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1、方程：只是阐述没有加工的事实 人教版小学数学五年级上学期方程的意义课堂实录与赏析 12 月 2 日至 9 日，我有幸参加了京苏粤浙中小学卓越教师高端研修班 第二阶段广东站的培训， 在这次培训中， 让我感触较深的是 “粤派”丰富而融合、 务实而自由的教学风格， 其中由广东省特级教师刘燕执教的方程的意义 一课 令我印象更为深刻，深受启发。刘老师打破了传统教学从“平衡”（天平）引入， 以突出方程左右相等的做法， 而是更加关注学生的认知背景， 凸显了方程的本质 属性，较好地体现“以人为本，学为中心”的理念。现把本堂课的教学过程进行 了记录和整理，与大家分享。 环节一：在解决问题的过程中创造方程 师：一
2、起来看这道题，五年级怎么会跑出一道一年级的题目？谁来说说怎么做。 ？个 8个 生：8-2=6。 师：他做对了吗？ 生：对了！ 师：一年级有一个小朋友叫小芳，她也是这样做的， 不过一年级还有一个小朋友 叫小明， 面对这道题他想啊想， 怎么也想不出该列一道怎样的算式来表示这道题， 于是他盯着这道题， 顺着题目的意思， 用一道算式把题目的意思表达了出来，他 是这样想的：方框里的球不知道他就空着，又拿来2 个球，你猜他怎么表示？ 生：+2！ 师：对， +2，现在方框里有 8 个球（ +2=8 ） 。他盯着自己的算式，想啊想，突 然想到了该填 6，于是他也算出了方框里有6 个球。虽然他的答案做对了，不过
3、 他遇到了一个麻烦， 你知道是什么麻烦吗？就是当他没写这个6 的时候，大家看 这个算式怎么样？好奇怪对吧， 当他写了这个 6 的时候也有麻烦， 就是老师不知 道他写的答案到底是8 还是 6 还是 2，你能帮小明想一个办法让老师知道吗？ 生：把那个未知数改写成X。 师：把那个未知数改写成X，那变成了一道怎样的算式？ 生：x+2=8！ 师：好，这是他想到的办法。刚才还听到了一个小朋友说用（） ，用（）怎 么写？ 生： （）+2=8！ 师：除了用（） ，用 x，还可以用什么符号来表示未知数的6？ 生：？ ，？+2=8。 生：用方框 +2=8 ， +2=8 ， +2=8 。 8 ？ 师：还可不可以用其
4、它的字母？ 生：可以！ 师：同桌说一说，你打算用什么符号表示这个未知数。 师：有一个数学家叫韦达， 他也想到和同学们一样的方法，用一个符号表示这个 未知数写出算式；还有一个数学家叫笛卡尔， 你用这个符号我用这个符号有点乱， 不如我们统一起来吧， 专门用几个字母来表示这个未知数，其中 x 就是笛卡尔想 到的字母之一。那么我现在就把笛卡尔想到的和我们同学提议的这个算式写在这 儿，好不好？我们把它用一个字母x 来表示这个未知数，这道算式就变成了 X+2=8 。谢谢同学们帮小明解决了问题。我们再来看，小明和小芳又遇到了一道 题：原来盘子里有些苹果，吃掉了7 个，还剩下 3 个。小芳会怎么做？ 生：7+
5、3=10（个） 。 师：怎么想的？ 生：原来盘子里有些苹果，吃掉了7 个，还剩 3 个，那还剩下 3 个加上吃掉的 7 个，原来盘子里就有10 个。 师：好，给他掌声，不仅说出了算法还说出了算理，答得真好。小明想啊想，他 又想不到怎么才能等于原来盘子里的苹果，于是他又顺着题目的意思列了一道有 x 的算式，把题目的意思表达了出来，你猜他是怎么列的？ 生：7+3=x！ 师：还有其它想法吗？ 生：x+3=10！ 师：还有其它想法吗？ 生：x-7=3！ 师：好，我们像小明顺着题目的意思想：原来盘子里有一些水果不知道，用什么 来表示？ 生：x！ 师：吃掉了 7 个。 生：减 7 等于 3。 师：小明是这
6、样想的，简单吗？ 生：简单！ 师：小明和小芳读啊读啊，读到了二年级。爸爸36 岁，小红的 3 倍和爸爸的年 龄一样，小红多少岁？小芳会怎么做？ 生：363=12（岁） 。 师：小明他又想不出该列怎样的算式才能等于小红的年龄，于是他又请谁帮忙？ 生：x！ 师：猜一猜，这次会列一道怎样的算式？ 生：x3=36。 师：好， x 代表谁？ 生：未知数。 师：在这里代表谁 ? 生：小红的年龄。 师：小红年龄的 3 倍就怎么样？ 生：她的 3 倍就乘 3。 师：刚好等于爸爸的年龄，等于36。下面的同学猜对了，小明就是这样想的。 师：小明和小芳读啊读，读到了几年级？ 生：三年级。 师：三年级的题目出来了，
7、你猜一猜小芳会怎么做， 你再猜一猜小明又会怎么做， 你可以猜小芳的也可以猜小明的，写在练习本上。 题目：一个数加上31，减去 56 等于 320，这个数是多少？只列式不计算，写完 的同学可以互相交流一下。 师：请同学们一起来看，这位女同学猜的是小明的想法：x+31-56=320，你认为 她写的对的就给她掌声。 生：鼓掌！ 师：容不容易判断，怎么这么容易判断呢？X代表什么？ 生：这个数。 师：x 就代表这个数对不对，这个数加31，就写 +31，再怎么样？减去 56，我们 就照样子写 -56，然后呢？ 生：=320。 师：我们就照样子写 =320，很简单都不用动脑筋。我们再来看小芳的方法，你认 为
8、她对了给她掌声。 生：写错了！ 师：得数算错了，我帮你把它改过来，她的算式对吗？同意的给她掌声。一个数 加上 31 减去 56 等于 320，她是怎么想的？减去56就要把这个 56 怎么样？ 生：加回来。 师：加上 31，她又把这个 31 怎么样？ 师生：减掉。 师：就等于原来的数345。刚才有个同学说小芳是学霸，你也是学霸对吗，大家 对小芳也感到很钦佩。 师：小芳和小明读啊读，读到了几年级？ 生：四年级。 师：题目是“儿童票价的2 倍多 5 元，刚好是成人票145 元再加 10 元，儿童票 的价格是多少元？”你可以选择小明的想法，也可以选择小芳的做在练习本上。 师：我们先来看一看小明的方法：
9、x2+5=145+10 ，同意的给他掌声！ 师：X代表的是谁？ 生：儿童票。 师：儿童票价的 2 倍就怎么样？ 生： 2。 师：多 5 元就怎么样？ 生：+5元。 师：刚好和谁一样多？ 生：成人票 145 元。 师：多 10 元加 10 元，左边和右边刚好一样多就用等号连接起来，做得非常好。 我们再来看看小芳的做法。 生：写错了。 师：哪里错了？你来说。 生：漏了一个再加10 元，应该是（ 145-5）2+10元。 师：我们要不要给他掌声？小芳的方法该怎么做呢？ 生：(145+10-5) 2。 师：成人票价加10 元还不是儿童票价，还要把多的5 元减掉，还要再除以2， 才能等于儿童票价。谁算出
10、了儿童票价？ 生：75 元！ 师：你觉得这一道题目是小明的列的算式比较容易想呢，还是小芳的？ 生：小明的。 【赏析： 在解决问题的过程中创造方程。本环节重在唤醒学生的顺向思维找 数量关系的思维经验， 凸显方程只是阐述没有加工的事实。 孩子在学习方程之前， 其实是有基础的， 在低年级学习初期， 他们的内心深处都隐藏着方程的思想，学 生都喜欢按顺向思维用一个算式把一件事情表述出来，刘老师做的第一件事情就 是从一年级的题型入手， 目的是为了唤醒孩子顺向找数量关系，唤醒孩子只是简 单地用一个式子把没有加工的事实表达出来这样的数学思维经验，这才是方程学 习的一个基础， 在这个过程中也让孩子初步感受方程的
11、属性：未知数可以和已知 数享有相同地位。 当然在这节课中， 对于在运算上享有同样的地位是没有办法做 到的，因为不可能在方程的第一节课就去教孩子未知数的运算，但是可以做到的 就是方程中的未知数可以写在左边或者右边，从这个地方让孩子感受已知数和未 知数可以享有同样的地位；第二个是初步感受等价。这里刘老师出示了5 道题， 也是 5 组事情，每组两件事情均是等价， 没有仅仅局限于天平， 提供的材料更丰 富，更饱满。】 环节二：在对比分析中认识方程的外在形式。 师：同学们，你们看，左边的这些算式是小芳的想法，右边的这些算式是小明的 想法，请大家交流一下小明的方法和小芳的方法列出来的算式有什么相同的地方
12、和不同的地方？ 师：有没有同学愿意来说一说他们俩的方法，先说有什么不同的地方？ 生：小明的算式含有未知数。 师：小明的算式里含有未知数， 与此同时小芳的方法要想怎么样才能等于这个要 求的答案，而小明的方法用不用想怎么样才能等于未知的答案呢？不用，他只要 顺着题目的意思列出算式， 把题目的意思表达出来就可以了，对吗？我们再看他 们俩的方法有什么相同的地方？ 生：他们都用了已知条件。 生：都用到加减乘除。 生：结果相同。 师：我们再来看，都有“=” ，都是左边 =右边，他们列出来的都是等式，虽然两 个同学列出来的都是等式， 但是小芳列出来的等式是我们以前学的算术方法，而 小明的这些等式都含有未知数
13、，像这样的式子我们叫它方程。 【赏析：在对比分析中认识方程的外在形式。如果环节一只是让学生感受方 程的本质属性， 那么第二环节就是刘老师帮助孩子认识方程的外在形式。让学生 对比小芳和小明的方法有什么相同的地方和不同的地方，找不同的地方就是揭示 方程含有未知数，找相同的地方就是引出方程是等式。】 环节三：在文化背景的介绍中完善对方程的认识。 师：我们这节课就来学习方程的意义。同学们真了不起， 还没有学习方程就已经 列出那么多方程了， 像这样含有未知数的等式就叫做方程。其实方程在很早之前 就有了，早在 3600 多年前埃及人就会用方程解决数学问题，而在我国 2000年前 的九章算术中就记载了用方程
14、解决实际问题的史料，早在400多年前，法国 数学家韦达在他的 分析法论文著作中首次系统地使用了符号表示未知量的值 进行运算。300 年前，法国数学家笛卡尔第一个提倡了用排在字母表后面的x、 y、 z 代表未知数，这种方法成为当今的标准用法形成了现在的方程。同学们看，未 知数除了可以用 x 来表示还可以用？ 生：y、z！ 师：也就是说这道题还可以写成？ 生：y+2=8。 师：还可以写成？ 生：z+2=8。 【赏析：在文化背景的介绍中完善对方程的认识。因为前面的方程中所有的 未知数都是用 x 表示，在这个环节中老师特别强调了未知数还可以用y、z 等其 他字母表示，同时也帮助孩子了解方程的历史。】 环节四：多元表征促进对方程等价属性的理解。 师：我们再看，这是什么？ 生：天平。 师：如果我把天平两边这样放东西，你猜天平会怎样? 生：平衡。 师：做个手势告诉我。猜对了，再看会怎样？做个手势。 生：左边大。 师：看看对了吗？果然。这样呢？ 师： 当天平左右两边放的物体重量是一样的时候，左右两边的重量相等是平衡的， 这和我们方程当中左右相等这个性质是一致的，假如天平有某一边物体的重量不 知道那它又和我们方程当中含有未知数这个性质是一致的，所以人们常喜欢借助 天平来认识方程。 师：你看这个天平，你能根据它列出一道方程吗？