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1、24.4 第 1 课时直线与圆的位置关系及切线的性质 一、选择题 1已知O的半径是8 cm，点O到同一平面内直线l的距离为7.5 cm ，则直线l与 O的位置关系是 链接听课例 1归纳总结 ( ) A相交 B 相切 C相离 D 无法判断 22018湘潭如图K91，AB是O的切线，B为切点，若A30，则AOB的 度数为 ( ) 图 K 91 A45 B50 C55 D60 3半径为3 的P的圆心坐标为(2，4) ，则P与x轴的位置关系是( ) A相交 B 相离 C相切 D 以上都不是 4如图 K 92，点A，B，C在O上，过点A作O的切线交OC的延长线于点P， B30，OP3，则AP的长为 (
2、) 链接听课例 2归纳总结 图 K 92 A3 B. 3 2 C. 2 3 3 D. 3 3 2 5如图K93 所示，在ABC中，AB5，BC3，AC4，以点C为圆心的圆与AB 相切，则C的半径为 ( ) 图 K 93 A2.3 B 2.4 C 2.5 D 2.6 62017泰安如图K94，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边 AD所在直线垂直于点M，若ABC55，则ACD的度数为 ( ) 图 K 94 A20 B 35 C 40 D 55 7如图 K95，AB是O的直径，C是O上的点，过点C作O的切线交AB的延长 线于点E，若A30，则 sinE的值为 ( ) 链接听课例
3、2归纳总结 图 K 95 A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 82018合肥月考如图K 96，在ABC中，AB10，AC8，BC6，经过点C且与 边AB相切的动圆与AC，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ长的最小值为( ) 图 K 96 A5 B 4 2 C 4.75 D 4.8 二、填空题 9如图 K 97，在平面直角坐标系xOy中，半径为2 的P的圆心P的坐标为 (3， 0)，将P沿x轴正方向平移，使P与y轴相切当P位于y轴的左侧且与y轴相切时， 平移的距离为 _；当P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为_ 图 K 97 10如图 K98，两同心圆的大圆半径为5
4、cm，小圆半径为3 cm，大圆的弦AB与小 圆相切，切点为C，则弦AB的长是 _ 图 K 98 11如图 K99，AB是O的直径，OA1，AC是O的弦，过点C的切线交AB的延 长线于点D，若BD21，则ACD_. 图 K 99 12如图 K910，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则 C_度 图 K910 三、解答题 13如图 K911，已知ABC内接于O，CD是O的切线， 且与半径OB的延长线交 于点D，A30，求BCD的度数 .链接听课例 2归纳总结 图 K911 142017宿迁如图K912，AB与O相切于点B，BC为O的弦，OCOA，OA与 BC相交于点P. (
5、1) 求证：APAB； (2) 若OB4，AB3，求线段BP的长 图 K912 152018沈阳如图K9 13，BE是O的直径，A和D是O上的两点，过点A作 O的切线交BE的延长线于点C. (1) 若ADE25，求C的度数； (2) 若ABAC，CE 2，求O的半径 图 K913 162018当涂县月考如图K914，正方形ABCD的边长为4，O的半径为1，正方 形的中心O1与圆心O在直线l上，O与CD边相切，O以每秒 1 个单位长度的速度向左 运动设运动时间为t s. (1) 当t在何数值范围内时，O与CD相交？ (2) 当t为何值时，O与AB相切？ 图 K914 综合探究如图K 915，AB
6、是O的直径，C为O上一点，AE和过点C的切线互相垂 直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PC2PB. (1) 探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由； (2) 若AD3，求AB的长 图 K915 详解详析 课堂达标 1 解析 A 设 O的半径为r ，点 O到直线 l 的距离为d， d7.5 cm ，r 8 cm， dr ，直线l 与 O相交 2 解析 D 因为 AB是 O的切线， B为切点，则 ABO 90，又因为A30， 所以 AOB 60. 3 答案 B 4 解析 D 连接 OA ，则 AOP 2B 60. AP是 O 的切线， OAP 90，
7、 APsin AOP OP 3 2 3 3 3 2 . 5 解析 B 在 ABC中， AB 5，BC 3，AC 4， AC 2BC2324252AB2， ACB 90. 如图，设切点为D，连接 CD ， AB是 C的切线， CD AB. SABC 1 2AC BC 1 2AB CD ， AC BC AB CD ， 即 CD AC BC AB 4 3 5 2.4 ， C的半径为2.4. 故选 B. 6 解析 A 圆内接四边形ABCD 的边 AB过圆心 O ， ADC ABC 180， ACB 90， ADC 180 ABC 125. 过点 C的切线与边AD所在直线垂直于点M ， MCA ABC
8、55， AMC 90. ADC AMC DCM ， DCM ADC AMC 35， ACD MCA DCM 553520. 故选 A. 7 解析 A 如图，连接OC ， CE是 O的切线， OC CE. A 30， BOC 2 A 60， E 90 BOC 30， sinE sin30 1 2. 故选 A. 8 解析 D 如图，设QP的中点为F， F 与 AB的切点为D ，连接 FD ，CF， CD. F与 AB相切， FDAB. 由勾股定理的逆定理可知ABC为直角三角形， 且 PQ CF DF. 当线段 CF和 DF位于同一条直线上时，CF DF的值最小，最小值为 ABC的斜边上的高， 即
9、4.8. 9 答案 1 5 10答案 8 cm 解析 AB是小圆的切线，OC AB ， AC BC. 在 RtBOC中， BCO 90， OB 5，OC 3， BC 5 2324(cm) ， AB 2BC 8 cm. 故答案为8 cm. 11答案 112.5 解析 连接 OC. DC是 O的切线， OC DC. BD 21，OA OB OC 1， OD 2， CD OD 2 OC2 （2） 2121， OC CD ， DOC 45. OA OC ， OAC OCA ， OCA 1 2 DOC 22.5， ACD OCA OCD 22.590112.5. 12答案 45 解析 如图，连接OD.
10、CD是 O的切线， OD CD. 四边形 ABCD 是平行四边形，AB CD ， AB OD ， AOD 90. OA OD ， A ADO 45， C A45. 故答案为45. 13解：如图，连接OC. CD是 O的切线， OCD 90. 由圆周角定理可知BOC 2 A60. 又 OB OC ， OCB 1 2(18060) 60， BCD OCD OCB 906030. 14解： (1) 证明： AB是 O的切线， OB AB ， OBA 90， ABP OBC 90. OC OA ， AOC 90， OCB CPO 90. OC OB ， OCB OBC ， ABP CPO. APB C
11、PO ， APB ABP ， AP AB. (2) 如图，过点O作 OH BC于点 H. 在 RtOAB中， OB 4，AB 3， OA 3 2425. AP AB 3， OP 2. OC OB ， OC 4. 在 RtPOC中， PC OC 2OP22 5. 1 2PC OH 1 2OC OP ， OH OC OP PC 4 5 5 ， CH OC 2 OH28 5 5 . OH BC ， CH BH ， BC 2CH 16 5 5 ， BP BC PC16 5 5 2 56 5 5 . 15解： (1) 如图，连接OA ， AC是 O的切线， OA是 O的半径， OA AC ， OAC 9
12、0. ADE 25， AOE 2 ADE 50， C 90 AOE 905040. (2) AB AC ， B C. AOC 2 B ， AOC 2 C. OAC 90， AOC C90， 3C90， C30， OA 1 2OC. 设 O的半径为r ， CE 2， r 1 2(r 2) ， 解得 r 2， O的半径为2. 16解： (1) 根据题意得：当t 0 或 t 2 时， O与 CD相切， 故当 0t 2 时， O与 CD相交 (2) 根据题意得：当t 4 时，圆心O到 AB的距离 d1， O与 AB相切； 当 t 6 时，圆心 O到 AB的距离 d1， O与 AB相切 综上所述，当t4
13、 或 6 时， O与 AB相切 素养提升 解： (1) 线段 PB ，AB之间的数量关系为AB3PB. 理由：连接OC.AB是 O的直径， ACB 90， BAC ABC 90. OB OC ， OCB ABC. 依题意知 PCB OCB 90， PCB PAC. 又 P是公共角，PCB PAC ， PC PA PB PC ， PC 2PB PA. 又 PC 2PB， PA 4PB ， AB 3PB. (2) 过点 O作 OH AD于点 H， 则 AH 1 2AD 3 2，四边形 OCEH 是矩形， OC HE ， AE 3 2 OC. 依题意知 OC AE ， PCO PEA ， OC AE PO PA . AB 3PB，AB 2OB ， OB 3 2PB ， OC 3 2OC PB OB PB AB PB 3 2PB PB3PB 5 8， OC 5 2， AB 5.