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1、动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类 开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题. 关键 : 动中求静 . 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图 1，梯形 ABCD 中， AD BC， B=90， AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 A 开始沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动， 点 Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm/秒的速度移动， 如果 P， Q 分别从 A，C 同时出发，设移动时间为t 秒。 当 t= 时，四边形是平行四边形；6 当 t= 时，
2、四边形是等腰梯形. 8 2、如图 2，正方形ABCD 的边长为4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1 ，N 为对角线AC 上任 意一点，则DN+MN的最小值为5 3、如图，在 RtABC 中， 9060ACBB ， ， 2BC 点O是 AC的中点，过 点O的直线 l 从与 AC重合的位置开始， 绕点O作逆时针旋转， 交AB边于点 D过点C作 CEAB 交直线l于点E，设直线 l的旋转角为 （1）当 度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD的长为 ； 当 度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时AD的长为； （2）当 90 时，判断四边形 EDBC是否为菱形，并说明理由 解： （1） 3
3、0，1； 60，1.5； （2）当 =900时，四边形EDBC 是菱形 . =ACB=90 0， BC/ED . CE/AB, 四边形 EDBC 是平行四边形 在 RtABC 中， ACB=90 0， B=600,BC=2, A=30 0 . AB=4,AC=2 3 . AO= 1 2 AC = 3 .在 RtAOD 中， A=30 0， AD=2. BD=2. BD=BC. 又四边形EDBC 是平行四边形， 四边形EDBC 是菱形 O E C B D A l O C B A （备用图） 4、在 ABC 中， ACB=90，AC=BC ，直线 MN 经过点 C，且 AD MN 于 D，BEMN
4、 于 E. (1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图1 的位置时，求证：ADC CEB； DE=AD BE； (2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图2 的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图3 的位置时，试问DE、AD 、 BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量 关系，并加以证明. 解： （1） ACD= ACB=90 CAD+ ACD=90 BCE+ACD=90 CAD= BCE AC=BC ADC CEB ADC CEB CE=AD ，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC= CEB= ACB=90 ACD= CBE 又 AC=BC
5、ACD CBE CE=AD ，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE (3) 当 MN 旋转到图3 的位置时， DE=BE-AD( 或 AD=BE-DE ，BE=AD+DE等) ADC= CEB= ACB=90 ACD= CBE， 又 AC=BC ， ACD CBE，AD=CE ，CD=BE ， DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上， 张老师出示了问题：如图 1，四边形ABCD是正方形， 点E是边BC的中点90AEF， 且EF交正方形外角 DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证 AMEECF，所
6、以AEEF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意 一点” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由； （2） 小华提出： 如图 3， 点E是BC的延长线上 （除C点外）的任意一点， 其他条件不变， 结论“AE=EF” 仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 解： （1）正确 证明：在 AB上取一点M ，使 AMEC，连接ME BMBE45BME ，135AME CF是外角平分线，45
7、DCF ， 135ECF AMEECF 90AEBBAE ，90AEBCEF ， BAECEFAMEBCF（ASA ） AEEF （2）正确 证明：在 BA的延长线上取一点N使ANCE，连接NE BNBE45NPCE 四边形ABCD是正方形，ADBE DAEBEANAECEF ANEECF（ASA ） A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 3 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B M A D F C G E B N C B A E D 图 1 N M A B C D E M N 图 2 A C B E D N M 图 3 AEEF 6、如
8、图 , 射线 MB 上,MB=9,A 是射线 MB 外一点 ,AB=5 且 A 到射线 MB 的距离为3,动点 P 从 M 沿射线 MB 方向以 1 个单位 /秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（ 1）PAB 为等腰三角形的t 值； （2）PAB 为直角三角形的t 值； （3） 若 AB=5 且 ABM=45 ，其他条件不变，直接写出PAB 为直角三角形的t 值 7、在等腰梯形ABCD中,AD BC,E 为 AB 的中点 ,过点E 作 EF BC 交 CD 于点 F.AB=4,BC=6, B=60。 （1）求点 E 到 BC 的距离；（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过P 作 P
9、M EF 交 BC 于点 M，过 M 作 MN AB 交折线 ADC 于点 N，连接 PN，设 EP=x 当点 N 在线段 AD 上时， PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出PMN 的周长；若改变，请说 明理由 当点 N 在线段 DC 上时，是否存在点P，使 PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的X 的值，若不存在，请说明理由。 1 12 323 8、如图，已知 ABC 中， 10ABAC 厘米， 8BC 厘米，点D为AB的中点 (1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由B 点向 C 点运动， 同时， 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点 运动 若点 Q
10、 的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 秒后， BPD 与 CQP 是否全等，请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点P的运动速度不相等， 当点 Q 的运动速度为多少时， 能够使 BPD 与 CQP 全等？ （2） 若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？ 解： （1） 1t 秒， 3 13BPCQ 厘米， 10AB 厘米，点D为AB的中点， 5BD 厘米 又 8PCBCBPBC， 厘米， 835PC 厘米， PCBD 又 ABAC ， BC， BPDCQP PQ
11、vv ， BPCQ ， 又 BPDCQP ， BC，则 45BPPCCQBD， ， 点P，点 Q 运动的时间 4 33 BP t 秒， 515 4 4 3 Q CQ v t 厘米 /秒。 （2）设经过 x秒后点 P与点 Q 第一次相遇，由题意，得 15 32 10 4 xx ，解得 80 3 x 秒 点P共运动了 80 380 3厘米8022824，点P、点 Q 在AB边上相遇， A Q C D B P 经过 80 3 秒点P与点 Q 第一次在边AB上相遇 7、如图1，在等腰梯形 ABCD中，ADBC ，E是AB的中点，过点E作EF BC 交CD于点 F 46ABBC， ， 60B .求： （
12、1）求点 E到BC的距离； （2） 点P为线段EF上的一个动点， 过P作PMEF交 BC于点M ， 过M作 MNAB 交折线 ADC 于点 N ，连结 PN ，设 EPx . 当点 N 在线段AD上时（如图2） ， P M N 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN 的周长；若 改变，请说明理由； 当点 N 在线段 DC上时（如图 3） ，是否存在点P，使 PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由 解（ 1）如图 1，过点 E作EGBC于点G E为AB的中点， 1 2 2 BEAB 在 RtEBG 中， 60B， 30BEG 22 1 1213 2
13、 BGBEEG， 即点E到BC的距离为 3 （2）当点N在线段AD上运动时，PMN的形状不发生改变 PM EFEGEF， PM EG 图 1 A D E B F C G A D E B F C 图 4 （备用） A D E B F C 图 5 （备用） A D E B F C 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M （第 25 题） EFBC，EPGM，3PMEG同理4MNAB 如图 2，过点 P作PHMN 于H，MN AB， 6030NMCBPMH， 13 22 PHPM 3 cos30 2 MHPM 则 35 4 22 NHMNMH
14、在RtPNH中， 2 2 22 53 7 22 PNNHPH PMN 的周长 =374PMPNMN 当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变，但MNC恒为等边三角形 当PM PN时，如图 3，作PR MN于R，则MRNR 类似， 3 2 MR 23MNMRMNC是等边三角形，3MCMN 此时，6 1 32xEPGMBCBGMC 当MPMN时，如图4，这时3MCMNMP此时，6 1353xEPGM 当NP NM 时，如图5， 30NPMPMN 则 120PMN， 又 60MNC， 180PNMMNC因此点P与F重合，PMC为直角三角形 tan301MCPM 此时， 61 14xEPGM 综上所述，当 2x 或 4 或 53时，PMN为等腰三角形 图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F（ P） C M N G 图 2 A D E B F C P N M G H