江苏2018届高考数学总复习必做05数学归纳法试题含解析.pdf

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1、专题 5 数学归纳法【三年高考】 1 【2015 江苏高考， 23】已知集合3 ,2, 1X， )(,3 , 2, 1 * NnnYn， ,),(abbabaSn 整除或整除 n YbXa,，令( )f n表示集合 n S所含元素的个数. （1）写出(6)f的值；（2）当6n时，写出( )f n的表达式，并用数学归纳法证明. 【解析】（1）613f （2）当6n时， 2,6 23 11 2,61 23 2 2,62 23 1 2,63 23 1 2,64 23 12 2,65 23 nn nnt nn nnt nn nnt fn nn nnt nn nnt nn nnt （t ）下面用数

2、学归纳法证明： 3）若162kt，则61kt，此时有 11 1222 23 kk fkfkk 121 12 23 kk k，结论成立； 4）若163kt，则62kt，此时有 2 1222 23 kk fkfkk 11 1 12 23 k k k，结论成立； 5）若164kt，则63kt，此时有 1 1222 23 kk fkfkk 11 1 12 23 k k k，结论成立；6）若165kt，则64kt，此时有 1 1121 23 kk fkfkk 1112 12 23 kk k，结论成立综上所述，结论对满足 6n 的自然数 n均成立 2. 【 2014 江苏，理 23】已知函数 0 si

3、n ( )(0) x fxx x ，设( ) n fx为 1( )n fx 的导数， * nN （1）求 12 2()() 222 ff的值；（2）证明：对任意 * nN，等式 1 2 ()() 4442 nn nff都成立 . 【答案】 (1)1；（2）证明见解析【解析】（1）由已知 102 sincossin ( ) ( )() xxx fxfx xxx ， 21223 cossinsin2cos2sin ( ) ( )() xxxxx fxfx xxxxx ，所以 12 4 () 2 f， 23 216 () 2 f，故 12 2()() 222 ff1. （1）1n时命题已经

4、成立，（2）假设nk时，命题成立，即 1( ) ( )sin() 2 kk k kfxxfxx，对此式两边求导可得 1 ( )( ) ( )cos() 2 kkk k kfxfxxfxx 1 sin() 2 k x，即 1 1 (1)( )( )sin() 2 kk k kfxxfxx，因此1nk时命题也成立 . 综合（ 1）（2）等式 1( ) ( )sin() 2 nn n nfxxfxx对一切*nN都成立 . 令 4 x ，得1 1 ()()sin() 44442 nn n nff ，所以 1 2 ()() 4442 nn nff. 3 【2016 山东文 12】观察下列等式：

5、 2224 (sin)(sin)1 2 333 ； 22222344 (sin)(sin)(sin)(sin)23 55553 ； 22222364 (sin)(sin)(sin)(sin)3 4 77773 ； 22222384 (sin)(sin)(sin)(sin)4 5 99993 ；照此规律， 2222232 (sin)(sin)(sin)(sin) 21212121 n nnnn _ 【答案】 4 1 3 nn 【解析】通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是 4 3 ，接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是1n n，所以第n个等式右边是 4 1 3 nn

6、. 4 【2015 高考山东，理11】观察下列各式： 00 1 4C 011 33 4CC 0122 555 4 ;CCC 01233 7777 4CCCC 照此规律，当nN时， 0121 21212121 n nnnn CCCC . 【答案】 1 4 n 【2018 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，江苏高考对数学归纳法的考查主要在方法的运用的考查其应用几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透；预计2018 年高考也将会有题目用到推理证明的方法。推理与证明是数学的基础思维

7、过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养数学归纳法是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，要很好地掌握其原理并灵活运用复习建议：数学归纳法证明关键是解题的步骤，必须符合数学归纳法的要求，解决此类题目时要建立合理的解题思路；【2018 年高考考点定位】高考的考查：数学归纳法（理科附加）内容，由于推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉

8、及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，因此数学归纳法的应用是方方面面的，在高考中会涉及和渗透，但不可能单独出题，一般可能在附加综合题中在涉及到无穷的过程时考查数学归纳法【考点 1】数学归纳法【备考知识梳理】 1. 一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法 2数学归纳法：设 n p是一个与正整数相关的命题集合，如果：证明起始命题 1 p( 或 0 p) 成立；在假设 k p成立的前提下，推出 1k p 也成立，那么可以断定 np 对一切正整数成立 3. 用

9、数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：归纳奠基：证明当取第一个自然数 0 n时命题成立；归纳递推：假设nk，(kN ， 0 kn) 时，命题成立，证明当1nk时，命题成立；由得出结论【规律方法技巧】 1. 明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在nk 1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是“一凑假设，二凑结论” 2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1) 用数学归纳法证明等式问题是常

10、见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值 0 n的值 (2) 由nk到1nk时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉来 3. 数学归纳法证明不等式的注意问题 (1) 当遇到与正整数 n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法 (2) 用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证

11、1nk时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差( 作商 ) 比较法、放缩法等证明 4. “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律 5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题在使用数学归纳法时还要明确： (1) 数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可； (2) 在运用数学归纳法时，要注

12、意起点 0 n，并非一定取1，也可能取0,2 等值，要看清题目； (3) 第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由 nk到1nk 时命题变化的情况 6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的【考点针对训练】 1. 用数学归纳法证明不等式“2, 12 1 3 1 2 1 1 * nNnn

13、 n ”时，由 2kkn不等式成立，推证1kn时，左边应增加的项数是【答案】 k 2 【解析】 1kn 时，左边为 1 111111 1 232122121 kkkk ，增加了 1 111 22121 kkk ，共 k+1k (21)(21)2 k 项 2. 设 n 个正数 12,na aa 满足12n aaa （ * Nn 且3 n ）（1）当3n时，证明： 2331 12 123 312 a a aa aa a aa aaa ；（2）当 4n 时，不等式 23341241 1234 3412 a a aa aa aa a aaa aaaa 也成立，请你将其推广到n （ * Nn且3

14、n）个正数 12 , n a aa 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明【解析】（1）证明：因为 n a （ * Nn且3 n ）均为正实数，左右 = 132323131212 123 231312 111 222 222 a aa aa aa aa aaa aaa aaaaaa 1 32323131 212 123 231312 111 222222 222 a aa aa aa aa aa a aaa aaaaaa =0，所以，原不等式 231312 123 123 a a aa aaa aa aaa 成立（2）归纳的不等式为： 23211112 12 3412 nnnnn

15、 n n a a aaaaaa aa a aa aaaaa + （ * Nn且3 n ）记 232111 12 12 3412 nnnnn nn n a a aaaaaa aa a Faa aaaaa + ，当3n（ * Nn）时，由（ 1）知，不等式成立；假设当 nk（ * Nk且3k）时，不等式成立，即 232111 12 12 3412 0 kkkkk kk k a a aaaaaa aaa Faa aaaaa + 则当1nk时， 2321111112 1121 34112 kkkkkkk kkk kk a a aaaaaa aaaa a Faaa aaaaaa + = 11111

16、1 1 11212 kkkkkkkk kk k aaa aaaaaa a Fa aaaaa + = 1 111 1112 11 1 k kkkkkk k aa Faaaaa aaaa + 21 11 111 11 01 k kkkk kk aa aaaa aaaa += 11 1 11 kkk kk kk aaaa aa aaa ，因为 1kk aa ， 1 1 2 k k aa aa ， 111 11 2 kkkk kk aaaa aa ，所以 1 0 k F ，所以当1nk，不等式成立综上所述，不等式 23211112 12 3412 nnnnn n n a a aaaa aa aaa

17、aa aaaaa + （ * Nn且3 n ）成立【两年模拟详解析】 1. 【 2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知 01 1 n n nnn fxC xCx1 kn k n CxkL1 nn m n CxnL，其中Rx， * Nn，Nk，kn. （1）试求 1 fx， 2 fx， 3 fx的值；（2）试猜测 nfx 关于n的表达式，并证明你的结论. 【答案】（ 1），（ 2）【解析】解：（ 1）；； . （2）猜想：. 而，所以. 用数学归纳法证明结论成立. 当时，所以结论成立. 假设当时，. 当时，（*）由归纳假设知（*）式等于. 所以当时，

18、结论也成立. 综合，成立 . 2. 【 2017 年第三次全国大联考江苏卷】已知每一项都是正数的数列 n a满足 1 1a， * 1 1 () 12 n n n a an a N （1）用数学归纳法证明： 2121nn aa ；（2）记 n S为数列 1 | nn aa的前n项和，证明： * 6(). n SnN 【解析】（1）因为 1 10a ， * 1 1 () 12 n n n a an a N，当时，成立；（2）由（ 1）知，所以，同理由数学归纳法可证，猜测：，下证这个结论因为，所以与异号 , 即与同号注意到，知，即所以有，从而可知，所以，所以 10 分 3.

19、【 2017 年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设,()mF mN表示 2log m 的整数部分（）求(1),(2),(3)FFF；（）求满足 ()3F m 的m的值；（）求证：(1)(2)(3)(2 )(2) 22 nn FFFFnn 【解析】（）因为 2 log 10，所以(1)0F；因为 2 log 21，所以(2)1F；又因为 2 1log 32，所以(3)1F；-（ 2分）（）当( )3F m时，设 2 log3(01)maa ，则 3 2 a m，所以 34 22m，即8 16m ，所以8,9,10,11,12,13,14,15m，共 8 个值； -（5

20、分）（）用数学归纳法推证: 当1n时，左边等于(1)(2)011FF；右边等于 1 (1 2) 2121，等式成立； - （7 分）假设当nk时，等式也成立，即(1)(2)(2 )(2) 22 kk FFFkk，那么当 1nk 时， 1 (1)(2)(2 )(21)(22)(2)(2) 22(21)(1) kkkkkk FFFFFFkkkk ，即 11 (1)(2)(2 )(21)(22)(2)(12) 2(1)2 kkkkk FFFFFFkk成立，也就是说当1nk时等式也成立，根据可知对任何n N 等式都成立 - （10 分） 4. 【 2017 年高考原创押题预测卷01（江苏卷

21、）】（本小题满分10 分）设i为虚数单位，n为正整数，0, 2 ) （1）用数学归纳法证明：(cosisin)cosisin n nn；（2）已知 3iz ，试利用（ 1）的结论计算 10 z. 【答案】（1）详见解析；（2）512(1+ 3i). 【解析】（1）证明：1当1n时，左边 =右边 =cosisin，命题成立； 1 分 2 假设当nk时，命题成立，即(cosisin)cosisin k kk，则当1nk时， 1 (cosisin)(cosisin)(cosisin) kk (cosisin)(cosisin)kk (coscossinsin)i(cossinsincos

22、 )kkkk cos(1)isin(1)kk 1nk这就是说，当时，命题也成立； 4 分综上，由1和2可得，(cosisin)cosisin n nn 6 分（2） 31 3i2(i)2(cos()isin() 2266 z ， 1010101010 5513 2 (cos()isin()2 (cos()isin()2 (i) 663322 z =512(1+ 3i) 10 分 5. 【 2017年高考原创押题预测卷02 （江苏卷）】已知数列 n a的通项公式为 ), 1( 13 3 Nnn n a n n n . （）求 321 ,aaa的值

23、；（）求证：对任意的自然数Nn ，不等式!2 21 naaa n 成立 . 【解析】（）将3 ,2, 1n代入可得 123 3981 , 2426 aaa ； -（2 分）（）证明：由 3 (1,) 1 31 1 3 n n n n nn annN 可得： ) 3 1 1 () 3 1 1)( 3 1 1( ! 2 21 n n n aaa，因此欲证明不等式!2 21 naaa n 成立，只需要证明当对一切非零自然数n不等式 2 1 ) 3 1 1 () 3 1 1)( 3 1 1 ( 2n 恒成立即可，- -（4 分）显然左端每个因式都为正数，因 2 1 2 1 1) 3 1 1

24、( 2 1 1) 3 1 1 3 1 1 ( 3 1 1) 3 1 3 1 3 1 (1 2n n n , 故只需证明对每个非零自然数，不等式) 3 1 3 1 3 1 (1) 3 1 1 () 3 1 1)( 3 1 1( 22nn - （*）恒成立即可 .-（5 分）下用数学归纳法证明该不等式成立：（1）显然当1n时，不等式（* ）恒成立； -（6 分）（2）假设当kn时不等式（ * ）也成立，即不等式 ) 3 1 3 1 3 1 (1) 3 1 1 () 3 1 1)( 3 1 1 ( 22kk 成立，那么当1kn时， 3 1 1) 3 1 3 1 3 1 (1 ) 3 1 1)

25、( 3 1 1 () 3 1 1)( 3 1 1 ( 1212kkkk ，即 ) 3 1 3 1 3 1 ( 3 1 3 1 ) 3 1 3 1 3 1 (1) 3 1 1 () 3 1 1)( 3 1 1 ( 211212kkkkk ，注意到0) 3 1 3 1 3 1 ( 3 1 21kk ，所以 ) 3 1 3 1 3 1 3 1 (1) 3 1 1() 3 1 1)( 3 1 1( 1212kkk ，这说明当1kn时，不等式不等式（ * ）也成立 .-（9 分）因此由数学归纳法可知：不等式（*）对一切非零自然数都成立；即 2 1 ) 3 1 3 1 3 1 (1) 3 1 1()

26、 3 1 1)( 3 1 1 ( 22nn 恒成立，故欲证不等式 !2 21 naaa n 对一切非零自然数都成立.-（10 分） 6. 【扬州市20162017 学年度第一学期期末检测】（本小题满分10 分）已知 01 0011 ( 1) C( )( 1) C( )( 1) C( ),() n nn nnnn FxfxfxfxnN( )(0)x，其中 i( )fx(i0,1,2,)n是关于x的函数 . （1）若 i i( )=fxx(i)N，求 2 1F ( )， 2017 2F( )的值；（2）若 i( )=(i) i x fx x+ N，求证： ! = (1)(2)() n n F

27、 x xxxn ( )()n N. 【解析】解：因为 i i( )=fxx(i)N，所以 000111 ( 1) C( 1) C( 1) C(1) nnnn nnnn F xxxxx( )，所以 21 F ( )=0， -1 分所以 2017 2017 2(12)1F( ). -3 分因为 i( )=(0,i) i x fxx x+ N，所以 01 0011ii i0 =( 1) C( )( 1) C( )( 1) C( )( 1) C() i n n nn nnnnn x Fxfxfxfxn x+ N( ). 当1n时， 1 ii 1 i 0 1 =( 1) C1 i11 n xx

28、Fx x+x+x+ ( )，所以1n时结论成立 . -4分假设 nk( )k N时结论成立，即 ii i0 ! =( 1) C i(1)(2)() k kk xk F x x+xxxk ( )，则1nk时， 1 iiii11 1111 i 0i 1 =( 1) C=1+( 1)C( 1)C ii1 kk kk kkkk xxx Fx x+x+x+ k ( ) iii 111 1 i 1 1( 1) (C + C)( 1)C i1 k kk kkk xx x+x+ k 1 iiii-1 i0i 1 ( 1) C( 1) C ii kk kk xx x+x+ = 1 i-1i-1ii i 1i

29、0 ( 1) C( 1) C ii1 kk kkkk xx F xF x x+x+ ( )-( )- ii i0 1 ( 1) C1 1+i11 k kkkk x+xx F xF xF x+ x+x+x+ ( )-( )() ! (1)(2)()(2)(3)(1+ )1 kkx xxxkxxxkx+ (1+ )! = (1)(2)()(1+ ) xkkx k xxxkxk ( +1)! = (1)(2)(3)(1+ ) k xxxxk ，所以1nk时，结论也成立. 综合可知， ! = (1)(2)() n n Fx xxxn ( )()n N. -10分 7. 【 2017 南通扬州泰州苏北

30、四市高三二模】（本小题满分10 分）设 * 2nnN ，有序数组 12n aaa，经m次变换后得到数组 12mmmn bbb ，，其中 11iii baa ，， 111mimimi bbb ，（i1，2，n）， 11n a a ， 1111mnm bb ， (2)m 例如：有序数组123，，经 1 次变换后得到数组12233 1，即354，，；经第 2 次变换后得到数组897，，（1）若 (12) i aiin，，求 35 b，的值；（2）求证： 0 C m j miijm j ba ，，其中i1， 2，n （注：当 ijknt 时， * kN ，t1，2，n，则

31、 ijt aa ）解：（ 1）依题意，1 2 345678n，，，，，，，，经 1 次变换为：35 7911 13 151n，，，，，经 2 次变换为：812 162024284n，，经 3 次变换为：20 2836445212n，所以 35 52b， 3 分（2）下面用数学归纳法证明对 * mN ， 0 C m j miijm j ba ，，其中12in，，（i ）当1m时， 1 111 0 C j iiiij j baaa ，，其中12in，，，结论成立；（ii ）假设 * ()mkkN时， ki b， 0 C k j ijk j a，其

32、中12in，， 5 分则1mk时， 11kikiki bbb ， 1 00 CC kk jj ijkijk jj aa 1 1 01 CC kk jj ijkijk jj aa 01 1 1 CCCC k jjk ikijkkikk j aaa 01 1111 1 CCC k jk ikijkikk j aaa 1 1 0 C k j ijk j a，所以结论对1mk时也成立由（ i ）（ii ）知， * mN ， 0 C m j miijm j ba ，，其中12in，， 10 分 8. 【苏锡常镇四市2016 届高三教学情况调研（二）】设

35、结论成立综上，由（ 1）和（ 2）可知，结论成立 9 【江苏省苏中三市2016 届高三第二次调研测试】设 4124kk Saaa（ * Nk），其中0,1 i a（1,2,4ik）当 4k S除以 4 的余数是 b（0,1,2,3b）时，数列 124 , k a aa 的个数记为m b （1）当2k时，求1m的值；（2）求3m关于k的表达式，并化简【答案】（1）64（ 2） 21 34 k m 试题解析：解：（1）当2k时，数列 123 , n a a aa中有 1 个 1 或 5 个 1，其余为0，所以 15 88 64mCC 3 分（2）依题意，数列 124 , k a

36、aa中有 3 个 1，或 7 个 1，或 11 个 1，或41k个 1 ，其余为 0，所以 371141 4444 3 k kkkk mCCCC 5 分同理，得 15943 4444 1 k kkkk mCCCC 因为 4 44 3,7,11,41 iki kk CCik，所以13mm 又 139434141 44444 132 kkk kkkkk mmCCCCC，所以 4221 324 kk m 10. 【2016 届山东省潍坊中学高三上学期开学】观察下列等式 11第一个式子 9432第二个式子 2576543第三个式子 4910987654 第四个式子照此规律下去（）写出第5

37、个等式；（）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想【答案】详见解析【解析】（）第5 个等式 2 567139；（）猜测第n个等式为 2 ) 12()23()2() 1(nnnnn，再用数学归纳法加以证明试题解析：（）第5 个等式5671381 （）猜测第n个等式为 2 )12()23()2() 1(nnnnn 证明：（1）当 1n 时显然成立；（2）假设), 1(Nkkkn 时也成立，即有 2 )12()23()2()1(kkkkk 那么当1kn时左边) 13()3()13()23()2()1(kkkkkk 222 2 1) 1(2)12(8144 )13()3()

38、 12()12( 133) 12()23()2()1( kkkkk kkkk kkkkkkk 而右边 2 1) 1( 2k这就是说 1kn 时等式也成立根据（ 1）（2）知，等式对任何Nn 都成立 11求证： 1 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n( nN *) 【答案】详见解析【解析】证明：(1) 当n1 时，左边 11 2 1 2，右边 1 11 1 2. 左边右边 (2) 假设nk时等式成立，即1 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 k1 1 k 2 1 2k，则当nk1 时， 1 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2

39、k 1 2k1 1 2k2 1 k1 1 k 2 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k 2 1 k3 1 2k1 1 2k2. 即当nk1 时，等式也成立综合 (1) ，(2) 可知，对一切n N *，等式成立 12设f(n) 11 2 1 3 1 n( nN *) 求证： f(1) f(2) f(n1)nf(n) 1(n2， nN *) 【答案】详见解析【解析】证明：(1) 当n2 时，左边f(1) 1，右边 2 1 1 21 1，左边右边，等式成立 (2) 假设nk(k2，kN *) 时，结论成立，即 f(1) f(2) f(k1)kf(k) 1 ，那么，当nk1 时， f(

40、1) f(2) f(k1)f(k) kf(k) 1 f(k) (k1)f(k) k (k1) fk 1 k1 k (k1)f(k1) (k1) (k1)f(k1) 1 ，当nk1 时结论仍然成立由(1)(2)可知：f(1) f(2) f(n1) nf(n) 1(n2，n N *) 【一年原创真预测】 1用数学归纳法证明： 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 n1 1 2 n( nN * ) 【答案】详见解析【解析】证明：(1) 当n1 时，左边 1 2，右边 1 1 2 11 2，等式成立【入选理由】本题考查用数学归纳法证明恒等式，（1）用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键

41、点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值 (2) 由nk到nk1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明本题难度不大，主要巩固数学归纳法的步骤，故选本题 2数列 an 满足Sn2nan(nN *) (1) 计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2) 用数学归纳法证明(1) 中的猜想【答案】详见解析【解析】 (1) 当n1 时，a1S12a1，a11. 当n2 时，a1a2S222a2， a2 3 2. 当n3 时，a1a2a3S323a3， a3 7 4. 当n4 时，a1a2a3a4S424a4， a4 15 8 . 由此猜想an 2 n1 2 n 1(n N *) (2) 证明：当n1 时，左边a11，右边 2 11 2 01，左边右边，结论成立【入选理由】 “ 归纳猜想证明 ” 的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式故选本题

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