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1、指数与指数函数 1根式 (1)根式的概念 如果一个数的n 次方等于a(n1 且 nN * )，那么这个数叫做a 的 n 次方根也就是，若x na，则 x 叫做 _， 其中 n1 且 nN * .式子 n a叫做 _， 这里 n 叫做 _， a 叫做 _ (2)根式的性质 当 n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号 _表示 当 n 为偶数时， 正数的 n 次方根有两个， 它们互为相反数， 这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号_ 表示，负的n 次方根用符号 _表示正负两个n 次方根可以合写为_(a0) ( n a) n_.当 n 为
2、奇数时， n a n _；当 n为偶数时， n a n|a|_. 负数没有偶次方根 2有理数指数幂 来源 :Zxxk.Com (1)幂的有关概念 正整数指数幂：an n a aa 个 (nN *)零指数幂： a 0_(a0) 负整数指数幂：a p_(a0，pN* )正分数指数幂： m n a_(a0，m、nN *，且 n1) 负分数指数幂： - m n a_ (a0，m、nN *，且 n1) 0 的正分数指数幂等于_， 0 的负分数指数幂_ (2)有理数指数幂的性质 aras_(a0， r、sQ)； (ar)s_(a0，r、sQ)； (ab)r_(a0，b0， rQ) 3指数函数的图像与性质
3、ya x a100 时， _； x0 时，_；x1 进行分类讨论 1(课本改编题 )用分数指数幂表示下列各式 (1) 3 x 2 _ _； (2) 4 ab 3(a b)0)_； (3) m 3 m _. 2(课本改编题 )化简 1 6 2 (-2) (1) 0 的值为 _ 3若函数y(a 21)x 在(， )上为减函数，则实数a的取值范围是_ 4若函数f(x)a x1 (a0，a1)的定义域和值域都是 0,2 ，则实数a_. 5已知 f(x)2 x2x，若 f(a) 3，则 f(2a)等于 () A5 B7 C9 D 11 题型一指数式与根式的计算问题 例 1计算下列各式的值 (1) 2 3
4、 27 8 1 - 2 (0.002) 10(52) 1 (23)0； (2) 1 52 (31)09 4 5； (3) 3322 1111 4 3342 a bab a ba b (a0，b0) 探究提高根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果， 不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果但结果不能同时含有根号和分 数指数，也不能既有分母又含有负指数 计算下列各式的值： (1) 1 - 3 1.5 0 7 6 80.25 4 2 ( 3 23) 6 2 3 2 3 ； (2) 41 33 22 333 8 24 aa b aabb 1
5、2 3 b a 3 a (a0，b0) 题型二指数函数的图像及应用 例 2(1)函数 yxa x |x| (00 且 a1)的图像经过第二、三、四象限，则 a、b 的取值范围是_ (3)方程 2 x2x 的解的个数是 _ 探究提高(1)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变 换得到其图像 (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解 (1)函数 y e xex e xex的图像大致为 () (2)k 为何值时，方程|3 x1|k 无解？有一解？有两解？ 题型三指数函数的性质及应用 例 3设 a0 且 a1，函数 ya2x
6、2ax1 在 1,1上的最大值是14，求 a 的值 探究提高指数函数问题一般要与其它函数复合本题可利用换元法将原函数化为一元二次函数结合 二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解 由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解 已知定义在R 上的函数f(x) 2 x 1 2 |x|. (1)若 f(x) 3 2，求 x 的值； (2)若 2 tf(2t)mf(t)0 对于 t1,2恒成立，求实数 m 的取值范围 4.方程思想及转化思想在求参数 中的应用 试题： (13 分)已知定义域为R 的函数 f(x)2 xb 2 x1a是奇函数 (1)求
7、 a，b 的值； (2)若对任意的tR，不等式f(t 22t)f(2t2k)1，因底数21，故 3t 22tk0. 11 分 上式对一切tR 均成立，从而判别式 412k2t2 k. 11 分 即对一切tR 有 3t22tk0， 从而 412k2t2k 恒成立这 个转化考生易出错其次，不等式t 22t2t2k 恒成立，即对一切 tR 有 3t 22tk0，也可以这样 做： k1 时， x ，y 0；当 a1 时， a 的值越大，图像越靠近y 轴，递增的速 度越快；当00， a1)的图像，应抓住三个关键点： (1，a)、 (0,1)、 1， 1 a . 3在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中
8、，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组 )来求 值，或用换元法转化为方程来求解 失误与防范 1指数函数ya x (a0，a1)的图像和性质跟 a 的取值有关，要特别注意区分a1 与 00，a1)有两个不等实根， 则 a 的取值范围是() A(0,1)(1， ) B(0,1) C(1， ) D. 0，1 2 3函数 f(x)a xb 的图像如图所示，其中a、b 为常数，则下列结论正确的是() Aa1，b1， b0 C00 D0f(n)，则 m、n 的大小关系为_ 5若函数f(x) 2 () e x (e 是自然对数的底数)的最大值是m，且 f(x)是偶函数，则m _. 6函数 f(x)a
9、 x (a0，a1)在1,2中的最大值比最小值大a 2，则 a 的值为 _ 7已知函数f(x)a xb (a0 且 a 1)的图像如图所示，则 ab 的值是 _ 三、解答题 8(1)计算： 2 0.5 211 3- 0.25 322 34 35+(0.008)(0.02)(0.32) 0.062 5 89 ； (2)化简： 41 232 3 33 3 22 53 3 33 82? 42 aa bbaa a a aa baba (式中字母都是正数) B 组专项能力提升题组 一、选择题 1函数 y 2 +2 1 2 xx 的值域是() ARB(0， ) C(2， ) D. 1 2， 2设函数f(x
10、) 1 x x0 ， e x x0 ， 令 F(x)f(x)x，xR.则 F(x)的值域为() A(， 1 B2， ) C(， 12， ) D(， 1)(2， ) 3若函数f(x)a |2x4| (a0，a1)，满足 f(1)1 9，则 f(x)的单调递减区间是 () A(， 2 B2， ) C2， ) D( ， 2 二、填空题 4函数 f(x) 2 23xx a m (a1)恒过点 (1,10)，则 m _. 5函数 y a 2x2 (a0，a1)的图像恒过点 A，若直线l：mxny10 经过点 A，则坐标原点O 到直线 l 的距离的最大值为_ 6关于 x 的方程 3 2 x 23a 5a
11、有负数根，则实数a 的取值范围为_ 三、解答题 7已知函数f(x)3 x，f(a2) 18，g(x) 3ax4x 的定义域为 0,1 (1)求 a 的值； (2)若函数 g(x)在区间 0,1上是单调递减函数，求实数 的取值范围 8已知函数f(x) a a 21(a xax) (a0，且 a1) (1)判断 f(x)的单调性； (2)验证性质f(x) f(x)，当 x(1,1)时，并应用该性质求f(1m)f(1 m 2)101(6)增函数(7)减函数 基础自测 1(1) 2 3 x(2) 3 4 ( + )a b(3) 5 2 m2.7 3(2， 1)(1，2)4. 35.B 题型分类 深度剖析 例 1解(1)原式 21 32 271 8500 10 52 1 2 1 3 2 8 +500 27 10(52)1 4 910 5105201 167 9 . (2)原式52 152 2 (52)1 (52) 1. (3)原式 121 32 332 11 2 33 a b a b ab ab