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1、中学数学教师招聘考试专业基础知识试卷（二） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1. 设BA,是非空集合，定义BA=BAxx且BAx ，己知20xxA 0yyB，则BA等于（） A(2， +) B0 ，1 2 ，+) C0 ， 1) (2，+) D0,1(2，+) 2 某林场有树苗30000 棵，其中松树苗4000 棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样 的方法抽取一个容量为150 的样本，则样本中松树苗的数量为（） A25 B30 C15 D20 3已知 1 sin() 43 ，则cos() 4 的值等于（） A 22
2、 3 B.- 2 2 3 C. 1 3 D.- 1 3 4如果复数 2 12 bi i （其中i为虚数单位，bR）的实部和虚部互为相反数，则b等于 ( ) A 2 3 B 2 3 C2 D2 5已知三个平面,，若，且与相交但不垂直， ,a b分别为,内的直线，则（） A,aa B,/aa C,bbD,/bb 6右图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720S， 则在判断框中应填入关于k的判断条件是（） A6?kB 7?k C 8?k D9?k 7设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向量积”：ab是一个向量，它的模 sinabab，若3, 1 ,1, 3ab，则ab（） A3B 2 C2 3D
3、4 8过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点作斜率为-1 的直线 , 该直线与双曲线的两条 渐近线的交点分别为B,C. 若 1 2 ABBC, 则双曲线的离心率是 ( ) A.2 B.3 C.5 D.10 9设数列 an的前 n 项和为Sn，令 12n n SSS T n ，称 Tn为数列a1,a2, ,an的“理 第 6 题 想数” . 已知a1,a2,a500的 “理想数”为 1002， 那么数列 3,a1,a2, .a500的 “理想数”为 ( ) A1005 B1003 C1002 D999 10函数 2 2 1 ln)(xxxf的图象大致是 ( ) ABCD
4、二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分 11某大学对1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如 下图所示，现规定不低于70 分为合格，则合格人数是 12. 某几何体的三视图( 单位 :cm) 如下图 , 则这个几何体的体积为_cm 3 . 13观察等式 15 55 15973 999 15913115 13131313 1591317157 1717171717 6, 22 , 22 , 22 , CC CCC CCCC CCCCC 由以等式推测到一个一般的结论： 对于 *15941 41414141 , n nnnn nNCCCC=_. 14.
5、 已知 AOB,点 P在直线 AB上, 且满足2,OPtOBtPA tR, 则 PA PB =_ 2 33 1 1 2 2 正视图 侧视图 俯视图 第 12 题 第 11 题 x x x x yyy y O O O O A BM FE D C G 15若不等式组 0 0 24 x y yxs yx 表示的平面区域是一个三角形，则 s的取值范围是 16. 在一次招聘口试中，每位考生都要在5 道备选试题中随机抽出3 道题回答，答对其中2 道题即为及格，若一位考生只会答5 道题中的3 道题，则这位考生能够及格的概率 为 . 17. 设函数)(),(xgxf的定义域分别为 gf DD , 且 gf D
6、D , 若)()(,xfxgDx f , 则 函数)(xg为)(xf在 g D上的一个延拓函数. 已知( )2 (0) x f xx,上在是Rxfxg)()(的 一个延拓函数 , 且)(xg是奇函数 , 则)(xg=_ 三、解答题（本大题共5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18 （本小题满分14 分） 已知函数 21 ( )3 sincoscos 4442 xxx f x （1）求)(xf的周期和及其图象的对称中心； （2）在 ABC中，角 A、B、C的对边分别是abc、 、，满足,coscos)2(CbBca求函 数)(Af的取值范围 . 19 ( 本小题满分1
7、4 分) 一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中正视图与俯视图均为矩形，侧视图是等腰 直角三角形，M、G分别是AB、DF的中点 . (1) 求证：CM平面FDM； (2) 在线段AD上确定一点P，使得GP平面FMC，并给出证明； （3 求直线 DM 与平面 ABEF所成角。 20. （本小题满分14 分） 数列 n bNn是递增的等比数列，且4,5 3131 bbbb. 俯视图 正视图侧视图 a 2a 2a a a a ( ) 求数列 n b的通项公式 ; ( ) 若3log2 nn ba, 求证数列 n a是等差数列 ; ( ) 若 32 2 1 aaa 46 aam, 求m的最大值 .
8、21. （本小题满分15 分） 已知函数).0()1() 2 1 (),()(,3)( 21 fggRbacxbxxgaxxf且 （1）试求 b,c 所满足的关系式； （2）若 b=0，方程），在（0)()(xgxf有唯一解，求a 的取值范围； 22 （本题满分15 分）已知点B（0， 1） ，)3, 0(C点， 直线PB、PC都是圆 1)1( 22 yx 的切线（P点不在y轴上） . 以原点为顶点, 且焦点在x轴上的抛物线C恰好过点P. （ 1）求抛物线C的方程； （ 2）过点 (1,0) 作直线l与抛物线 C相交于M、N两点，问是否存在定点R，使 RNRM 为常数？若存在，求出点R的坐标及
9、常数；若不存在，请说明理由. 参考答案 一、选择题 1. .3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.B 10.B 二、填空题 11.600 12. 32 13. 4121 2( 1)2 nnn 14. 1 2 15. 0s 2或s 4 16. 7 10 17. .0,2 ,0,0 ,0,2 x x x x x 三、解答题 18. 解：（ 1）由 31 ( )sincos1sin()1 222226 xxx f x,)(xf的周期为4. 由sin()0,2 263 x xk得, 故( )f x图象的对称中心为(2,1), 3 kkZ. （2）由,coscos)2(CbBca得CBBC
10、Acossincos)sinsin2(， ,cossinsincoscossin2CBCBBA )sin(cossin2CBBA ， CBA， ,0sin,sin)sin(AACB且. 3 2 0 , 3 , 2 1 cosABB 1 ,sin()1, 6262226 AA 故函数)(Af的取值范围是 3 (,2) 2 . 19. 解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中 ADDF ,DF=AD=DC (1) FD 平面 ABCD, CM平面 ABCD ,FD CM,在矩形 ABCD 中,CD=2a, AD=a, M 为 AB 中点 , DM=CM=2a, CM DM, FD平面 FD
11、M , DM平面 FDM , CM平面 FDM (2)点 P在 A 点处 . 证明：取DC 中点 S，连接 AS、GS、GA G 是 DF 的中点， GS/FC，AS/CM 面 GSA/面 FMC ，而 GA面 GSA， GP/平面 FMC （ 3）在平面ADF 上，过 D 作 AF 的垂线，垂足为H，连 DM ，则 DH 平面 ABEF ， DMH 是 DM 与平面 ABEF 所成的角。 在 RTDHM 中， 6 , 2 1 sin2, 2 2 DMH DM DH DMHDMDH。 所以 DM 与平面 ABEF 所成的角为 6 。 20、解 :( ) 由 5 4 31 31 bb bb 知
12、31,b b是方程045 2 xx的两根 , 注意到 nn bb 1 得 4, 1 31 bb. 2 分 4 31 2 2 bbb得2 2 b. 4, 2, 1 321 bbb 等比数列 . n b的公比为2 1 2 b b , 11 1 2 nn n qbb ( ). 23132log3log 1 22 nnba n nn 1221 1 nnaa nn 数列 n a是首相为3, 公差为 1 的等差数列 . ( ) 由( ) 知数列 n a是首相为 3, 公差为 1 的等差数列 , 有 32 2 1 aaa m a= 321 2 1 aaaa 1 aam = 2 3631 2 1 33 2 2
13、 mm m mm m 11 分 48 46 a48 2 36 2 mm m, 整理得0845 2 mm, 解得 712m. m的最大值是7. 21. （1）由)0() 1() 2 1 (fgg，得3)()42(cbcb b、c所满足的关系式为01cb （2）由0b，01cb，可得1c 方程)()(xgxf，即 2 3xax，可化为 31 3xxa， 令tx 1 ，则由题意可得， 3 3tta在), 0(上有唯一解， 令 3 3)(ttth)0(t，由033)( 2 tth，可得1t， 当10t时，由0)(th，可知)(th是增函数； 当1t时，由0)(th，可知)(th是减函数故当1t时，)(th取极大值 2 由函数)(th的图象可知，当2a或0a时，方程)()(xgxf有且仅有一个正实数解 故所求a的取值范围是2|aa或 0a 22解：（ 1）设直线PC的方程为：，kxy3 由1 1 |3| 2 k k 得 3 4 k，所以PC的方程为.3 3 4 xy x O y