北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《统计与概率》(理)及答案.pdf

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1、北京市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 统计与概率 一、选择、填空题 1、 （东城区 2015 届高三二模） 甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示， 12 ,x x分别表示甲、 乙两名同学8次数学测验成绩的平均数， 12 ,s s分别表示甲、 乙两名同学8次数学测验成绩的标 准差，则有 （ A） 12 xx， 12 ss（B） 12 xx， 12 ss （ C） 12 xx， 12 ss（D） 12 xx， 12 ss 2、（房山区2015 届高三一模）如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长 为2的大正方形， 若直角三角形中较小的锐角 6 ，现在向该正方形

2、区域内随机地投掷一支飞镖， 飞镖落在小正方形内的概率是_ 3、 （丰台区 2015届高三上学期期末）高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状 况， 分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查，假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样 方法合理， 则下列结论正确的是 (A) 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 (B) 两组同学的样本平均数一定相等 (C) 两组同学的样本标准差一定相等 (D) 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4、（大兴区2015 届高三上学期期末）已知圆 M ： 22 4xy，在圆周上随机取一点P，则P到直 线2xy的距离大于2 2的概率为 5、（

3、朝阳区2015 届高三上学期期中）设不等式组 240, 0, 0 xy x y 表示平面区域为D，在区域D 内随机取一点P，则点P落在圆 22 1xy内的概率为 6、某高中共有学生900 人，其中高一年级240 人，高二年级260 人，为做某项调查，拟采用分层抽 样法抽取容量为45 的样本，则在高三年级抽取的人数是 _ 7、下图是根据50 个城市某年6 月份的平均气温( 单位 : ) 数据得到的样本频率分布直方图,其中平 均气温的范围是5 .26, 5.20,样本数据的分组为5 .21, 5.20, 5.22,5 .21,5.23, 5 .22,5.24, 5.23,5.25, 5 .24,5

4、.26, 5 .25. 由图中数据可知a ;样 本中平均气温不低于23.5 的城市个数为 . 8、设不等式组 22, 4 2 xy x y 0 ，表示的平面区域为D 在区域D 内随机取一个点，则此点到直线 +2=0y的距离大于2 的概率是 A. 4 13 B. 5 13 C. 8 25 D. 9 25 9、将正整数1,2,3, 4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率 是（） （A） 2 21 （B） 4 63 （C） 1 21 （ D） 2 63 10、从装有2 个红球和2 个黑球的口袋内任取2 个球，则恰有一个红球的概率是 (A) 1 3 (B) 1 2

5、 (C) 2 3 (D) 5 6 二、解答题 1、（ 2015 年北京高考）A ， B 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天） 记录如下： A 组： 10，11，12，13，14，15， 16 B 组： 12，13，15， 16，17，14， a 假设所有病人的康复时间互相独立，从A ， B 两组随机各选1 人， A 组选出的人记为甲，B 组选出 的人记为乙 ( ) 求甲的康复时间不少于14 天的概率； ( ) 如果25a，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； 20.5 21.5 22.5 23.5 24.5 25.5 26.5 平均气温 / 频率 /组距 0.26 0

6、.22 a 0.12 0.10 O ( ) 当 a为何值时，A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 2、（ 2014 年北京高考）李明在10 场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）： （ 1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率 . （ 2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6 .0，一 场不超过6.0的概率 . （ 3）记x是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(XE与x的大小（只需写出结论） 3、 （ 2013 年北京高考） 下图是某

7、市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染某人随机选择3 月 1 日至 3 月 13 日 中的某一天到达该市，并停留2 天 (1) 求此人到达当日空气重度污染的概率； (2) 设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； (3) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？( 结论不要求证明) 4、（朝阳区 2015届高三一模）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到 不同程度的污损，其中，频 率分布直方图的分组区间分别为50 ，60) ，60 ，70) ，70

8、 ， 80)，80 ，90) ，90 ，100)，据此解 答如下问题 （1）求全班人数及分数在80 ，100 之间的频率； （2）现从分数在 80 ，100 之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在 90 ，100 的份数为X ，求X 的分布列和数学望期 5、（东城区2015 届高三二模）某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须 彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课 程乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程 （）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率； （）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X

9、的分布列和数学期望 6、（房山区2015 届高三一模） 为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分 布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3组的频率之比为1: 2: 3， 其中第2组的频数为12. （）求该校报考飞行员的总人数； （）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很 多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望. 7、（丰台区2015 届高三一模）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯 电动汽车经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分

10、为三类 车型，A：80R150，B：150R250，C：R250甲从A，B，C三类车型中挑选，乙 从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表： 3 4 1 4 乙 CB 1 5 q p 甲 A 人 概率车型 若甲、乙都选C类车型的概率为 3 10 . （）求p，q的值； （）求甲、乙选择不同车型的概率； （）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表： 车型ABC 补贴金额（万元/ 辆）3 4 5 记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和 为X，求X的分布列 8、（海淀区2015 届高三二模）某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽 取男、女生各20 名进行测试，

11、记录的数据如下： 已知该项目评分标准为： 注： 满 分 10 分，且得9分以上 ( 含 9 分) 定为“优秀” （）求上述20 名女生 得分 的中位数和众数； （）从上述20 名男生中，随机抽取2 名，求抽取的2 名男生中优秀人数X的分布列； （）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况.（写出两 个结论即可） 男生投掷距离（单位：米）女生投掷距离（单位：米） 9 7 7 54 6 8 7 6 64 5 5 6 6 6 9 6 6 70 0 2 4 4 5 5 5 5 8 8 5 5 3 0 81 7 3 1 1 9 2 2 0 10 男生 投掷 距离 （米）

12、, 5.4,6.0)6.0,6.6)6.6,7.4)7.4,7.8)7.8,8.6)8.6,10.0)10.0,) 女生 投掷 距离 （米） , 5.1,5.4)5.4,5.6)5.6,6.4)6.4,6.8)6.8,7.2)7.2,7.6)7.6,) 个人 得分 （分） ,4 5 6 7 8 9 10 9、（石景山区2015 届高三一模） 国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表： 下表是由天气网获得的全国东西部各6 个城市 2015 年 3 月某时刻实时监测到的数据： 西部城市AQI 数值东部城市AQI 数值 西安108 北京104 西宁92 金门42 克拉

13、玛依37 上海x 鄂尔多斯56 苏州114 巴彦淖尔61 天津105 库尔勒456 石家庄93 AQI 平均值： 135 AQI 平均值： 90 ( ) 求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市 AQI 数值的方差的大小关系（只需写 出结果）； ( ) 环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研， 记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望 AQI 值范围0,5050 ， 100）100,150150,200200,300300 及以上 10、（西城区 2015届高三一模） 2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地

14、铁按照里程分段计 价具体如下表（不 考虑公交卡折扣情况） 已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁， 且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示 （）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此 人乘坐地铁的票价小于5 元的概率； （）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记X 为这 2 人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望； （）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车 所花交通费也是5 元，假

15、设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里， 试写出s 的取值范围（只需写出结论） 11、（丰台区 2015届高三上学期期末）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内 随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示， 其中样本数据分组区间为50 ，60）， 60 ，70）， 70 ，80）， 80 ， 90）， 90 ，100 （I ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩； （） 如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学， 求 这名同学考试成绩在80分以上的概率； （） 如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学， 这 3名同

16、学中考试成绩在80分以上的人数记为X， 求X的分布列 及数学期望 （注：频率可以视为相应的概率） 12、（海淀区2015 届高三上学期期末）某中学在高二年级开设大学先修课程线性代数，共有 50 名同学选修，其中男同学30 名，女同学20 名 . 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性 别采用分层抽样的方法抽取5 人进行考核 . （）求抽取的5 人中男、女同学的人数； （）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5 位同学按抽签方式决定. 设甲、乙两位同 学间隔的人数为X，X的分布列为 求数学期望EX； （）考核的第二轮是笔试：5 位同学的笔试成绩分别为115，122，105， 111 ，

17、109；结合第一轮 的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115， 121 ，119. 这 5 位同学笔试成绩与考核成绩 的方差分别记为 2 1 s， 2 2 s，试比较 2 1 s与 2 2 s的大小 . （只需写出结论） X3 2 1 0 P ab 3 10 2 5 13、（西城区2015 届高三上学期期末）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市： 投资结果获利 40% 不赔不赚亏损 20% 概率 1 2 1 8 3 8 （2）购买基金： 投资结果获利 20% 不赔不赚亏损 10% 概率 p 1 3 q （）当 1 4 p =时，求q的值； （）已知甲、乙两

18、人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中 至少有一人获利的概率大于 4 5 ，求p的取值范围； （）丙要将家中闲置的10 万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方 案中选择一种，已知 1 2 p = ， 1 6 q= ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学 期望较大？给出结果并说明理由 14、（朝阳区2015 届高三第二次综合练习）某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题 作答，考试结束后，统计数据显示共有600 名学生参加测试，选择A， B ，C三题答卷数如下表： （）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从60

19、0 份答案中抽出若干 份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3 份，则应分别从选择B，C题作答的答卷 中各抽出多少份？ （）若在（）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A， B， C三题答卷中再各抽出1 份，求这3 份答卷中恰有1 份得优的概率； （）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100 份，若以频率作为概率，在（）问 中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求 X的分布列及其数学期 望 EX 15、（通州区2015 高三 4 月模拟考试（一）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减 少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为

20、了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课 外研究性学习小组对某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄 20,2525,3030,3535,4040,45 人数4 5 8 5 3 年龄 45,5050,5555,6060,6565,70 人数6 7 3 5 4 年龄在25,30，55,60的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调 查者中各随机选取2人，进行跟踪调查. （）求年龄在25,30的被调查者中选取的2人都是赞成的概率； （）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率； （）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望 参考答案 一、选

21、择、填空题 1、B 2、 3 1 2 3、D 4、 1 4 5、 16 6、【答案】 20 【解析】高三的人数为400 人，所以高三抽出的人数为 45 40020 900 人。 7、【答案】 0.18,33 8、【答案】 D 【解析】 不等式对应的区域为三角形DEF,当点 D在线段 BC上时， 点 D到直线+2=0y 的距离等于2， 所 以 要 使 点D 到 直 线 的 距 离 大 于2 ， 则 点D 应 在 三 角 形BCF 中 。 各 点 的 坐 标 为 ( 2 0)(4 0)( 62)(42)(4 3)BCDEF， , 所以 105DEEF，6BC， 3CF ,根据几何 概型可知所 求

22、概率为 1 6 3 9 2 1 25 10 5 2 BCF DEF S P S ,选D. 9、【答案】 B 【解析】将正整数1,2,3, 4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数则有 1234567 777777 22126CCCCCC种，因为123456728，所以要使两组 中各数之和相，则有各组数字之和为14. 则有7615432；752643 1； 743652 1；7421653；5432761；643 1752； 6521743；6537421共 8 种，所以两组中各数之和相等的概率是 84 12663 ，选 B. 10、【答案】 C 【解析】从袋中任取2 个球，恰有一个红球

23、的概率 11 22 2 4 42 63 C C P C ，选 C. 二、解答题 1、解析： 设事件 i A为“甲是A的第i个人”， 事件 i B为“乙是B组的第i个人”7.3, 2, 1i 由题意可知 7 1 ii BPAP7.3 ,2 ,1i ( ) 由题意知，事件“甲的康复时间不少于14 天”等价于“甲是A组的第 5 人或者第6 人，或者 第 7 人”甲的康复时间不少于14 天的概率是 7 3 APAPAPAAAP 765765 ( ) 设事件 C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”有题意知 6766372726 2517161514 AC BABABABABA BABABABAB 6766

24、37 272625 17161514 CP BAPBAPBAP BAPBAPBAP BAPBAPBAPBAP 49 10 10 14 BPAP ( )18a11或a 2、李明在该场比赛中命中率超过 0.6的概率有： 主场 2 主场 3 主场 5 客场 2 客场 4 所以李明在该场比赛中投篮命中超过0.6的概率 51 102 P 李明主场命中率超过 0.6概率 1 3 5 P，命中率不超过0.6的概率为 1 2 1 5 P 客场中命中率超过0.6概率 2 2 5 P，命中率不超过0.6的概率为 2 3 1 5 P 332213 555525 P E Xx 3、解： 设Ai表示事件“此人于3 月i

25、日到达该市”(i1,2 ，, ， 13) 根据题意，P(Ai) 1 13 ，且AiAj(ij) (1) 设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则BA5A8. 所以P(B)P(A5A8) P(A5) P(A8) 2 13 . (2) 由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2 ，且 P(X1) P(A3A6A7A11) P(A3) P(A6) P(A7) P(A11) 4 13 ， P(X2) P(A1A2A12A13) P(A1) P(A2) P(A12) P(A13) 4 13 ， P(X0) 1P(X1)P(X2) 5 13 . 所以X的分布列为： X 012 P 5 13 4 13 4

26、13 故X的期望EX0 5 13 1 4 13 2 4 13 12 13 . (3) 从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大 4、 5、解：（）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程” 则 1 2 2 3 C2 ( ) C3 P A， 2 4 3 5 C3 ( ) C5 P B 因为事件A与B相互独立， 所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为 224 ()()( )()1( ) 3515 P ABP A P BP AP B,4 分 （）设事件C为“丙同学选中C课程” 则 2 4 3 5 C3 ( ) C5 P C X的可能取值为：0,1,2,3 12

27、24 (0)() 35575 P XP ABC (1)()()()P XP ABCP ABCP ABC 22213212320 35535535575 (2)()()()P XP ABCP ABCP ABC 23222313333 35535535575 23318 (3)() 35575 P XP ABC X为分布列为： X 0 12 3 P 4 75 20 75 33 75 18 75 420331814028 ()0123 757575757515 E X ,13 分 6、解：（ I ）设报考飞行员的人数为n, 前三小组的频率分别为 321 ,ppp，则由条件可得： 21 31 123

28、2 3 (0.0370.013)51 pp pp ppp 解得， 123 0.125,0.25,0.375.ppp 又因为 2 12 0.25,p n 故n 48,5 分 (II)由（ I ）可得，一个报考学生体重超过60 公斤的概率为 3 5 (0.0370.013)5, 8 pp 服从二项分布故X ， kk k CkXP 3 3 8 3 8 5 随机变量 X的分布列为： X01 23 p512 27 512 135 512 225 512 125 则 8 15 512 125 3 512 225 2 512 135 1 512 27 0EX，或 8 15 8 5 3npEX ,13分 7、

29、解：（）因为 33 410 1 1 5 q pq 所以 2 5 p， 2 5 q,4 分 （）设“甲、乙选择不同车型”为事件A， 则 121233 () 554545 P A 答：所以甲、乙选择不同车型的概率是 3 5 ,7 分 （）X 可能取值为7，8，9， 10 111 (7) 5420 P X， 13211 (8) 54544 P X， 21232 (9) 54545 P X； 233 (10) 5410 P X 所以X的分布列为： X7 8 9 10 P 20 11 4 2 5 3 10 ,13 分 8、解：（）20 名女生掷实心球得分如下： 5，6，7， 7，7，7，7，7，8，8，

30、 8，9，9，9，9，9，9， 9，10， 10 所以中位数为8，众数为9,3 分 （）X的可能取值为0，1，2,4 分 2 12 2 20 33 0 95 C P X C ； 11 128 2 20 48 1 95 C C P X C ； 2 8 2 20 14 2 95 C P X C ； 所以抽取的2 名男生中优秀人数X的分布列为： X0 1 2 P 95 33 95 48 95 14 ,10 分 （）略 . ,13 分 评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行 合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生

31、今后在 该项目的训练提出合理建议. 9、（）x82 ,2分 D东部 ， 所以 3 5 p. , 7 分 又因为 1 1 3 pq+= ， 0q， 所以 2 3 p . 所以 32 53 p . , 8 分 （） 解：假设丙选择 “投资股票” 方案进行投资， 且记X为丙投资股票的获利金额（单位： 万元） ， 所以随机变量X的分布列为： X4 0 2 P 1 2 1 8 3 8 , 9 分 则 1135 40( 2) 2884 EX. ,10 分 假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元）， 所以随机变量Y的分布列为： Y2 0 1 P 1 2 1 3 1 6

32、, 11 分 则 1115 20( 1) 2366 EY. , 12 分 因为 EXEY ， 所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大, 13 分 14、解：（）由题意可得： 题A B C 答卷数180 300 230 抽出的答卷数3 5 2 应分别从题的答卷中抽出份，份 （） 记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优， 可知只能题答案为优，依题意 （）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的题的答案中得优的份数的可 能取值为，且 ； ； ； 随机变量的分布列为： 所以 15、解：( )设“年龄在,25 30的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件

33、A， 所以 2 3 2 5 3 . 10 C P A C , 3分 ( )设“选中的4人中，至少有3 人赞成”为事件B， 所以 21111222 32132232 222222 535353 1 . 2 C C CC C CC C P B C CC CC C , 7分 （）X的可能取值为0，1，2，3. 所以 22 32 22 53 1 (0) 10 C C P X C C ， 112211 322321 22 53 2 (1) 5 C C CC C C P X C C ， 221111 223221 22 53 13 (2) 30 C CC C C C P X C C ， 211 221 22 53 1 (3). 15 C C C P X C C , 11分 所以X的分布列是 , 12分 所以0EX 1 10 1 2 5 2 13 30 1 3 15 22 . 15 , 13分 X0123 P 1 10 2 5 13 30 1 15