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1、高考解答题仿真练2 1已知函数f(x) (1 3tan x)cos 2x. (1) 求函数f(x) 的定义域和最小正周期； (2) 当x 0， 2 时，求函数f(x)的值域 解(1) 函数f(x) 的定义域为 x x R，且xk 2 ，kZ ， 因为f(x) (13tan x)cos 2x 1 3sin x cos x cos 2x cos 2 x3sin xcos x 1cos 2x 2 3 2 sin 2x sin2x 6 1 2， 所以f(x) 的最小正周期为T 2 2 . (2) 由x 0， 2 ，得 6 b0)的右顶点、上顶点分别为A，B，坐标原点到直线AB 的距离为 43 3 ，且
2、a2b. (1) 求椭圆C的方程； (2) 过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M，N两点， 且该椭圆上存在点P， 使得四边形MONP( 图 形上的字母按此顺序排列) 恰好为平行四边形，求直线l的方程 解(1) 直线AB的方程为bxayab0，坐标原点到直线AB的距离为 43 3 ab a 2 b 2， 所以 a 2b2 a 2 b 2 16 3 ， 又a2b，解得a4，b22， 故椭圆的方程为 x 2 16 y 2 8 1. (2) 由(1) 可求得椭圆的左焦点为F1( 22，0) ， 易知直线l的斜率不为0， 故可设直线l：xmy22， 点M(x1，y1) ，N(x2，y2) ，因为四边形
3、MONP为平行四边形，所以 OP OM ON (x1x2，y1y2) ， 所以P(x1x2，y1y2) ， 联立 xmy22， x 22y2 160， 得(m 22) y 24 2my80， 因为 64(m 21)0 ， 且y1,2 42m64m 21 2m 2 2 ， 所以y1y2 42m m 22， 所以x1x2 82 m 22， 因为点P(x1x2，y1y2) 在椭圆上， 所以 (x1x2) 22( y1y2) 216， 即 82 m 22 22 42m m 2 2 216，解得 m2， 所以直线l的方程为x2y220. 5已知函数f(x) a x xln a 3 2x 2 5(a0，且
4、a1)的导函数为f(x) (1) 当a 1 e(e 为自然对数的底数 ) 时，求与曲线f(x)相切且与x轴平行的直线l的方程； (2) 当ae 时，若不等式f(x)0， 则F(x) 单调递增，且F(0) 0， 故由f(x) 0，得x0. 又f(0) 4，则直线l的方程为y40. (2) 证明当ae 时，f(x) e x x 3 2x 25， f(x) e x 13x， 令G(x) e x13x，则 G(x) e x30， 则G(x) 单调递增，且G(0) 0， 故由f(x) 0 得x0， 且当x0 时，f(x)0 ，f(x) 单调递增， 当x0， f( 2) e 230， f( 1) e 15
5、 21，当x0，f(x)0时， 3x0，a x10，ln a0，f(x)0，f(x) 单调递增， f(x) 在 1,0 上单调递减，在(0,1 上单调递增， f(x)minf(0) 4，f(x)maxmaxf( 1) ，f(1) f(1) f( 1) aln a 3 25 1 aln a 3 25 a 1 a2ln a. 令g(a) a 1 a2ln a， 则g(a) 1 1 a 2 2 a a 1 2 a 20，g(a) 单调递增， g(a)g(1) 0， 即f(1)f( 1)，f(x)maxf(1) aln a 7 2， aln a 7 24 a ln a 1 2e 1 2， aln ae
6、 1， 令h(a) a ln a，a1， 则h(a) 11 a0，则 h(a) 在 (1， ) 上单调递增， h(a) h(e) ，ae. 若 00，ln a0时， 3x0，a x10，f(x) 单调递增， f(x)在 1,0 上单调递减，在(0,1上单调递增， f(x)minf(0) 4，f(x)maxmaxf( 1) ，f(1) ， 由知g(a) 单调递增， 又 00. 由a2a315，S416，得 a1d a12d15， 4a16d 16， 解得 a11， d 2 或 a17， d 2 ( 舍去 ) ， 所以an 2n1. (2) 因为b1a1，bn 1bn 1 anan 1， 所以b1
7、a1 1，bn1bn 1 anan1 1 2n1 2n1 1 2 1 2n1 1 2n 1 ， 所以b1a1 1， b2b11 2 1 1 3 ， b3b21 2 1 3 1 5 ， ， bnbn1 1 2 1 2n3 1 2n1 (n2)， 累加得bnb1 1 2 1 1 2n1 n1 2n1， 所以bn 3n2 2n1，n2. b11 也符合上式故bn3n 2 2n 1， nN *. 假设存在正整数m，n(mn) ，使得b2，bm，bn成等差数列，则b2bn2bm. 又b24 3， bn 3n2 2n1 3 2 1 4n2， bm 3 2 1 4m2， 所以 4 3 3 2 1 4n 2 2 3 2 1 4m2 ， 化简得 2m 7n2 n1 7 9 n 1. 当n13，即n2 时，m2( 舍去 ) ； 当n19，即n8 时，m3，符合题意 所以存在正整数m3，n 8，使得b2，bm，bn成等差数列