2015高考(理)二轮复习试题：第9章直线与圆、圆与圆的位置关系.pdf

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1、精品题库试题 理数 1. (2014 福建 ,6,5 分)直线 l:y=kx+1与圆 O:x2+y 2=1 相交于 A,B 两点 ,则 “ k=1 ” 是“ OAB的面 积为” 的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要 条件 答案 1.A 解析 1.当 k=1 时,l:y=x+1, 由题意不妨令A(-1,0),B(0,1), 则 S AOB= 1 1= ,所以充分性 成立 ;当 k=-1 时,l:y=-x+1, 也有 S AOB=,所以必要性不成立. 2. (2014 江西 ,9,5 分)在 平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点

2、 ,若以 AB 为直径 的圆 C 与直线 2x+y-4=0相切 ,则圆 C 面积的最小值为() A.B.C.(6-2) D. 答案 2.A 解析 2.由题意得以AB 为直径的圆C 过原点 O,圆心 C 为 AB 的中点 ,设 D 为切点 ,要使圆 C 的面积最小 ,只需圆的半径最短,也只需 OC+CD 最小 ,其最小值为OE(过原点 O 作直线 2x+y-4=0的垂线 ,垂足为 E)的长度 .由点到直线的距离公式得OE=. 圆 C 面积的最小值 为 =.故选 A. 3. (2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，6) 过点 （ 4， 0） 作直线 L 与圆 x2+y 2+2x 4y 20

3、=0 交于 A、B 两点，如果 |AB|=8 ， 则 L 的方程为( ) A. 5x+12y+20=0B. 5x-12y+20=0 C. 5x-12y+20=0或 x+4=0 D. 5x+12y+20=0或 x+4=0 答案 3. D 解析 3.圆 x 2+y2+2x 4y20=0 的圆心为（ 1,2），半径为5，当 |AB|=8时，可得圆 心到直线L 的距离为3. 显然直线 L 的斜率不存在时，满足题意，此时直线方程为x+4=0 ； 当斜率存在时， 设直线 L 的方程为， 由题意可得， 解得此 时直线方程为5x+12y+20=0，综上可得答案为D. 来源 学科网 ZXXK 4. (2014

4、天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，7) 过点（) 作直线与圆 交于 A、B 两点，如果, 则直线的方程为（） (A) (B) (C) 或(D) 或 答案 4. C 解析 4. 因为圆的圆心为（ 1,2），半径为 5. 当弦 AB 的长为 8 时，可得圆心到直线的距离为3，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由 题意得，解得 k=0 或，所以所求直线的方程为或 . 5. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 12) 双曲线的左、右焦点 分别为，, 过左焦点作圆的切线，切点为，直线交双曲线右 支于点. 若，则双曲线的离心率是（） 答案 5.C 解析 5.由已知可知，且是的中点，所以，从而 ，

5、在中，故. 6. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 10) 在平面直角坐标系中，抛物线: 的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的 准线相切，且该圆面积，则（） A. 2B. 4 C. 6D. 8 答案 6.B 解析 6.因为的中垂线过外接圆圆心，所以此直线与准线的距离即为外 接圆半径，故=，故. 7. (2014 广东广州高三调研测试，7) 若点和点到直线的距离依次为1 和 2， 则这样的直线有（） A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 答案 7.C 解析 7. 由已知可转化为圆的切线问题。以为圆心， 1 为半径作圆；以为圆 心，2 为半径作圆，显然这两圆外切

6、，则这两个圆的外公切线有2 条，内公切线有1 条；从 而满足条件的直线有 3 条. 8. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，7) 直线截圆 所得劣弧所对圆心角为（） A. B. C. D. 答案 8. C 解析 8. 如图，设直线与圆交于、，于， 所以，因为圆心到直线的距离，圆的半径为2， 所以，即，所以. 9. （2014 江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，10） 给定圆: 及抛物线：过圆心作直线, 此直线与上述两曲线的四个交点, 自上而下顺次 记为如果线段的长按此顺序构成一个等差数列, 则直线的斜率为 （） ABCD 答案 9. C 解析 9. 圆 P 的圆

7、心 P （1,0），抛物线的焦点坐标为（1,0）. 由圆 P 与抛物线的位置关系 可得，点 A 和点 D 在抛物线上，点B 和点 C 在圆上，因为直线l 过圆心，可得 BC=2 ，又因 为的长按此顺序构成一个等差数列可得，设点 ，根据抛物线的定义可知，可得. 显然 直线 l 的斜率存在，设直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，解得. 10.（2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟，9）若抛物线的焦点是F，准线是， 点 M（4， 4）是抛物线上一点，则经过点F、M 且与相切的圆共有（） A0 个B1 个C2 个D4 个 答案 10. C 解析 10. 焦点 F 的坐标为（ 1,0），准线为x

8、= 1，由圆与相切可设圆的方程为: ，则由题意可得 、 两式联立得，代入到 中消 b 得关于 a 的一 元二次方程，此方程有两个实数根，由此可得此圆共有2 个. 11. (2014广西桂林中学高三2 月月考， 3) 若直线始终平分圆 的周长，则的取值范围是（） (A) (B) (C) (D) 答案 11. D 解析 11. 由配方得，所以圆心坐标为 ， 若直线始终平分圆的周长，则直线必过点， 所以，所以，即，当且仅当，即 是取等号 . 故的取值范围是是. 12.(2014广州高三调研测试, 7) 若点和点到直线的距离依次为1 和 2，则这样 的直线有（） A1 条B2 条C3 条D4 条 答案

9、 12. C 解析 12. 依题意作图，满足条件的直线有3 条 . 13. (2014湖北黄冈高三期末考试)命题，使；命题直线 与圆相切 . 则下列命题中真命题为（） A. B. C. D. 答案 13. A 解析 13. 命题的真假判断. 对命题， 当时，成立，则命题 为真；又圆心到直线的距离为圆的半径，则命题真，故为真 . 14. (2014大纲全国 ,15,5 分)直线 l1和 l2是圆 x2+y 2=2 的两条切线 .若 l1 与 l2的交点为 (1,3), 则 l1与 l2的夹角的正切值等于 _. 答案 14. 解析 14.依题意设过点(1,3) 且与圆 x2+y 2=2 相切的直线

10、方程为 y-3=k(x-1),即 kx-y-k+3=0. 由直线与圆相切得=,即 k 2+6k-7=0. 解得 k1=-7,k2=1, 设切线 l1,l2的倾斜角分别为1, 2,不妨设 tan 1g(x)恒成立 ,则实数 b 的取值 范围是 _. 答案 18.(2,+ ) 解析 18.函数 g(x)=的图象是以坐标原点为圆心,2 为半径的圆在x 轴上及其上方的 部分 .由题意可知 ,对任意 x0 I, 都有 h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0, f(x0) 是点 (x0,h(x0) 和点 (x0,g(x0) 的中点 ,又 h(x)g(x)恒成立 ,所以直线f(x)=3x+b与半圆

11、g(x)=相离且 b0. 即解之得 b2. 所以实数b 的取值范围为 (2,+ ). 19. (2014山西太原高三模拟考试（一） ，14) 已知 P 是直线上的动点， PA、 PB 是圆的切线， A，B 是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 的面 积的最小值是. 答案 19. 解析 19. 圆 C的圆心为（ 1,1），半径为1，圆心 C 到直线的距离为 . 四边形 PACB 的面积等于 CAP的面积的二倍，其值为 ，欲使其值最小只需使PC 的长度最小即可，结合圆的性 质可得 PC 的长度的最小值为即为圆心C 到直线的距离， 所以四边形PACB 的面积的最小值 为. 20.(2014山东青

12、岛高三第一次模拟考试, 12) 圆的圆心到直线 的距 离_. 答案 20. 3 解析 20. 因为，所以，即圆心为， 所以. 21. (2014福州高中毕业班质量检测, 13) 若直线与圆 相交于、两点 , 则的值为. 答案 21. 0 解析 21.因为圆心到直线的距离为，圆的半径为2，所 以 弦长，所以是直角三角形，且，所以. 22. (2014北京东城高三第二学期教学检测，12) 已知圆的方程为, 设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 _. 答案 22. 解析 22. 圆的方程可化为，故圆心为，半径为. 由题 意知，且为圆的直径长为，最短弦的中点为，由勾股定理可算 出. 故

13、. 23. (2014重庆七校联盟 , 11) 已知圆的方程为，直线的方程为， 若圆与直线相 切，则实数 . 答案 23. 或 解析 23. 圆与直线相切，解得或. 24. (2014天津七校高三联考, 9) 直线被圆截得的弦长为 _ 答案 24. 4 解析 24. 由得，圆系的坐标为，半径为， 直线被圆截得的弦长为. 25.(2014福建 ,21(2),7分)选修 44:坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为(t 为参数 ),圆 C 的参数方程为( 为参数 ). ( ) 求直线 l 和圆 C 的普通方程 ; ( ) 若直线 l 与圆 C 有公共点 ,求实数 a 的取值范围 . 答案 25

14、.查看解析 解析 25.( ) 直线 l 的普通方程为2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为x2+y 2=16. ( ) 因为直线l 与圆 C 有公共点 ,故圆 C 的 圆心到直线l 的距离 d= 4, 解得 -2a2. 26.(2014江苏 ,18,16 分)如图 ,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保 护区 .规划要求 :新桥 BC 与河岸 AB 垂直 ;保护区的边界为圆心M 在线段 OA 上并与 BC 相切 的圆 ,且古桥两端O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量 ,点 A 位于点 O 正北 方向 60 m 处,点 C 位于点 O 正东方向1

15、70 m 处(OC 为河岸 ),tan BCO= . (1) 求新桥 BC 的长 ; (2) 当 OM 多长时 ,圆形保护区的面积最大? 答案 26.查看解析 解析 26.(1) 解法一 :如图 ,以 O 为坐标原点 ,OC所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0,60),C(170,0), 直线 BC 的斜率 kBC=- tan BCO= - . 因为 AB BC,所以直线 AB 的斜率 kAB=. 设点 B 的坐标为 (a,b), 则 kBC= =-,kAB=. 解得 a=80,b=120. 所以 BC=150. 因此新桥BC 的长是 150 m. (2) 设保护区的边

16、界圆M 的半径为r m,OM=d m(0 d 60). 由条件知 ,直线 BC 的方程为y=-(x-170), 即 4x+3y-680=0. 由于圆 M 与直线 BC 相切 ,故点 M(0,d) 到直线 BC 的距离是r,即 r=. 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m, 所以即 解得 10d35. 故当 d=10 时,r=最大 ,即圆面积最大. 所以当 OM=10 m 时 ,圆形保护区的面积最大. 解法二 :如图 ,延长 OA,CB 交于点 F. 因为 tan FCO=, 所以 sin FCO=,cos FCO= . 因为 OA=60,OC=170, 所以 OF=OC

17、tan FCO=,CF=,从而 AF=OF-OA=. 因为 OA OC,所以 cosAFB=sinFCO=. 又因为 AB BC,所以 BF=AFcos AFB=,从而 BC=CF-BF=150. 因此新桥BC 的长是 150 m. (2) 设保护区的边界圆M 与 BC 的切点为D,连结 MD, 则 MD BC,且 MD 是圆 M 的半径 ,并设 MD=r m,OM=d m(0 d60). 因为 OA OC,所以 sin CFO=cos FCO. 故由 (1) 知 sin CFO=,所以 r=. 来源 学 科 网Z,X,X,K 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m, 所

18、以即 解得 10d35. 故当 d=10 时,r=最大 ,即圆面积最大. 所以当 OM=10 m 时 ,圆形保护区的面积最大. 27.(2014天津 ,18,13 分)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A, 上顶点为B.已知 |AB|=|F1F2|. ( ) 求椭圆的离心率; ( ) 设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点F1,经过原点 O 的直线 l 与该圆相切 .求直线 l 的斜率 . 答案 27.查看解析 解析 27.( ) 设椭圆右焦点F2的坐标为 (c,0). 由|AB|= |F1F2|,可得 a2+b 2=3c2,又 b2=a2-

19、c2, 则=. 所以椭圆的离心率e=.来源学科网 ( ) 由( )知 a2=2c 2,b2=c2.故椭圆方程为 +=1. 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c), 有 =(x0+c,y0),=(c,c). 由已知 ,有=0, 即(x0+c)c+y0c=0. 又 c0, 故有 x0+y0+c=0. 又因为点P 在椭圆上 , 故+=1. 由和可得 3+4cx 0=0. 而点 P 不是椭圆的顶点, 故 x0=-c,代入得 y0=, 即点 P 的坐标为. 设圆的圆心为T(x1,y1),则 x1=-c,y1=c,进而圆的半径 r=c. 设直线 l 的斜率为k,依题意 ,直线 l 的方程

20、为y=kx. 由 l 与圆相切 ,可得=r, 即 =c, 整理得 k2-8k+1=0, 解得 k=4 . 所以直线l 的斜率为4+或4-. 28.(2014北京 ,19,14 分)已知椭圆C:x2+2y 2=4. ( ) 求椭圆 C 的离心率 ; ( ) 设 O 为原点 .若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA OB, 试判断直线AB 与圆 x 2+y2=2 的位置关系 ,并证明你的结论 . 答案 28.查看解析 解析 28.( ) 由题意知 ,椭圆 C 的标准方程为+=1. 所以 a2=4,b 2=2, 从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c=. 故椭圆 C

21、的离心率e=. ( ) 直线 AB 与圆 x 2+y2=2 相切 .证明如下 : 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2), 其中 x0 0. 因为 OA OB,所以=0, 即 tx0+2y 0=0,解得 t=-. 当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆C 的方程 ,得 t= , 故直线 AB 的方程为x=. 圆心 O 到直线 AB 的距离 d=. 此时直线AB 与圆 x2+y 2=2 相切 . 当 x0t 时,直线 AB 的方程为y-2=(x-t), 即(y 0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 来源 学科网 Z X X K 圆心 O 到直线 AB 的距离 d=. 又

22、+2=4,t=-, 故 d=. 此时直线AB 与圆 x2+y 2=2 相切 . 29. (2014周宁、政和一中第四次联考，16) 已知动点到点的距离是它到点的 距离的倍 （）试求点的轨迹方程； （）已知直线经过点且与点的轨迹相切，试求直线的方程 答案 29.查看解析 解析 29. （）设点， 由题意得 两边平方整理得. 故点的轨迹是一个圆，其方程为. （ 6 分） （）由（）得圆心为，半径. (i) 若直线的斜率不存在，则方程为，圆心到直线的距离， 故该直线与圆不相切； (ii) 若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为. 由直线和圆相切得：， 整理得， 解得或. 故所求直线的方程为或. (1

23、3 分) 30. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 18) 已知的三个顶点，其 外接圆为. （）若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程； （）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点， 使得点是线段的中点，求的半径的取值范围 . 答案 30.查看解析 解析 30. 解析（）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为 ， 所以外接圆圆心，半径， 圆的方程为. （4 分） 设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2， 所以. 当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求； 当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则 ，解得， 综上，直线的方程为或. （8 分） （）直线的方程为，设， 因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上， 所以即 因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半 径的圆有公共点，所以, （12 分） 又，所以对成立 . 而在0，1上的值域为 ，10 ，所以且. 又线段与圆无公共点，所以对成立，即.来源 学科网 故圆的半径的取值范围为. （ 16 分）