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1、高三数学一轮复习导学案等差数列及其性质应用 【学习目标】 1. 通过课前预习，学生理解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系 2通过课堂探究，熟练掌握等差数列的通项公式与前n项和公式及其性质 3通过课堂探究，使学生能用有关知识解决相应的问题 【重、难点】 1. 等差数列的判断与证明; 2. 等差数列的通项公式与前n项和公式 ; 3、等差数列的性质及应用 课前预习 一、 【知识回顾】 1等差数列的概念与公式 相关名词 等差数列 n a 的有关概念及公式 定义 1n a n a 或 1nn aa(2)n 通项公式 n a 前n项和公式 n s 等差中项 数列 ,aA b 成等差数列的充要条件
2、是，其中A叫做 ,a b的 2. 等差数列的性质 n a为等差数列，则 m a= n a. n a为等差数列，若 * ,Nqpnm，且qpnm，则. n a为等差数列，则 n s， nn ss2， nn ss 23 ，仍为等差数列，公差为. 二、 【回扣课本】 1、-401 是不是等差数列-5 ，-9 ，-13 ，的项？如果是，是第几项？（43 页例 1） 2、已知数列 n a的通项公式为qpnan, 其中qp,为常数，且0p, 那么这个数列一定是等差 数列吗 ? （44 页例 3） 3、已知一个等差数列 n a前 10 项的和是310，前 20 项的和是 1220，有这些条件能确定这个等差数
3、 列吗 ? （ 50 页例 2） 4、已知等差数列, 7 4 3, 7 2 4,5的前 n 项和为 n s，求使得 n s最大的序号n的值（ 51 页例 4） 三、 【双基自测】 1( 教材习题改编 ) 等差数列 n a的前n项和为Sn，若, 3, 1 32 aa则 4 s( ) A12 B 10 C8 D6 2已知 n a为等差数列，,12 82 aa则 5 a等于 ( ) A4 B 5 C6 D7 3设数列 n a是等差数列，其前n项和为Sn，若,302 56 Sa且则 8 s等于 ( ) A31 B 32 C33 D34 4(2012杭州质检) 设Sn是等差数列 n a的前n项和，已知,
4、11, 3 62 aa则S7等于 ( ) A13 B35 C49 D 63 5在等差数列 n a中，,6,7 253 aaa则_ 6 a. 高考展示与预测 从近两年的高考试题来看，等差数列的判定，等差数列的通项公式、前n项和公式以及与前n 项和有关的最值问题等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，主要考查对概念的理 解及性质的灵活运用，考查基本运算能力，注重考查函数方程、等价转化、分类讨论等思想方法 【预测 2013 年高考会这样考】重点考查运算能力与逻辑推理能力。 1考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题 2考查等差数列的性质及综合应用 【2012 高考山东文20】已知等差数列
5、na的前 5 项和为 105，且1052aa . ( ) 求数列 n a的通项公式； ( ) 对任意 * mN ，将数列 na中不大于 2 7 m 的项的个数记为 mb . 求数列 mb的前m项和mS . 【答案】 (I)由已知得： 1 11 510105, 92(4 ), ad adad 解得 1 7,7ad, 所以通项公式为7(1) 77 n an n. (II)由 2 77 m n an，得 21 7 m n，即 21 7 m m b. 21 1 21 7 49 7 m k m k b b ， m b是公比为49 的等比数列， 7(149)7 (491) 14948 m m m S .
6、（课本原型 52 页习题 1（ 3） ） 【2012 高考重庆文16】已知 n a为等差数列，且 1324 8,12,aaaa（）求数列 n a的通 项公式；（）记 n a的前n项和为 n S，若 12 , kk a a S 成等比数列，求正整数k的值。 课堂探究 考点一：等差数列的判断与证明 【例 1】 完成下表 【例 2】 在数列 n a中，, 1 1 a n nn aa22 1 . 设 1 2 n n n a b， 证明：数列 bn 是等差数列 【练习 1】 (2012. 银川模拟 ) 数列 n a中，,2 1 a，, 1 2 a 11 112 nnn aaa (n2，nN * ) ，
7、则其通项公式为 n a_. 方法总结： 判断或证明数列 n a为等差数列，常见的方法有四种方法： 1利用定义： 2利用等差中项： 3利用通项公式： 11 1 n aanddnad()()，d 为公差当d0 时，数列 n a的通 项公式是关于n的一次函数；d0 时为常数数列，也是等差数列； 4利用前n项和公式： 2 11 1 222 n n ndd snadnan () ()，当 d0 时，数列的前n 项和 n s为关 于n的二次函数且不含常数项，若d0，则此数列为常数数列。. 考点二：等差数列的基本运算 【例 3】?(2011福建 ) 在等差数列 n a中，3, 1 31 aa. (1) 求数
8、列 n a的通项公式；(2) 若数列 n a的前k项和35 k s，求k的值 方法总结： 等差数列的通项公式dnaan ) 1( 1 及前n项和公式, 2 ) 1( 2 )( 1 1 d nn na aan s n n 共涉 及五个量, 1nn sndaa量）是等差数列的两个基本和da1(知其中三个就能求另外两个，体现了用 方程思想解决问题的方法 考点三：等差数列的性质 【例 4】?设等差数列的前n项和为Sn，已知前 6 项和为 36，Sn324，最后 6 项的和为180(n6) ， 求数列的项数n. 【练习 2】(1) 在等差数列 n a中，100 10 a,10 100 a, 则_ 110
9、 a (2) (2011重庆高考) 在等差数列 n a中，37 73 aa，则_ 8642 aaaa. 式子结论通项公式 +1 2 nn aa n a是等差数列1 12 n aan() 1 11 1 nn aa 22 1 2()() nn aa 1 1 3 22 nn nn aa 1 1 222() nn nn aa 1nn aan (3) 等差数列 n a、 n b的前n项和分别为 nn TS ,，且 32 13 n n T S n n ，求 8 8 b a 的值 (4) 已知等差数列 n a的前n项和为Sn，且S 1010，S2030，则S30_. 方法总结： 1等差数列的性质是等差数列的
10、定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形， 熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题 2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系 3. 性质 n a为等差数列，若 * ,Nqpnm，且qpnm，则 qpnm aaaa往往 与公式 Sn n a1an 2 结合应用。 考点四 : 等差数列前 n 项和的最值 【例 5】 在等差数列 n a中，已知,20 1 a前n项和为 n s，且 1015 ss，求当n取何值时， n s取得 最大值，并求出它的最大值 方法总结： 求等差数列前n项和的最值，常用的方法： (1) 利用等差数列的单调性或性质，求出其
11、正负转折项，便可求得和的最值 (2) 利用等差数列的前n项和 n s为二次函数，根据二次函数的性质求最值 巩固练习 1若 n a是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有 ( ) 3 n a 2 n a nn aa 1 n a2nan2 A1 个B2 个 C3 个 D 4 个 2. 【2012 高考真题辽宁理6】在等差数列 n a中，已知,16 84 aa则该数列前11 项和S11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 3. 在等差数列 n a中，0,16 6473 aaaa，求 n a的前n项和 n s. 4. 设等差数列 n a满足.9,5 103 aa (1) 求 n a的通项公式； (2) 求 n a的前n项和 n s及使得 n s最大的序号n的值 * 选作 5. 设等差数列 n a满足.9,5 103 aa设 nn ab，数列 n b的前 n 项和为 n T (1) 求数列 n a的通项公式； (2)求 4 T和 9 T；（3）求 n T