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1、1.2 函数及其表示 复习指导 考点一：函数的基本概念 1. 函数与映射的概念 函数映射 两集合 A、B 设 A、B是两个非空的数集设 A、B是两个非空的集合 对应关系f ：A B 如果按照某种确定的对应关系f ， 使对于 集合 A中的任意一个数x，在集合 B中都 有唯一一个确定的数f （x）和它对应 如果按照某种确定的对应关系f ，使对 于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一一个确定的元素y 与之对应 名称称 f ：AB为从集合A 到集合 B 的一个 函数 称对应 f ：AB为从集合A到集合 B的 一个映射 记法y= f （x） （xA）对应 f ：AB是一个映射 2. 函数的有关
2、概念 （ 1）函数的定义域、值域 在函数 y= f （x）,x A中， x 叫自变量， x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值 叫做函数值，函数值的集合 f（x）|x A 叫做函数的值域.值域是集合B的子集 . （ 2）函数的三要素：定义域、值域、对应关系. （ 3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两个函数相 等的依据 . 解题指导： 1. 定义域的求法 . （ 1）若? 是整式 , 则定义域为R . （ 2）若? 是分式 , 则定义域为使分母不为零的全体实数. （ 3）若? 是偶次根式 , 则定义域为使被开方数为非负数的全体实
3、数. （ 4）若? 是复合函数 , 则定义域由复合的各基本函数的定义域组成的不等式组确定. 2求函数值域的原则及常用方法 (1) 原则 : 依据函数的定义域求值域,即先确定定义域再求值域. (2) 常用方法 . 观察法 :对于一些比较简单的函数, 其值域可通过观察得到; 配方法 : 此法是求“二次函数类”值域的基本方法, 即把函数通过配方化为能直接看出其值域的方法; 分离常数法: 此方法主要是针对有理分式, 即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式, 便于求值域 ; 换元法 : 即运用新元代换, 将所给函数化成值域易确定的函数, 从而求得原函数的值域. 3. 函数求值的方法 (1) 已知 f(
4、x)的表达式时 , 只需用 a 替换表达式中的x 即得 f(a) 的值 . (2) 求 f(g(a)的值应遵循由里往外的原则. 注意 :用来替换表达式中x 的数 a 必须是函数定义域内的值, 否则函数无意义. 例题： 1. 函数y= 2 32xx-的定义域是 . 答案：3,1 2. 已知函数( )(0,1) x f xab aa的定义域和值域都是1,0，则ab . 答案： 3 2 考点二：函数的表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法. 解题指导 : 函数解析式的四种常用求法： （ 1）配凑法：已知f(g(x)的解析式 , 要求 f(x)时 ,可从 f(g(x)的解析式中拼凑出“
5、g(x) ”, 即用 g(x) 来表示 , 再将解析式两边的g(x) 用 x 代替即可 . (2) 待定系数法 :已知函数f(x)的函数类型（如一次函数、二次函数）, 求 f(x) 的解析式时 , 可根据类型设 出 其解析式 , 确定其系数即可. (3) 换元法 : 令 t=g(x),再求出 f(t)的解析式 , 然后用 x 代替所有的t 即可 .应用时要注意t 的取值范围 . (4) 解方程组法 :当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时, 可构造方程组求解. 1. 已知 1 ( )(1)(0,1) x f xf xx x ，求f(x). 解：2) 1 () 1 ( 2 x
6、x x xf，2 1 x x，2)( 2 xxf)2(x 2. 设)(xf是一次函数，且34)(xxff，求)(xf 解析：设baxxf)()0(a，则 babxabbaxabxafxff 2 )()()( 3 4 2 bab a ， 3 2 1 2 b a b a 或 ，32)(12)(xxfxxf 或 【名师指南】待定系数法： （ 1）适用条件 :函数的类型已知. （ 2）一般步骤 : 设出解析式; 依据条件列出方程( 组); 解方程 ( 组) 写出解析式 . 巩固练习 1若fx的定义域为2,3，则 2 1fx的定义域为（） A. 1,2 B. 2,2 C. 0,2 D. 2,0 2已知函
7、数 2 4 ,4fxxx xm的值域是0,4，则实数m的取值范围是（） A. ,0 B. 0,2 C. 0,2 D. 2,4 3 fx满 足 对 任 意 的 实 数,a b都 有?fabfafb， 且12f， 则 2462 0 1 8 1352 0 1 7 ffff ffff （） A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 4036 4已知函数yfx的对应关系如下表，函数yg x的图象是如图的曲线ABC，其中1,3A， 2,1B，3,2C，则2fg的值为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5已知函数fx的图象如图所示，则函数fx的解析式可能是（） A. 2 44log x
8、x fxx B. 2 44log xx fxx C. 1 2 44log xx fxx D. 44 xx fxx 6下列函数中与函数yx（0x）有相同图象的一个是（） A. 2 x y x B. 2 yx C. 33 yx D. 2 yx 7函数 2 1534xx fx xx 的定义域是（） A. 17,00,2 B. 2,00,17 C. 0,17 D. 2,0 8函数21+xfxx的值域是 ( ) A. 0 ， ) B. (，0 C. 1 , 2 D. 1，) 9设函数y f(x)的定义域是 x| 2x3 且 x2，值域是 y| 1y2 且 y0，则下列哪个图形 可以是函数yf(x)的图象
9、 ( ) A. B. C. D. 二、解答题 10已知函数 1 . xa fxaRxa ax 且 （）证明：220fxfax对定义域内的所有 x都成立 . （）设函数 2 g xxxafx，求g x的最小值 . 11 已 知 函 数 2 410 40 x xxx fx x ， 记 不 等 式4fx的 解 集 为M, 记 函 数 2 -253g xxx的定义域为集合N. （）求集合M和;N （）求MN和 R MC N. 12设函数fx满足 2 21 10 1 xxa fxa x . （ 1）求函数fx的解析式； （ 2）当1a时，记函数 0 0 fxx g x fxx ， ， ，求函数g x在区
10、间 1 2 3 ，上的值域 . 参考答案与解析 1B 【解析】fx的定义域为2,3 ,， 2 213x, 即 2 14x，解得 2 22,1xfx 的定义域为2,2，故选 B. 2B 【解析】因为函数f （ x）=x 2+4x 在区间 ,4m上的值域是0,4 且 f （4）=0，所以函数值能取到最小值0 即可。 实数 m的取值范围是0,2 故选 B 3B 4B 【解析】试题分析：由图象可知g21（ ），由表格可知，故选： B 考点：函数的对应法则. 5A 【解析】结合函数图象，10f，选项 D中 1 140 4 f ，选项 D错误； 函数fx的图象关于y轴对称，则函数为偶函数，选项B错误； 当
11、 1 2 x时， 1 0 2 f ，选项 C中， 11 22 1 2 11 44log0 22 f ，选项 C错误； 本题选择A选项 . 6D 【解析】对于A， 2 x y x 的定义域为|0 xx，和函数yx（0x）的定义域不同，故A错误；对 于 B， 2 yx的定义域为R，和函数yx（0x）的定义域不同， 故 B错误； 对于 C， 33 yx的 定义域为R，和函数yx（0x）的定义域不同， 故 C错误；对于 D ， 2 yx函数yx（0x） 具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数，故选D. 7C 【解析】要使函数有意义，需满足 2 15340 0 xx xx ，即 217 0 x
12、 x ，解得017x。选 C。 8C 【点睛】直接法求函数的值域，一般从自变量x的范围入手，逐步推出yfx的取值范围，基本初 等函数的值域都是由此方法得出的.对于二次函数，常常根据求解问题的要求，采用配方法来求值域. 9C 【解析】 从函数的定义观察， 每一个都是一个 x 最多对应一个y， 都是函数图象 定义域|23xx 且2x， 值 域 是|121yyy且， 不 满 足 ， A 错 ； 定 义 域 不 满 足 ， B 错 ； 定 义 域 |232xxx且，值域是|120yyy且，满足， C正确；值域不满足，D错误所以 答案是 C 【点睛】 函数定义中要求： 1. 两个函数都是非空集合； 2.
13、A 中的每个元素在B中都有与之对应的元素； 3. 对应形式为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”（一个 x 对应多个y； 只有满足了这几个特点的对应关系才是函数关系. 本题解题的关键是观察：图象对应的是否是函数；定义域与值域是否是对的. 10() 证明见解析；( ) 答案见解析 . 【解析】试题分析： （）求函数值验证可得结论成立。（）由题意得 2 1g xxxa，根据 1xa与的关系去掉绝 对值，结合二次函数最值的可得g x的最小值。 （）解： 2 1g xxxa xa （ 1）当 2 2 13 1,1 24 xaxag xxxaxa且时 若 1 1 2 a，即 1 2 a时， 则函数
14、在1,aaa和上单调递增 2 min 11g xg aa 若 min 11113 1, 22224 aaag xga ，即且时 当 1 2 a 时，g x最小值不存在 （ 2）当 2 2 15 11 24 xag xxxaxa时， 若 13 1 22 aa，即时 min 15 24 g xga 若 13 1,1 22 aag xa，即时，在上为减函数 2 min 11g xg aa 又当 2 2353 10 242 aaaa时， 2 2 131 10 242 aaaa当时。 综上可得：当 11 22 aa且时, g x最小值是 3 4 a； 当 13 22 a时, g x最小值是 2 1a；当
15、 3 2 a时 g （x）最小值为 5 4 a； 当 1 2 a时, g x最小值不存在。 点睛： （ 1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类 型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论； （ 2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解 11(1) |3-11Mx xx或， 1 |3; 2 Nxx (2) 1 1 , 2 MNxx=13 R MC Nx xx或. 试题解析： （）由4fx得 2 414 0 xx x 或 44 0 x x 解得 31 0 xx x 或
16、或 1 0 x x 所以310xx或或01x |3-11Mx xx或， 2 1 |2530|3 2 Nxxxxx。 （）由（）得 1 1 , 2 MNxx 1 3 2 R C Nx xx或 =13 R MC Nx xx或 12 （1） 2 xa fx x ； （2） 10 2, 3 . 解析： （1） （法一）设10xt t，则1xt， 2 12121tta f t t 22 taxa fx tx （法二） 2 2 1 1 1 xa xa fxfx xx ,0 ,0 fxx gx fxx ,0 ,0 fxx fxx ，g x为偶函数， yg x的图像关于y轴对称 . 又当1a，时， 1 ,2 3 x 由 1 g xx x 在 1 ,1 3 单调减，1,2单调增，（需证明） min 12g xg， min 110 33 g xg 当1a时，函数g x在区间 1 2, 3 上的值域为 10 2, 3 点睛：本题考查了有关函数的性质的综合题，运用换元法求解析式，用定义法证明函数的奇偶性和单调 性，必须遵循证明的步骤，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。