设a，b，c是任意实数若abc，则a+bc”是假命题的 一组整数a，b，c的值依次为 _. 【答案】 -1，- 2，- 3（答案不唯一） 【解析】123, 1233，矛盾，所以- 1，- 2， -3 可验证该命题是假命题. 【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时利用赋值的方式举反 例进行验证，答案不唯一 37 【 2017 年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买x吨，运费为6 万元 / 次，一年的总 存储费用为 4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是 _ 【答案】 30 【解析】 总费用为 600900 464(

40、)42 900240xx xx ，当且仅当 900 x x ，即 30x 时等 号成立 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式 中“正” ( 即条件要求中字母为正数) 、 “定” ( 不等式的另一边必须为定值)、 “等” ( 等号取得的条件) 的条件才能应用，否则会出现错误 38 【 2017 年高考上海卷】不等式 1 1 x x 的解集为 _ 【答案】,0 【解析】由题意，不等式 1 1 x x ，得 11 1100x xx ，所以不等式的解集为,0. 【名师点睛】本题考查解不等式，能正确化简不等式是解决该题的关键. 39 【 2017 年高考山东卷理数】已知 , x y满足 30 350 30 xy xy x ，则2zxy的最大值是 _ 【答案】5 【解析】 由约束条件可画出如图阴影部分可行域，则当 2zxy 经过点 A时，取最大值， 将 3x 代 入 350xy 得 4y ，即 ( 3,4)A ，所以 2zxy 的最大值为3245z. 【名师点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0 时，直线过可行域且在y轴上的截 距最大时，z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；当b0 时，直线过可行域且在y轴上的截 距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大 .