江苏2018届高考数学总复习专题10.1椭圆试题含解析.pdf

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1、专题 10.1 椭圆 【三年高考】 1 【2017 江苏】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点 分别为 1 F ，2 F ，离心率为 1 2 ，两准线之间的距离为8点P在椭圆E上，且位于第一象限， 过点 1 F 作直线 1 PF 的垂线 1 l ，过点 2 F 作直线 2 PF 的垂线 2 l （1）求椭圆 E的标准方程； （2）若直线 1 l ， 2 l 的交点 Q 在椭圆 E上，求点P的坐标 【答案】（ 1） 22 1 43 xy ；（ 2） 4 7 3 7 (,) 77 试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c 因为椭圆E的离心率为

2、1 2 ，两准线之间的距离为8，所以 1 2 c a ， 2 2 8 a c ， 解得2,1ac，于是 22 3bac ，因此椭圆E的标准方程是 22 1 43 xy 因为 11 lPF， 22 lPF，所以直线 1 l的斜率为 0 0 1x y ，直线 2 l的斜率为 0 0 1x y ， 从而直线 1 l的方程： 0 0 1 (1) x yx y ， 直线 2 l的方程： 0 0 1 (1) x yx y 由，解得 2 0 0 0 1 , x xxy y ，所以 2 0 0 0 1 (,) x Qx y 因为点Q在椭圆上，由对称性，得 2 0 0 0 1x y y ，即 22 00 1xy

3、或 22 00 1xy 又P在椭圆E上，故 22 00 1 43 xy 由 22 00 22 00 1 1 43 xy xy ，解得 00 473 7 , 77 xy ； 22 00 22 00 1 1 43 xy xy ，无解 因此点P的坐标为 4 73 7 (,) 77 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系 【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程 组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲 线上（点的坐标满足曲线方程）等 2. 【 2014江 苏 ， 理17 】 如 图 在 平 面 直 角 坐 标 系x o

4、y中 ， 12 ,F F分 别 是 椭 圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点，顶点B的坐标是(0, )b，连接 2 BF并延长交椭圆于点A， 过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接 1 FC. （1）若点C的坐标为 4 1 (,) 3 3 ，且 2 2BF，求椭圆的方程； （2）若 1 FCAB，求椭圆离心率e的值 . 【答案】（1） 2 2 1 2 x y； （2） 1 2 【解析】 试题分析：（ 1）求椭圆标准方程，一般要找到关系, ,a b c的两个等量关系，本题中椭圆过点 4 1 (,) 3 3 C， 可 把 点 的 坐 标 代 入 标 准 方 程 ， 得 到 一

5、个 关 于, ,a b c的 方 程 ， 另 外 22 22 BFOBOFa2，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关 于, ,a b c的一个等式， 题设条件是 1 FCAB， 即 1 1 F CA B kk， 2 ABF B b kk c ， 要求 1 F C k， 必须求得C的坐标，由已知写出 2 BF方程，与椭圆方程联立可解得A点坐标 11 (,)x y，则 11 (,)C xy， 由 此 1 F C k可 得 ， 代 入 1 1 F CAB kk可 得 关 于, ,a b c的 等 式 ， 再 由 222, c bace a 可得e的方程，可求得e. 试题解析： （1

6、）由题意， 2( ,0) F c，(0, )Bb， 22 2 2BFbca，又 4 1 (,) 3 3 C， 22 2 41 ( )( ) 33 1 2b ，解得1b椭圆方程为 2 2 1 2 x y （2）直线 2 BF方程为1 xy cb ，与椭圆方程 22 22 1 xy ab 联立方程组，解得A点坐标为 23 2222 2 (,) a cb acac ，则C点坐标为 23 2222 2 (,) a cb acac ， 1 3 3 22 223 22 23 F C b b ac k a ca cc c ac ， 又 AB b k c ，由 1 FCAB得 3 23 ()1 3 bb a

7、ccc ，即 4224 3ba cc， 222224 ()3aca cc，化简得 5 5 c e a 3 【2013 江苏，理 12】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为 22 22 =1 xy ab (a0，b 0) ，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B. 设原点到直线BF的距离为d1，F到l 的距离为d2. 若 21 6dd，则椭圆 C的离心率为 _ 【答案】 3 3 【解析】设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为=1 xy cb ，即 bxcy bc0. 于是可知 1 22 bcbc d a bc ， 2222 2 aacb dc ccc . 21 6dd， 2

8、 6bbc ca ，即 2 6abc . a2(a2 c2) 6c4. 6e4e210. e2 1 3 . 3 3 e . 4【 2017 浙江， 2】椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 【答案】B 【解析】 试题分析： 945 33 e，选B 【考点】椭圆的简单几何性质 【名师点睛】 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于cba,的 方程或不等式，再根据cba,的关系消掉b得到ca,的关系式，建立关于cba,的方程或不等 式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 5. 【2017 课标 3，理 10】

9、已知椭圆C： 22 22 1 xy ab ，（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2， 且以线段A1A2 为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 【答案】A 【解析】 【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率( 或离心率的取值范 围) ，常见有两种方法： 求出a，c，代入公式e c a ； 只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b 2 a 2 c 2 转化为a，c的齐次式， 然后等式 ( 不等式 ) 两边分别除以a或a 2 转化为关于e的方程 ( 不等

10、式 ) ，解方程 ( 不等式 )即可 得e(e的取值范围 ). 6 【2017 课标 1，理 20】已知椭圆C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点P1（1,1 ） ，P2（0,1 ） ，P3 （ 1， 3 2 ） ，P4（ 1， 3 2 ）中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点 . 若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1， 证明：l过定点 . 【解析】 试题解析：（1）由于 3 P ， 4 P 两点关于y轴对称，故由题设知 C经过 3 P ， 4 P 两点 . 又由 2222 1113 4abab 知，C不经过点P1，所以点

11、P2在C上. 因此 2 22 1 1 13 1 4 b ab ，解得 2 2 4 1 a b . 故C的方程为 2 2 1 4 x y. 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系. 【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方 法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之 间的关系式，从而可以判断过定点情况. 另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定 要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题 设关系进行化简. 7 【2016 高考新课标1 文数改编】 直线l经过椭圆的一

12、个顶点和一个焦点, 若椭圆中心到l 的 距离为其短轴长的 1 4, 则该椭圆的离心率为 【答案】 1 2 【解析】 试题分析：如图, 由题意得在椭圆中, 11 OFc,OBb,OD2bb 42 在RtOFB中,|OF| OB|BF |OD |,且 222 abc, 代入解得 22 a4c, 所以椭圆得离心率得 1 e 2 考点：椭圆的几何性质 【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题, 求解此类问题的一般步骤是先列出等式, 再转化为关于a,c的齐次方程 , 方程两边同时除以a的最高次幂 , 转化为关于e的方程 , 解方程 求e . 8 【2016 高考新课标文数改编】已知O为坐标原点，F

13、是椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴. 过点A的直线l与线 段PF交于点M，与y轴交于点E. 若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 【答案】 1 3 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题 意 设 直 线l的 方 程 为()yk xa， 分 别 令 xc与 0x得 点 |()F Mk ac，|OEka，由O B EC B，得 1 | | 2 | OE OB FMBC ，即 2(c ) k aa kaac ，整理，得 1 3 c a ，所以椭圆离心率为 1 3 e 考点：椭圆方程与几何性质 【思路点拨】求解椭圆的离

14、心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c的值，进而求得e的 y x O B F D 值； （ 2）建立, ,a b c的齐次等式，求得 b a 或转化为关于e的等式求解；(3) 通过特殊值或特殊 位置，求出e 9 【2016 高考北京文数】 （本小题14 分） 已知椭圆C： 22 22 1 xy ab 过点 A（2,0 ） ，B（0,1 ）两点 . （I ）求椭圆C的方程及离心率； （）设 P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线 PA与 y 轴交于点M ，直线 PB与 x 轴交于点 N，求证：四边形ABNM 的面积为定值 . 【答案】（） 2 2 1 4 x y； 3 2 e（）见解析.

15、【解析】 试题分析：（）根据两顶点坐标可知a,b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公 式求解；（）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线,的 值求乘积为定值即可. 试题解析：（I ）由题意得，2a，1b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 又 22 3cab， 所以离心率 3 2 c e a （II ）设 00 ,xy（ 0 0x， 0 0y） ，则 22 00 44xy 又2,0，0,1，所以， 直线的方程为 0 0 2 2 y yx x 令0x，得 0 0 2 2 y y x ，从而 0 0 2 11 2 y y x 直线的方程为 0 0 1 1 y yx x

16、令0y，得 0 0 1 x x y ，从而 0 0 22 1 x x y 所以四边形的面积 1 2 S 00 00 21 21 212 xy yx 22 000000 0000 44484 222 xyx yxy x yxy 0000 0000 2244 22 x yxy x yxy 2 从而四边形的面积为定值 考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力. 【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1) 从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证 明定点、定值、定线与变量无关；(2) 直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量， 从而得到定点、定值、定线. 应注意到繁难的代数运算是此类问题

17、的特点，设而不求方法、整 体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 10 【 2016 高考山东文数】( 本小题满分14 分) 已知椭圆C:（ab0）的长轴长为4，焦距为2. （I ）求椭圆C的方程； ( ) 过动点M(0 ，m)(m0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限 ) ，且M是线段 PN的中点 . 过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B. (i) 设直线PM、QM的斜率分别为k、k，证明为定值 . (ii)求直线AB的斜率的最小值. 【答案】 ( ) 22 1 42 xy .( )(i)见解析； (ii)直线 AB 的斜率的最小值为 6 2 . 【解析】

18、 试题分析： ( ) 分别计算,a b即得 . ( )(i)设 0000 ,0,0P xyxy， 利用对称点可得 00 ,2, 2.P xmQ xm 得到直线PM的斜率，直线QM的斜率，即可证得. (ii)设 1122 ,A x yB xy， 分别将直线PA的方程ykxm， 直线 QB的方程3ykxm 与椭圆方程 22 1 42 xy 联立， 应用一元二次方程根与系数的关系得到 21 xx、 21 yy及 AB k用k表示的式子，进一步应用 基本不等式即得. 试题解析： ( ) 设椭圆的半焦距为c， 由题意知 24,22 2ac ， 所以 22 2,2abac， 所以椭圆C的方程为 22 1

19、42 xy . ( )(i)设 0000 ,0,0P xyxy， 由0,Mm，可得 00 ,2, 2.P xmQ xm 所以直线 PM的斜率 00 2mmm k xx ， 直线 QM 的斜率 00 23 mmm k xx . 此时 3 k k ，所以 k k 为定值3. (ii)设 1122 ,A x yB xy， 直线 PA的方程为ykxm， 直线 QB的方程为3ykxm. 联立 22 1 42 ykxm xy ， 整理得 222 214240kxmkxm. 由 2 01 2 24 21 m x x k 可得 2 1 2 0 22 21 m x kx ， 所以 2 11 2 0 22 21

20、k m ykxmm kx ， 同理 22 22 22 00 2262 , 181181 mk m xym kxkx . 所以 2222 21 2222 000 2222322 1812118121 mmkm xx kxkxkkx ， 2222 21 2222 000 62228612 1812118121 k mmkkm yymm kxkxkkx ， 所以 2 21 21 6111 6. 44 AB yyk kk xxkk 由 0 0,0mx，可知0k， 所以 1 62 6k k ，等号当且仅当 6 6 k时取得 . 此时 2 6 6 48 m m ，即 14 7 m，符号题意 . 所以直线A

21、B 的斜率的最小值为 6 2 . 考点： 1. 椭圆的标准方程及其几何性质；2. 直线与椭圆的位置关系；3. 基本不等式 . 【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题. 解答此类题目，利用, , ,a b c e的关 系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程 组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式 子的变形能力不足，导致错漏百出 本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、 分析问题解决问题的能力等. 11 【 2015 高考新课标1，理 14】一个圆经过椭圆 22 1 164 xy 的三个顶点，

22、且圆心在x轴的 正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】 22 325 () 24 xy 【解析】设圆心为（a，0） ，则半径为4a，则 222 (4)2aa，解得 3 2 a ，故圆的方 程为 22325 () 24 xy. 12 【 2015 高考安徽，理20】设椭圆 E的方程为 22 22 10 xy ab ab ，点 O为坐标原点， 点 A的坐标为0a，点 B的坐标为0 b，点 M在线段 AB上，满足2BMMA，直线 OM 的斜率为 5 10 . （I ）求 E的离心率e； （II ）设点 C的坐标为0b，N为线段 AC的中点，点N关于直线 AB的对称点的纵坐标为 7 2 ，求 E的

23、方程 . 【解析】（I ）由题设条件知，点 M 的坐标为 21 (,) 33 ab，又 5 10 OM k，从而 5 210 b a ，进 而得 22 5 ,2ab cabb，故 2 5 5 c e a . （ II ）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线AB的方程为1 5 xy bb ，点N的坐 标为 51 (,) 22 bb， 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为 1 7 (,) 2 x， 则线段NS的中点T的 坐标为 1 517 (,) 4244 x bb. 又点T在直线AB上，且1 NSAB kk, 从而有 1 1 517 4244 1 5 71 22 5 5 2 x bb b b

24、 b b x 解得3b，所以3 5a，故椭圆E的方程为 22 1 459 xy . 13. 【 2015 高考重庆，理21】如题（ 21）图，椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别 为 12 ,F F过 2 F的直线交椭圆于,P Q两点，且 1 PQPF F2F1 P Q y x O （1）若 12 22,22PFPF，求椭圆的标准方程 （2）若 1 ,PFPQ求椭圆的离心率. e 【解析】 (1)由椭圆的定义， () () 12 2| PF |PF |22224aa=+=+-= ，故=2.设椭圆的 半焦距为c，由已知 12 PFPF，因此 () () 22 22 1212

25、2| FF |PF | PF |22222 3c =+=+-=，即3c=.从而 22 b1ac=-=，故所求椭圆的标准方程为 2 2 +y =1 4 x . (2) 解法一：如图 (21) 图，设点P 00 (,y )x在椭圆上，且 12 PFPF，则 22 22200 0022 y +=1, x xyc ab +=，求得 2 22 00 =2,y. cb xab ac 由 12 |PF |=| |PF |PQ , 得 00 x, 从而 2 2 2 2 222222222 1 |PF | =2+c2222. cb ababaabaab ac 由椭 圆的定义， 1212 |PF |PF | 2

26、,|QF |QF | 2aa+=+=, 从而由 122 |PF |= |PQ|= |PF |+|QF |，有 11 |QF | 42|PF |a=-，又由 12 PFPF， 1 |PF |= |PQ|知 11 |QF |2 |PF |=，因此 () 1 2+2 | PF |=4 a，于是 ()() 22 2224 .aaba+-=解得 2 14 1163 2 22 e . 解法二：如图(21) 图由椭圆的定义， 1212 |PF |PF | 2 ,| QF | |QF | 2aa+=+=, 从而由 122 |PF |= |PQ|=|PF |+|QF |，有 11 |QF | 42|PF |a=

27、-，又由 12 PFPF， 1 |PF |=|PQ|知 11 |QF |2 |PF |=，因此 11 42| PF |2 |PF |a-=, 1 |PF |=2(2- 2)a, 从而 21|PF |=2 -| PF | 2(2- 2)2( 21)aaaa=-=- 由 12 PFPF, 知 22222 122 |PF |PF |PF |(2 )4cc+=，因此 22 1222 |PF |PF | (22)( 21)96 263 2 c e aa + =-+-=-=- 14. 【 2015 高考湖北，理21】一种作图工具如图1 所示 O 是滑槽AB的中点，短杆ON可绕 O转动，长杆MN 通过 N处

28、铰链与ON连接，MN 上的栓子 D可沿滑槽AB滑动，且 1DNON，3MN当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动一周（D不 动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C以 O 为原点，AB所在的直线为x轴建 立如图 2 所示的平面直角坐标系 （）求曲线C的方程； （）设动直线l 与两定直线 1: 20lxy和 2: 20lxy分别交于,P Q 两点若直线l 总与曲 线 C 有且只有一个公共点，试探究：OQP的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值； 若不存在，说明理由 BADO M N 【解析】 （）设点( , 0) (|2)D tt， 00 (,),( , )N xyM

29、x y ， 依题意，2MDDN ， 且 | 1D NO N， 所以 00 (,)2(,)txyxt y，且 22 00 22 00 ()1, 1. xty xy ，即 0 0 22 , 2. txxt yy 且 0 (2)0.t tx由于 当点 D 不动时，点N 也不动，所以t不恒等于0，于是 0 2tx ，故 00 , 42 xy xy，代入 22 00 1xy，可得 22 1 164 xy ，即所求的曲线C 的方程为 22 1. 164 xy x D O M N y （）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x或4x，都有 1 448 2 OPQ S. 当直线 l 的斜率存在时，设直线 1

30、 :() 2 lykxmk， 由 22 , 416, ykxm xy 消去y，可得 222 (14)84160kxkmxm. 因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以 2222 644(14)(416)0k mkm ，即 22 164mk. 又由 , 20, ykxm xy 可得 2 (,) 1212 mm P kk ；同理可得 2 (,) 1212 mm Q kk . 由原点 O 到直线PQ的距 离为 2 | 1 m d k 和 2 |1| PQ PQkxx，可得 2 2 111222 | 222121214 OPQPQ mmm SPQdmxxm kkk . 将代入得， 2 2

31、 2 2 41 2 8 1441 OPQ k m S kk . 当 21 4 k时， 2 22 412 8()8(1)8 4141 OPQ k S kk ； 当 21 0 4 k时， 2 22 412 8()8( 1) 1414 OPQ k S kk . 因 21 0 4 k，则 2 0141k， 2 2 2 14k ， 所以 2 2 8( 1)8 14 OPQ S k ， 当且仅当0k时取等号 . 所以当0k时， OPQ S的 最小值为8. 15. 【 2015 高考陕西，理20】 （本小题满分12 分）已知椭圆: 22 22 1 xy ab （0ab）的 半焦距为 c，原点 到经过两点,0

32、c， 0,b的直线的距离为 1 2 c （I ）求椭圆的离心率； （II ）如图，是圆: 225 21 2 xy的一条直径，若椭圆经过，两点， x D O M N y P Q 求椭圆的方程 【解析】（I ）过点,0c，0,b的直线方程为0bxcybc+-=，则原点到直线的距离 22 bcbc d a bc ，由 1 2 dc=，得 22 22abac=-，解得离心率 3 2 c a =. (II)解法一：由（ I ）知，椭圆的方程为 222 44xyb+=. (1) 依题意，圆心2,1是线段的中点，且 |AB|10= . 易知，不与x轴垂直，设其 直线方程为(2)1yk x=+，代入 (1)

33、得 2222 (1 4)8 (21)4(21)40kxkkxkb+-=，设 1122 (,y ),B(,y ),A xx则 22 1212 22 8 (21)4(21)4 ,. 1 414 kkkb xxx x kk +- += -= - + 由 12 4xx+= -，得 2 8 (21) 4, 1 4 kk k + -= - + 解得 1 2 k =. 从而 2 12 82x xb=-.于是 2 2 2 121212 15 |AB |1|410(2) 22 xxxxx xb . 由|AB|10=，得 2 10(2)10b -=，解得 2 3b =. 故椭圆的方程为 22 1 123 xy +

34、=. 解法二：由（I ）知，椭圆的方程为 222 44xyb+=. (2) 依题意，点，关于圆心2,1对称，且|AB|10=. 设 1122 (,y ),B(,y ),A xx则 222 11 44xyb+=， 222 22 44xyb+=，两式相减并结合 1212 4,y2,xxy+= -+=得 () 1212 -4()80xxyy-+-=. 易知，不与x轴垂直，则 12 xx，所以的斜率 12 12 1 k. 2 AB yy xx - = - 因此直线方程为 1 (2)1 2 yx=+，代入 (2) 得 22 4820.xxb+-=所 以 12 4xx+=-， 2 12 82x xb=-.

35、 于是 2 2 2 121212 15 |AB |1|410(2) 22 xxxxx xb . 由|AB| 10= ，得 2 10(2)10b -=，解得 2 3b =. 故椭圆的方程为 22 1 123 xy +=. 【2018 年高考命题预测】 纵观 2017 各地高考试题，对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线 与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标 准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的 位置关系，一般是难题，分值一般为5-12 分. 展望 2018 年高考，对椭圆的考查，仍重点考

36、查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题 的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题， 以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12 分. 在 备战 2018 年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三 角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件 研究椭圆的几何性质，会用舍而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关 的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法 应用 .

37、 【2018 年高考考点定位】 高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的 几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与 两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力 和逻辑推理能力是考查是的重点. 【考点 1】椭圆的定义与标准方程 【备考知识梳理】 1. 椭圆的定义： 把平面内与两定点 12 ,F F的距离之和等于常数（大于 12 |F F）的点的轨迹叫做 椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为： 12 | 2PFPFa( 12 2|aF F). 注意： （

38、1）当 12 2|aF F时，轨迹是线段 12 F F.(2) 当 12 2|aF F时，轨迹不存在. 2. 椭圆的标准方程： （ 1） 焦点在 x轴上的椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ；焦点在 y轴上的椭圆的标准方程为 22 22 1(0) yx ab ab . 给定椭圆 22 22 1(0,0) xy mn mn ，要 根据,m n的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2) 椭圆中, ,a b c 关系为： 222 abc . 【规律方法技巧】 1. 利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构 成的三角形问

39、题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理. 2. 求椭圆的标准方程方法 (1) 定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间 的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭 圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程. (2) 待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，定性- 确定它是椭圆； 定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；定量- 建立关于基本量, , ,a b c e的关系式， 解出参数即可求出椭圆的标准方程. 3. 若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设椭圆方程为 22 1(0,0)Ax

40、ByAB，可避免分类讨论和繁琐的计算. 【考点针对训练】 1. 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的焦距为2, 过 M （1,1 ）斜率为 - 2 3 直线l交曲线 C于 ,A B且 M是线段 AB的中点，则椭圆C的标准方程为_. 【答案】 22 1 32 xy 【解析】由题知，2c=2，c=1，即 22 1ab， 设 A 11 (,)x y， 22 (,)B xy，则 12 xx=2， 12 yy=2， 22 11 22 1 xy ab ， 22 22 22 1 xy ab ， - 得 2222 1212 22 xxyy ab = 12121212 22 ()()()()

41、xxxxyyyy ab = 1212 22 2()2()xxyy ab =0， l k= 12 12 yy xx = 2 2 b a =- 2 3 ，由解得， 22 3,2ab，故椭圆C的标准方程为 22 1 32 xy ，. 2. 在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线 l经过点 )2, 3(P，且与x轴交于点F（2，0）. （）求直线l的方程； （）如果一个椭圆经过点P，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程. 【解析】（）由于直线l经过点)2, 3(P和 F（2，0） ， 则根据两点式得，所求直线l的方程 为. 23 2 02 0xy 即).2(2 xy从而直线 l的方程是 ).2(2

42、 xy （）设所求椭圆的标准方程为)0( 1 . 2 2 2 2 ba b y a x ，由于一个焦点为F（2，0） ， 则4,2 22 bac即，又点)2, 3(P在椭圆)0(1 . 2 2 2 2 ba b y a x 上， 则 1 29 22 ba 由解得.8,12 22 ba所以所求椭圆的标准方程为1 812 22 yx 【考点 2】椭圆的几何性质 【备考知识梳理】 1. 椭圆的几何性质 焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 1(0) xy ab ab 22 22 1(0) yx ab ab 焦点( c,0) (0 ，c) 焦距|F1F2| 2c(c 2 a 2 b 2

43、) 范围|x| a；|y| b|x| b；|y| a 顶点长轴顶点 ( a,0)，短轴顶点 (0 ，b) 长轴顶点 (0 ，a) ，短轴顶点 ( b,0) 对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称 离心率 e c a(0 ，1) ，其中 ca 2 b 2 2. 点 00 (,)P xy与椭圆 22 22 1 xy ab 关系（ 1）点 00 (,)P xy在椭圆内 22 00 22 1 xy ab ； （2）点 00 (,)P xy在椭圆上 22 00 22 1 xy ab ； （3）点 00 (,)P xy在椭圆外 22 00 22 1 xy ab . 【规律方法技巧】

44、 1. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图 像. 当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它 们之间的内在联系. 2. 椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值 范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用. 3. 求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出, ,a b c的等式或不等式，结合 222 abc化出关于,a c的式子， 再利用 c e a ，化成关于e的等式或不等式，从而解出e的 值或范围 . 离心率 e与,a b的关系为： 222 2 22 cab e aa

45、= 2 2 1 b a 2 1 b e a . 4. 椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为,ac ac. 4. 椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为 2 2b a ， 是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值. 【考点针对训练】 1. 椭圆 22 1 167 xy 上横坐标为2 的点到右焦点的距离为_ 【答案】 5 . 2 【解析】横坐标为2 的点到右焦点的距离为 2 35 (2)242. 42 a eae c 2. 椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为F， 若F关于直线30xy的对称点A是椭 圆C上的点，则椭圆 C的离心率为

46、 _ 【答案】31 【解析】设(,0)Fc关于直线30xy的对称点A的坐标为(m,n)，则 (3)1 30 22 n mc mcn ，所以 2 c m， 3 2 c n，将其代入椭圆方程可得 22 22 3 44 1 cc ab ，化简 可得 42 840ee，解得31e 【考点 3】直线与椭圆的位置关系 【备考知识梳理】 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式0，则直线与椭圆交； 若 =0，则直线与椭圆相切；若0，则直线与椭圆相离. 【规律方法技巧】 1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆 交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，

47、用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来， 这是进一步解题的基础 2直线ykxb(k0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1) ，B(x2，y2) 两点，则弦长 |AB| 1k 2 |x1x2| 1k 2 x1x2 24x 1x21 1 k 2|y1y2| 1 1 k 2y1y2 24y 1y2. 3对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】 1. 已知椭圆C的两个焦点分别为 1( 1 0) F，、 2(1 0) F，, 短轴的两个端点分别为 12 B B、 （）若 112 F B B为等边三角形, 求椭圆C的方程 ; （）若椭圆C的短轴长为2, 过点 2 F的直线l与椭圆C相交于P Q、两

48、点 , 且 11 F PFQ, 求 直线l的方程 【解析】（）设椭圆C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab 根据题意知 22 2 1 ab ab , 解得 24 3 a, 21 3 b 故椭圆C的方程为 22 1 41 33 xy （）容易求得椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y当直线l的斜率不存在时, 其方程为1x, 不符 合题意 ; 当直线的斜率存在时, 设直线l的方程为(1)yk x由 2 2 (1) 1 2 yk x x y 得 2222 (21)42(1)0kxk xk设 1122 ()()P x yQ xy，, 则 2 8(1)0k对任意 xR都成立， 22 1212111122 22 42(1) (1)(1) 2121 kk xxx xF PxyFQxy kk ，因 为 11 F PFQ, 所以 11 0F P FQ, 即 2 1212121212 (1)(1)()1(1)(1)xxy yx xxxkxx 222 1212 (1)(1)()1kx xkxxk 2 2 71 0 21 k k , 解得 21 7 k, 即 7 7 k 故直线l的方程为710xy或710xy 2. 在平面直角坐标系