《三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题11平面向量理(含解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题11平面向量理(含解析).pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题 11 平面向量 1 【 2019 年高考全国I 卷理数】已知非零向量a，b满足| 2|ab，且()abb，则a与b的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】 B 【解析】因为()ab b， 所以 2 ()abba bb=0， 所以 2 a bb， 所以cos= 2 2 |1 2 |2 a bb abb ， 所以a与b的夹角为 3 ，故选 B 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹 角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 0, 2 【 2019 年高考全国II卷理数】已知 AB =(2,3) ， AC =(3，t) ，
2、 BC =1，则 AB BC = A- 3 B- 2 C2 D3 【答案】 C 【 解 析 】 由(1,3)BCACABt， 22 1(3)1BCt， 得3t， 则(1, 0 )BC， (2,3) (1,0)2 1302AB BC故选 C 【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大 3【2019 年高考北京卷理数】 设点A，B，C不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| |ABACBC” 的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】 AB 与 AC 的夹角为锐角，所以 2222 |2|2ABACA
3、B ACABACAB AC，即 22 |ABACACAB，因为 ACABBC ，所以 | AB + AC | BC | ； 当| AB + AC | BC | 成立时， | AB +AC| 2| AB - AC | 2 AB ? AC 0，又因为点A，B，C不共线， 所以 AB 与 AC 的夹角为锐角 . 故“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC | BC | ”的充分必要 条件 , 故选 C 【名师点睛】 本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模?夹角与数量积 , 同时考查了转化与化归数学 思想 . 4 【 2018 年高考全国I 卷理数】在 ABC 中， AD为BC 边
4、上的中线， E为AD 的中点，则 EB A 31 44 ABACB 13 44 ABAC C 31 44 ABACD 13 44 ABAC 【答案】 A 【解析】根据向量的运算法则，可得 111111 222424 BEBABDBABCBABAAC 11131 24444 BABAACBAAC，所以 31 44 EBABAC. 故选 A. 【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的 三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5 【 2018 年高考全国II卷理数】已知向量 a， b满足 | |1a，1
5、a b，则(2)aab A4 B3 C2 D0 【答案】 B 【解析】因为 22 222|12 13aabaa ba所以选 B. 【名师点睛】已知非零向量 11 (,)xya， 22 (,)xyb： 几何表示坐标表示 模 |a|=a a 22 11 xya 夹角 cos a b ab 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 6 （ 2018 年高考浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为 3 ，向量 b满足b 2- 4e b+3=0，则 |a-b| 的最小值是 A 3- 1 B 3+1 C2 D2- 3 【答案】 A 【解析】设，则由得， 由
6、b 2- 4e b+3=0 得 因此 |a-b| 的最小值为圆心到直线的距离 2 3 = 3 2 减去半径1，为选 A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的 选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 7 【 2018 年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，,120 ,ABBC ADCDBAD 1,ABAD若点E为边CD上的动点，则AE BE的最小值为 A 21 16 B 3 2 C 25 16 D3 【答案】 A 【解析】 连接AD, 取AD中点为O, 可知 ABD 为等腰三角形， 而
7、,ABBC ADCD ，所以 BCD 为 等边三角形， 3BD . 设 01DEtDCt AE BE 22 3 2 ADDEBDDEAD BDDEADBDDEBD DEDE = 233 3 22 tt01t 所以当 1 4 t时，上式取最大值 21 16 ，故选 A. 【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用 基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值. 8 【 2018 年高考北京卷理数】设a，b均为单位向量，则“33abab ”是“ab”的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】
8、2 2 2 222 699+63333aababababa bbaa bb ，因为a，b均 为单位向量，所以2222 699+6=0aa bbaa bba b ab，即“33abab ”是“a b”的充分必要条件. 故选 C. 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法 1定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“p?q”为 真，则p是q的充分条件 2等价法：利用p?q与非q? 非p，q?p与非p? 非q，p?q与非q? 非p的等价关系，对于 条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法 3集合法： 若A? B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件； 若AB，则A是B
9、的充要条件 9【2017 年高考全国III卷理数】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆 上. 若APABAD，则的最大值为 A3 B22 C5D2 【答案】 A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系. 设0,1 ,0,0 ,2,0 ,2,1 ,ABCDP x y， 易得圆的半径 2 5 r，即圆C的方程是 2 24 2 5 xy， ,1 ,0, 1 ,2,0APx yABAD，若满足APABAD， 则 2 1 x y ，,1 2 x y，所以1 2 x y， 设1 2 x zy，即10 2 x yz，点,P x y在圆 2 24 2 5 xy上， 所以圆心
10、(2 0),到直线10 2 x yz的距离dr，即 2 2 15 1 4 z ，解得13z， 所以z的最大值是3，即的最大值是3，故选 A 【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、 减或数乘运算 . （2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量 的形式，再通过向量的运算来解决. 10 【2017 年高考全国II卷理数】已知ABC是边长为2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 ()PAPBPC的最小值是 A2B 3 2 C 4 3 D1 【答案】 B 【解析】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分
11、线 DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系， 则(0,3)A，( 1,0)B，(1,0)C， 设(,)P x y， 所 以(,3)PAxy，( 1,)PBxy， (1,)PCxy，所以( 2 ,2 )PBPCxy， 22 ()22 ( 3)22(PAPBPCxyyxy 2 333 ) 222 ，当 3 (0,) 2 P时，所求的最小值为 3 2 ，故选 B 【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路： “形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面 图形的特征直接进行判断； “数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值
12、与值域、不等式的解集、 方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决 11 【2017 年高考北京卷理数】设m , n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0m n”的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】若0，使mn，则两向量 ,m n反向，夹角是 180，那么cos180m nm n 0m n ；若0m n，那么两向量的夹角为 90 ,180 ，并不一定反向，即不一定存在负数， 使得mn，所以是充分而不必要条件，故选A. 【名师点睛】【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若,pq qp，那么 p
13、是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若pq，那么p，q互为充要条件；若 ,pq qp，那么就是既不充分也不必要条件. （2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关 系，已知:,p xA :q xB, 若AB，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若AB，那么 p，q互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件. （3）命题的等价性，根据 互为逆否命题的两个命题等价，将 p是q条件的判断，转化为q是p条件的判断 . 12 【2019 年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且ab=0，若 25cab，则cos ,a c _. 【答案】 2 3
14、【解析】因为 25cab，0a b ， 所以 2 25a caa b2， 222 | |4| |4 55|9caa bb，所以 |3c， 所以cos,a c 22 1 33 a c a c 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用 转化思想得出答案 13【2019 年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点 E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAE_ 【答案】1 【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30，2 3,5,ABAD则(23,0)B， 5 3 5 (,) 22 D . 因为ADBC，30BAD，
15、所以30ABE， 因为AEBE，所以30BAE， 所以直线 BE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 (2 3) 3 yx， 直线AE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 3 yx. 由 3 (2 3), 3 3 3 yx yx 得3x， 1y ， 所以( 3,1)E. 所以 3 5 (,) ( 3,1)1 22 BD AE . 【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标 方法更为方便. 14 【2019 年高考江苏卷】 如图， 在 ABC 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O. 若 6AB ACAO EC ，则 AB AC
16、的值是 _ 【答案】 3. 【解析】如图，过点D作DF/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD 3 63 2 AO ECADACAEABACACAE， 22 31311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC 2222 32113 23322 AB ACABACAB ACABACAB AC， 得 22 13 , 22 ABAC即3,ABAC故3 AB AC 【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素 养. 采取几何法，利用数形结合和方程思想解题. 15 【2019 年高考浙江卷】已知正方
17、形 ABCD的边长为 1，当每个(1,2,3,4,5,6) i i取遍时， 123456 |ABBCCDDAACBD的最小值是 _；最大值是 _ 【答案】 0；2 5. 【解析】以, AB AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图. 则(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1),(1,1),( 1,1)ABBCCDDAACBD, 令 22 12345613562456 yABBCCDDAACBD0 0. 又因为(1,2,3, 4,5,6) i i可取遍1， 所以当 134562 1,1时，有最小值 min 0y. 因为 135 和 245 的取值不相关， 6 1或 6 1， 所以当
18、 135 和 245 分别取得最大值时，y有最大值， 所以当 125634 1,1时，有最大值 22 max 24202 5y . 故答案为0；2 5. 【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道 向量和不等式的综合题. 16【 2018年高考全国III卷理数】已知向量 = 1,2a ，= 2, 2 b ，= 1, c 若 2ca +b ， 则_ 【答案】 1 2 【解析】由题可得24,2ab， 2ca+ b ， = 1,c ，420，即 1 2 ，故答案为 1 2 . 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.
19、 解题时，由两 向量共线的坐标关系计算即可. 17 【2018 年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点1 0A，、2 0B，E、F是y轴上的两个动 点，且|2EF，则AE BF的最小值为 _ 【答案】 -3 【解析】根据题意，设E（0，a） ，F（0，b） ； 2EFab； a=b+2，或b=a+2； 且 1,2,AEaBFb， ； 2AE BFab； 当a=b+2时， 2 2222AE BFbbbb； b 2+2b 2的最小值为84 3 4 ； AE BF的最小值为3，同理求出b=a+2 时，AE BF的最小值为3 故答案为：3 【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向
20、量的坐标，以及向量坐标的数量 积运算，二次函数求最值的公式 18 【2018 年高考江苏卷】 在平面直角坐标系xOy中，A为直线:2lyx上在第一象限内的点，5,0B， 以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若0AB CD，则点A的横坐标为 _ 【答案】 3 【解析】设,2(0)A aaa，则由圆心C为AB中点得 5 , 2 a Ca易得 :520Cxxay ya，与 2yx联立解得点 D的横坐标 1, D x所以1,2D. 所以 5 5, 2,1,2 2 a ABaaCDa， 由 0AB CD 得 25 51220,230,3 2 a aaaaaa或1a， 因为0a，所以3.a 【名师点睛】
21、以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程 等相结合的一类综合问题. 通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解 决这类问题的一般方法. 19 【2017 年高考全国I 卷理数】 已知向量a，b的夹角为6 ，|a|=2，|b|=1 ，则|a+2b|=_ 【答案】2 3 【解析】方法一： 222 |2|44 |442 1cos60412abaa bb， 所以|2 |122 3ab. 方法二：利用如下图形，可以判断出2ab的模长是以2 为边长，一夹角为6 的菱形的对角线的长 度，则为2 3. 【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用
22、到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积 的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做 这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度. 20【 2017 年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量 OA，OB ，OC的模分别为1，1， 2 ，OA与 OC 的夹角为， 且t a n=7，OB与OC的夹角为 5 若O C m O A n O B( ,)m nR ， 则mn _ 【答案】 3 【解析】由tan7可得 72 sin 10 ， 2 cos 10 ，根据向量的分解， 易得 cos45cos2 sin45sin0 nm nm ，即 22 2 21
23、0 27 2 0 210 nm nm ，即 510 570 nm nm ，即得 57 , 44 mn ， 所以3mn 【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的 结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题 （2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问 题通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法 （3）向量的两个作用：载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟 悉的数学问题；工具作用，利用向量可解决一些垂直、平
24、行、夹角与距离问题 21 【2017 年高考天津卷理】 在 ABC 中，60A，3AB，2AC若 2B DDC ，AE AC ()ABR，且 4ADAE ，则的值为 _ 【答案】 3 11 【解析】由题可得 12 3 2cos603, 33 AB ACADABAC， 则 12 () 33 ADAEABAC 2123 ()34934 333311 ACAB 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利 用向量的定比分点公式表示向量，则可获解本题中,AB AC已知模和夹角，作为基底易于计算数量 积 22 【2017 年高考山东卷理数】已知 12 ,e e
25、是互相垂直的单位向量，若与的夹角为60，则 12 3ee 12 ee 实数的值是 _ 【答案】 3 3 【解析】 22 1212112122 ( 3) ()333eeeeeeee ee， 222 12121122 |3|(3)32 32eeeeeeee， 22222 12121122 |()21eeeeeeee， 22 32 1cos601，解得 3 3 【名师点睛】 （1）平面向量a与b的数量积为|cosa bab，其中是a与b的夹角，要注意夹 角的定义和它的取值范围：. （2）由向量的数量积的性质有|aa a，cos | a b ab ，0a bab，因此，利用平面向 量的数量积可以解决与
26、长度、角度、垂直等有关的问题 （3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于的方程求 解. 23 【2017 年高考浙江卷】已知向量a，b满足1,2,ab则abab的最小值是 _，最大值 是_ 【答案】 4，2 5 【解析】设向量,a b的夹角为，则 22 122 12 cos54cosab， 22 122 1 2 cos54cosab， 则54cos54cosabab， 令54cos54cosy，则 22 102 25 16cos16,20y， 据此可得： maxmin 202 5,164abababab， 即abab的最小值是4，最大值是2 5 【名师点睛】本题通过设向量,a b的夹角为，结合模长公式，可得54cosabab 0180 54cos ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理 能力有一定的要求