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1、专题七函数与图象 热点一：图象信息题 1如图 Z7-6，二次函数y x 2 2x 的图象与 x 轴交于点 A，O，在抛物线上有一点P， 满足 SAOP 3，则点 P 的坐标是 () 图 Z7-6 A(3， 3) B(1， 3) C(3， 3)或( 3,1) D(3， 3)或(1， 3) 2 (2014 年广西钦州 )如图 Z7-7， 正比例函数yx 与反比例函数y 4 x的图象交于 A(2,2)， B( 2， 2)两点当yx 的函数值大于y 4 x的函数值时， x 的取值范围是() Ax2Bx 2 C 2x0 或 0x2D 2x0 或 x2 图 Z7-7 图 Z7-8 3(2014 年山东济南
2、 )如图 Z7-8，直线 y 3 3 x2 与 x 轴， y 轴分别交于A，B 两点， 把 AOB 沿着直线AB 翻折后得到 AOB，则点 O的坐标是 () A(3， 3)B(3，3) C(2,2 3)D(2 3，4) 热点二：代数几何综合题 1(2012 年广东 )如图 Z7-9，抛物线 y 1 2x 23 2x9 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 点 C，连接 BC，AC. (1)求 AB 和 OC 的长； (2)点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动 (点 E 与点 A，B 不重合 )，过点 E 作直线 l 平行 BC，交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m， A
3、DE 的面积为s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出 自变量 m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，连接CE，求 CDE 面积的最大值此时，求出以点E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积(结果保留) 图 Z7-9 2(2013 年四川资阳节选)如图 Z7-10，四边形ABCD 是平行四边形，过点A，C，D 作 抛物线 yax2bx c(a0)，与 x 轴的另一交点为E，连接 CE，点 A，B，D 的坐标分别为 (2,0)，(3,0)，(0,4) (1)求抛物线的解析式； (2)已知抛物线的对称轴l 交 x 轴于点 F，交线段CD 于点 K，点 M，N 分别是直线l 和 x 轴上的动点，连
4、接MN.当线段 MN 恰好被 BC 垂直平分时，求点N 的坐标 图 Z7-10 热点三：函数探索开放题 (2013 年四川雅安 )如图 Z7-11(1)， 已知抛物线yax 2bxc 经过 A(3,0)， B(1,0)， C(0,3) 三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l 与 x 轴交于点H. (1)求该抛物线的解析式； (2)若点 P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求PBC 周长的最小值； (3)如图 Z7-11(2)，若 E 是线段 AD 上的一个动点 (E 与 A，D 不重合 )，过点 E 作平行于 y 轴的直线，交抛物线于点F，交 x 轴于点 G.设点 E的横坐标为m， ADF 的
5、面积为S. 求 S与 m 的函数关系式； S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理 由 (1) (2) 图 Z7-11 专题七函数与图象 【提升 专项训练】 热点一 1D2.D 3A解析： 连接 OO，由直线y 3 3 x2 知， OB2，OA2 3，故 BAO 30 .点 O为点 O 关于直线AB 的对称点， 故 O AO60 ，即 AOO是等边三角形点 O的横坐标是OA 长度的一半，即为3，纵坐标则是AOO的高，即为3.故选 A. 热点二 1解： (1)当 y0 时， 1 2x 23 2x90. 图 102 解得 x16，x2 3. 点 A 的坐标为 (
6、3,0)， 点 B 的坐标为 (6,0) AB6( 3)9. 当 x0 时， y 9， 点 C 的坐标为 (0， 9) OC |9|9. (2)lBC， ADE ACB. SADE SACB AE AB 2. SACB 1 2AB OC 1 299 81 2 ， SADE m 9 281 2 1 2m 2. s 1 2m 2(0m9) (3)SAEC 1 2AE OC 1 2m9 9 2m， SCDE SAECSADE 9 2m 1 2m 2 1 2 m9 2 281 8 . 0m9，当 m 9 2时， S CDE取得最大值，最大值为 81 8 . 解法一，此时，BEABAE9 9 2 9 2
7、. 如图 102，记 E 与 BC 相切于点 M，连接 EM，则 EMBC. 设 E 的半径为r. 在 RtBOC 中， BCCO2BO29262117. CBO EBM， COB EMB90 ， BOC BME. EM CO EB CB. r 9 9 2 117. r 81 2117. E 的面积为： 81 2 117 2729 52 . 解法二，此时，BEABAE9 9 2 9 2. BE 1 2AB， S EBC 1 2S ABC 81 4 . 记 E 与 BC 相切于点M，连接 EM，则 EM BC， 设 E 的半径为r. 在 RtBOC 中， BCCO2BO29262117. SEB
8、C 1 2BC EM， 1 2 117r 81 4 . r 81 2117. E 的面积为： 81 2 117 2729 52 . 2解：(1)点 A，B，D 的坐标分别为(2,0)，(3,0)，(0,4)，且四边形ABCD 是平行四 边形， ABCD5，点 C 的坐标为 (5,4) 点 A，C，D 在抛物线y ax2bxc(a0)上， 4a2bc0， 25a5b c4， c4. 解得 a 2 7， b 10 7 ， c4. 故抛物线的解析式为y 2 7x 210 7 x4. (2)如图 103，连接 BD 交对称轴于G，在 Rt OBD 中，易求BD5.CDBD，则 DCB DBC. 图 1
9、03 又 DCB CBE， DBC CBE. 过 G 作 GHBC 于 H，交 x 轴于 N， 易证 GHHN.点 G 与点 M 重合 故直线 BD 的解析式为y 4 3x4. 根据抛物线可知，对称轴方程为x 5 2. 则点 M 的坐标为 5 2， 2 3 ，即 GF 2 3，BF 1 2. BMFM 2FB25 6. 又 MN 被 BC 垂直平分，BMBN 5 6. 点 N 的坐标为 23 6 ，0 . 热点三 解： (1)由题意，得 abc0， 9a3bc0， c3. 解得 a 1， b 2， c 3. 抛物线的解析式为y x22x3. (2) PBC 的周长为PBPCBC， BC 是定值
10、，当PBPC 最小时， PBC 的周长最小 点 A，点 B 关于对称轴l 对称， 连接 AC 交 l 于点 P，即点 P 为所求的点 (如图 104) 图 104 APBP， PBC 的最小周长是 PBPCBCACBC. A(3,0)，B(1,0)，C(0,3)， AC3 2，BC10. 故 PBC 周长的最小值为 3 210. (3)抛物线y x 22x3 顶点 D 的坐标为 (1,4)，A(3,0)， 直线 AD 的解析式为y2x6. 点 E 的横坐标为m， E(m,2m6)， F(m， m22m3) EF m22m3(2m6) m2 4m3， AH 1 2AB 1 242. SSDEFSAEF 1 2EF GH 1 2EF AG 1 2EF AH 1 2(m 24m3)2 m24m 3. 存在 S m2 4m3 (m2)21. 当 m 2 时， S最大，最大值为1. 此时，点 E 的坐标为 ( 2,2)