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1、第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时 导入新课 思路1.( 问题导入 ) 三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据 角与角之间的和差、倍半、 互补、互余等关系， 运用角的变换， 沟通条件与结论中角的差异， 使问题获得解决， 如： ( ) ， 2( ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) ， 4 2 ( 4 ) 等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开 思路 2.( 复习导入 ) 前面已经学过如何把形如yasinxbcosx的函数转化为形如y Asin( x) 的函数，本节主要研究函数yasinxbcosx的周期、最值等性质三角函 数和代数、 几何知识联系密切，它是研究其他
2、各类知识的重要工具高考题中与三角函数有 关的问题，大都以恒等变形为研究手段三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺 少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能 推进新课 新知探究 提出问题 三角函数ysinx，ycosx的周期，最大值和最小值是多少？ 函数yasinxbcosx的变形与应用是怎样的？ 三角变换在几何问题中有什么应用？ 活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知 道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质而且正弦函数，余弦 函数的周期都是2k(kZ且k0)， 最小正周期都是2 .三角函数的自变量
3、的系数变化时， 会对其周期性产生一定的影响，例如，函数ysinx的周期是 2k(kZ 且k0)，且最小 正周期是2，函数ysin2x的周期是k(kZ 且k0)，且最小正周期是. 正弦函数， 余弦函数的最大值是1，最小值是1，所以这两个函数的值域都是 1,1 函数yasinxbcosxa 2 b 2( a a 2 b 2sin x b a 2 b 2cosx) ， ( a a 2 b 2) 2( b a 2 b 2) 2 1，从而可令 a a 2 b 2cos， b a 2 b 2sin ， 则有asinxbcosxa 2 b 2(sin xcoscosxsin ) a 2 b 2sin( x)
4、 因此，我们有如下结论：asinxbcosxa 2 b 2sin( x) ，其中tan b a. 在以后 的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题 我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联 系几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变 换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法 讨论结果： ysinx，ycosx的周期是2k(k Z且k0)，最小正周期都是2；最大值都是 1，最小值都是1. ( 略 ) 见活动 应用示例 思路 1 例 1 如图 1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 3 的扇形，C是扇形弧上的动点
5、，ABCD是 扇形的内接矩形记COP，求当角 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个 最大面积 活动：要求当角 取何值时，矩形ABCD的面积S最大，先找出S与 之间的函数关 系，再求函数的最值 找S与 之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： SABBC(cos 3 3 sin )sin sin cos 3 3 sin 2. 求这种yasin 2x bsinxcosxccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成 Asin( x) 型的三角函数求最值 教师引导学生思考：要求当角 取何值时，矩形ABCD的面积S最大，可分两步进行： (1) 找出S与 之间的函数关系； (2) 由得出的
6、函数关系，求S的最大值 解：在 RtOBC中，OBcos，BC sin ， 图 1 在 RtOAD中， DA OA tan603， 所以OA 3 3 DA 3 3 BC 3 3 sin . 所以ABOBOAcos 3 3 sin . 设矩形ABCD的面积为S，则 SABBC(cos 3 3 sin )sin sin cos 3 3 sin 2 1 2sin2 3 6 cos2 3 6 1 3 ( 3 2 sin2 1 2cos2) 3 6 1 3 sin(2 6 ) 3 6 . 由于 00) (1) 求函数f(x) 的值域； (2) 若函数yf(x) 的图象与直线y 1 的两个相邻交点间的距离
7、为 2 ，求函数y f(x) 的单调增区间 解： (1)f(x) 3 2 sin x 1 2cos x 3 2 sin x 1 2cosx(cos x1) 2( 3 2 sin x1 2cos x) 1 2sin( x 6 )1. 由1sin(x 6 ) 1，得 32sin(x 6 ) 11， 可知函数f(x) 的值域为 3,1 (2) 由题设条件及三角函数图象和性质，可知yf(x) 的周期为，又由 0， 得2 ，即得 2. 于是有f(x) 2sin(2x 6 ) 1，再由2k 2 2x 6 2k 2 (kZ) ， 解得k 6 xk 3 (kZ) 所以yf(x) 的单调增区间为k 6 ，k 3
8、 (kZ) 点评：本题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运 用三角函数有关知识的能力. 例 2 求函数y sin 4x2 3sinxcosxcos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 0 ， 上的单调递增区间 活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和 周期性等基础知识先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题 解：y sin 4x2 3sinxcosxcos 4x (sin 2xcos2x)(sin2x cos2x) 3sin2x 3sin2xcos2x 2sin(2x 6 ) 故该函数的最小正周期是 ；最小
9、值是 2；在0 ， 上单调增区间是0 ， 3 ， 5 6 ， 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识. 变式训练 已知函数f(x) cos 4x2sin xcosxsin 4x， (1) 求f(x) 的最小正周期； (2) 若x0 ， 2 ，求f(x) 的最大、最小值 解：f(x) cos 4x2sin xcosx sin 4x (cos 2x sin2x)(cos2xsin2x) sin2 x cos2x sin2x2cos(2x 4 ) ， 所以，f(x) 的最小正周期T 2 2 . (2) 因为x0 ， 2 ，所以 2x 4 4 ， 5 4 当 2x 4 4
10、时， cos(2x 4 ) 取得最大值 2 2 ， 当 2x 4 时， cos(2x 4 ) 取得最小值 1. 所以，在 0 ， 2 上的最大值为1，最小值为2. 思路 2 例 1 已知函数f(x) sin( x)( 0,0 ) 是 R 上的偶函数，其图象关于点 M( 3 4 ，0)对称，且在区间0 ， 2 上是单调函数，求 和 的值 活动：学生在解此题时，对f(x) 是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f(x) 的图象关于M( 3 4 ，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题一般地，定义 在 R上的函数yf(x) 对定义域内任意x满足条件：f(xa) 2bf(ax) ，则y
11、f(x) 的 图象关于点 (a，b) 对称， 反之亦然 教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多 做些这种类型的变式训练 解：由f(x) 是偶函数，得f( x)f(x) ， 即 sin( x) sin( x ) ，所以 cos sin xcossin x对任意x都成 立 又 0，所以，得cos0. 依题设 0 ，所以，解得 2 . 由f(x) 的图象关于点M对称，得f( 3 4 x) f( 3 4 x) 取x0，得f( 3 4 ) f( 3 4 ) ，所以f( 3 4 ) 0. f( 3 4 ) sin( 3 4 2 ) cos3 4 ，cos 3 4 0. 又 0，得 3 4 2 k
12、，k0,1,2 ，. 2 3(2 k 1)，k 0,1,2 ，. 当k0 时， 2 3， f(x)sin( 2 3x 2 ) 在0 ， 2 上是减函数； 当k1 时， 2，f(x)sin(2x 2 ) 在0 ， 2 上是减函数； 当k2时， 10 3 ，f(x) sin( x 2 ) 在0 ， 2 上不是单调函数 所以，综合得 2 3或 2. 点评： 本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然 后进而解决此题. 变式训练 已知如图2 的 RtABC中，A90，a为斜边，B、C的内角平分线BD、CE的长 分别为m、n，且a 22mn . 问：是否能在区间( ，2 中找
13、到角，恰使等式cos sin 4(cos BC 2 cos BC 2 ) 成立？若能，找出这样的角；若不能，请说明理由 图 2 解：在 RtBAD中， AB m cos B 2，在 Rt BAC中， AB a sinC， mcos B 2 asinC. 同理，ncos C 2 asinB. mncos B 2cos C 2 a 2sin BsinC. 而a 2 2mn ， cos B 2cos C 22sin BsinC8sin B 2cos B 2cos C 2sin C 2. sin B 2sin C 2 1 8. 积化和差，得4(cos BC 2 cos BC 2 ) 1， 若存在 使等
14、式cos sin 4(cos BC 2 cos BC 2 ) 成立，则2cos( 4 ) 1， cos( 4 ) 2 2 . 而 2， 5 4 4 9 4 . 这样的 不存在 点评： 对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题处理这类问题的一般思 路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出 合理结果，即假设成立这个探索结论的过程可概括为假设推证定论. 例 2 已知 tan( ) 1 2 ， tan 1 7，且 ，(0， ) ，求 2 的值 解：22( ) ，tan( ) 1 2， tan2( ) 1 tan 2 4 3. 从而tan(2 ) tan2( )
15、tan 1 4 3 1 7 1 4 3 1 7 25 21 25 21 1. 又tan tan( ) tan 1 1 31. 且 0，0 4 . 02 2 . 又 tan 1 70，且 (0， ) ， 2 ， 2 . 2 0.2 3 4 . 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论， 注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值， 缩小角的范围， 从而求出准确角 另 外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若 (0 ， ) ，则求 cos；若 ( 2 ， 2 ) ，则求 sin 等 知能训练 课本本节练习4. 解答：
16、4.(1)y1 2sin4 x. 最小正周期为 2 ，递增区间为 8 k 2 ， 8 k 2 (kZ) ， 最大值为 1 2 ； (2)ycosx 2. 最小正周期为2，递增区间为 2k，22k(kZ) ，最大 值为 3； (3)y2sin(4x 3 ) 最小正周期为 2 ，递增区间为 5 24 k 2 ， 24 k 2 (kZ) ， 最大值为2. 课堂小结 本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如yasinxbcosx的函数转化为形如y Asin( x) 的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现 出“活”的数学 作业 课本复习参考题A组 11、12. 设计感想 1本
17、节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如yasinxbcosx 的函数转化为形如yAsin( x) 的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决 问题的目的 在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容如 果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式 变形化简， 然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质因此，三角恒等变换是求解 三角函数问题的一个基本步骤但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、 合并等原因， 函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角 函数不等价因此，在对三角函数
18、式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域， 并在这个定义域内分析其性质 2在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由 此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以 此作为基本训练其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图第三就是在 三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体 的把握 3今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主和、差、倍、半角的三角函数 公式、 同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨 论，从而确定符号另外， 在三角形中的
19、三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问 题将是高考的热点对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向 量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解 答题形式出现，难度不会太大应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点 备课资料 一、三角函数的综合问题 三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来， 高考每年都要考查三角函数 的图象和性质的基础知识在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用因此， 对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知 识的综合运用 三角函数同其他函数一样，具有奇
20、偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数 的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题 应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌 握判断周期性， 确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行 变化 二、备用习题 1. sin10 sin20 cos10cos20 的值是 ( ) Atan10tan20 B. 3 3 Ctan5 D23 答案： D 2若 4 ，则 sin sin 的最大值是 ( ) A. 22 4 B. 22 4 C. 3 4 D 1 答案： B 3若 cos sinx 1 2，则函数 ysin
21、 cosx的值域是 ( ) A 3 2， 1 2 B 1 2， 1 2 C 1 2， 3 2 D 1,1 答案： B 4log2(1tan19) log2(1 tan26) _. 答案： 1 5 已知函数f(x) cos2xcos( 3 2x) ， 求f(x) 的单调递减区间、 最小正周期及最大值 答案：解：f(x) 1 2cos 3 cos(4x 3 ) 1 2cos(4 x 3 ) 1 4 ，由 2k4x 3 2k (kZ) ，得原函数的单调递减区间是 k 2 12， k 2 3 (kZ) ，T 2 ，最大值是 3 4. 6已知 sinA 3 5，cos B 9 41，A (3 2 ，2)
22、 ，B(，3 2 ) ，求 sin(2A B 2) 的值， 并判定 2A B 2所在的象限 答案：解： cosA 4 5， sin2 A 24 25，cos2 A12sin 2A 7 25， B(， 3 2 ) ， B 2( 2 ， 3 4 ) sin B 2 5 41，cos B 2 4 41. sin(2A B 2) sin2 AcosB 2cos2 Asin B 2 6141 1 025 . 又 cos(2A B 2) cos2 AcosB 2sin2 Asin B 20， 2AB 2是第二象限角 7已知f(0) a，f( 2 ) b，解函数方程：f(xy) f(xy) 2f(x) cosy. 答案：解：分别取 x0， yt， x 2 t， y 2 ， x 2 ， y 2 t， 代入方程，得 ftft2ft， ftft0， ftft 2f 2 t， ，得2f(t) 2f(0)cost2f( 2 )sint. f(0) a，f( 2 ) b， f(x) acosxbsinx.