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1、智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 1 - 状元廊学校数学思维方法讲义之二年级：九年级 第 2 讲证明（ 四边形专题 ） 【学习目标】 1、牢记四边 形的有关性质及其判定； 2、运用四边 形的性质及判定进行有关计算与证明； 3、数学思想方法的合理运用。 【考点透视】 1.平行四边形的性质及判定方法。2.矩形的性质及判定方法。 3.菱形的性质及判定方法。4.正方形的性质及判定方法。 5.梯形的概念及判定方法。6.梯形问
2、题的转化。 【数学思想方法】 梯形的常见辅助线的添加方法： 通过添加辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形（作高、平移腰、延腰、平移对角线、 等积变化） 一招制胜 图形分离法 【精彩知识】 题型一 : 选择题 【例 1】如图，菱形ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为2 和 3， A=120 ，则阴影部分的面积是（） A3B2 C3 D2 考点感悟： 变式练习： 1、如图，菱形ABCD 中， AB=2， A=120 ，点 P， Q， K 分别为线段 BC，CD， BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 ( ) A1 B3C 2 D31 2、如图，梯形ABCD 中， ABCD，点 E、F
3、、 G 分别是 BD、AC、 DC 的中点 .已知两底差是6， 两腰和是12，则 EFG 的周长是 （） A.8 B.9 C.10 D.12 3、在面积为15 的平行四边形ABCD 中，过点A 作 AE 垂直于直线BC 于点 E，作 AF 垂直于 直线 CD 于点 F，若 AB5，BC6，则 CECF 的值为（） A11 11 3 2 B 11 11 3 2 C11 11 3 2 或 11 11 3 2 D11 11 3 2 或 1 3 2 题型二 :填空题 【例 2】如图，菱形ABCD 中， AB=AC，点 E、F 分别为边 AB、BC 上的点，且AE=BF，连接 CE、AF 交于点 H，连
4、接 DH 交AG 于点O则下列结论ABFCAE，AHC=120 ， AH +CH=DH ， AD 2=OD DH 中，正确的结论是 O H E D C A B F 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 2 - 变式练习： 1. 如图，线段 AC=n+1 （ 其中 n 为正整数）， 点 B 在线段 AC 上， 在线段 AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF，连接 AM、ME、EA 得到 AME当 AB=1 时， A
5、ME 的面积记为S1；当 AB=2 时， AME 的面积记为S2；当 AB=3 时， AME 的面积记为S3；当 AB=n 时， AME 的面积 记为 Sn当 n2 时， SnSn1= 2、如图，在四边形ABCD 中， AC=BD=6， E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点， 则 EG 2+FH2 = 。 1 题图2 题图 题型三 :计算与证明 常规试题 【例 3】如图，在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=10， F 为 AD 的中点， CEAB 于 E，设 ABC= （60 90 ） （1）当 =60 时，求 CE 的长； （2）当 60 90 时， 是否存在正整数k
6、，使得 EFD =kAEF？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由 连接 CF，当 CE2CF 2取最大值时，求 C 点的位置 考点感悟： 新型试题 【例 4】（1） 如图 （1） ， 正方形 AEGH 的顶点 E、 H 在正方形 ABCD 的边上，直接写出 HD GCEB 的结果（不必写计算过程）； （ 2）将图（ 1）中的正方形AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图（2） ，求 HDGCEB； （ 3）把图（ 2）中的正方形都换成矩形，如图（3） ，且已知DA ABHA AEm: n，此时 HD GCEB 的值与（ 2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必 写
7、计算过程） 考点感悟： 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 3 - 【例 5】如图 1，梯形 ABCD 中， ADBC，ABC2BCD 2 ，点 E 在 AD 上，点 F 在 DC 上，且 BEF=A. （1）BEF=_(用含 的代数式表示 )； （2）当 ABAD 时，猜想线段ED、EF 的数量关系，并证明你的猜想； （3）当 AB AD 时，将 “ 点 E 在 AD 上 ” 改为 “ 点 E 在 AD 的延长线上
8、，且AEAB，ABmDE， ADnDE” ，其他条件不变（如图2） ，求 EB EF 的值（用含m、n 的代数式表示） 。 考点感悟： 【例 6】如图，在矩形OABC 中， AO10，AB 8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边 BC， 使点 B 落在 OA 边上的点E 处，分别以OC、OA 所在的直线为x 轴， y 轴建立平面直角坐标系， 抛物线 yax2bxc 经过 O，D，C 三点 （1）求 AD 的长及抛物线的解析式； （2）一动点P从点 E 出发，沿EC 以每秒 2 个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点 C 出发，沿 CO 以每秒 1 个单位长的速度向点O 运动，当点 P
9、运动到点C 时，两点同时停止运动设 运动时间为t 秒，当 t 为何值时，以P，Q，C 为顶点的三角形与ADE 相似？ （3）点 N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点 N，使以 M，N， C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点 N 的坐标（不写求解过程）； 若不存在，请说明理由 考点感悟： y x D E C B A O 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 4 -
10、【课后测试】 1、如图，四边形ABCD 中， BAD=120 ， B=D=90 ，在 BC、CD 上分 别找一点M、 N， 使 AMN 周长最小时， 则 AMN +ANM 的度数为（） A. 130 B. 120 C. 110 D. 100 2、如图，在直角梯形ABCD 中， AD/BC ，C90 ，AD 5， BC9， 以 A 为中心将腰AB 顺时针旋转90 至 AE，连接 DE，则 ADE 的面 积等于（） A10 B 11 C12 D13 3、如图，已知正方形ABCD 中， BE 平分DBC 且交 CD 边于点 E，将 BCE 绕点 C 顺时针旋转 到 DCF 的位置，并延长BE 交 D
11、F 于点 G （1）求证： BDG DEG ； （2）若 EG?BG=4，求 BE 的长 4、如图，梯形ABCD 中， AD BC，DCB45 ，CD 2，BDCD 过点 C 作 CEAB 于 E， 对角线 BD 于 F点 G 为 BC 中点，连结EG、 AF (1)求 EG 的长； (2)求证： CF AB AF 5、如图 1，在菱形ABCD 中， AC=2 ， BD=2 3 ，AC ，BD 相交于点O （1）求边 AB 的长； （2）如图 2，将一个足够大的直角三角板60 角的顶点放在菱形ABCD 的顶点 A 处，绕点 A 左 右旋转，其中三角板60 角的两边分别与边BC，CD 相交于点E
12、，F，连接 EF 与 AC 相交于点 G 判断 AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由； 旋转过程中，当点E 为边 BC 的四等分点时（BECE） ，求 CG 的长 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼 - 5 - 部分答案与提示： 【例 1】如图，设BF、CE 相交于点M， 菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为2 和 3， BCM BGF， CMBC GFBG ，即 CM2 32+3 。 解得 CM=1.2 。DM=2 1.2
13、=0.8。 A=120 ，ABC=180 120 =60 。 菱形 ABCD 边 CD 上的高为2sin60 =2 3 3 2 ， 菱形 ECGF 边 CE 上的高为3sin60 =3 33 3 22 。 阴影部分面积 =SBDM+SDFM= 1 2 0.8 3+ 1 2 0.8 3 3 3 2 。故选 A。 【例 3】 解： （1）=60，BC=10，sin =CE BC ，即 sin60 = CE3 102 ，解得 CE=5 3。 （2）存在 k=3，使得 EFD=k AEF。理由如下： 连接 CF 并延长交BA 的延长线于点G， F 为 AD 的中点， AF=FD 。 在平行四边形ABC
14、D 中， ABCD，G=DCF。 在AFG 和 CFD 中， G=DCF， G=DCF， AF=FD ， AFGCFD（AAS ） 。CF=GF， AG=CD 。 CEAB ，EF=GF。AEF= G。 AB=5 ，BC=10 ，点 F 是 AD 的中点， AG=5 ， AF= 1 2 AD= 1 2 BC=5。AG=AF 。 AFG= G。 在AFG 中， EFC=AEF+ G=2AEF， 又CFD= AFG ，CFD= AEF。 EFD=EFC+CFD=2AEF+ AEF=3 AEF， 因此，存在正整数k=3，使得 EFD=3AEF。 设 BE=x，AG=CD=AB=5 ，EG=AE+AG
15、=5 x+5=10 x， 在 RtBCE 中， CE2=BC 2BE2=100x2。 在 RtCEG 中， CG2=EG 2+CE2 =（10x） 2 +100x 2=20020x。 CF=GF（中已证），CF2=（ 1 2 CG） 2=1 4 CG 2=1 4 （200 20x）=505x。 CE 2CF2=100 x250+5x=x2+5x+50= （ x5 2 ） 2+50+25 4 。 当 x= 5 2 ，即点 E 是 AB 的中点时， CE2CF2取最大值。 【例 4】 解： （1）HD:GC:EB :2:1。 （ 2）连接 AG 、AC， ADC 和AHG 都是等腰直角三角形， A
16、D:AC AH:AG :2，DAC= HAG=45 。 DAH= CAG 。DAH CAG 。 HD:GC AD:AC :2。 DAB= HAE=90 ，DAH= BAE 。 又AD AB ，AH AE，DAH BAE （SAS） 。HD=EB 。 HD:GC:EB :2:1。 （3）有变化， HD:GC:EB 22 m:m +n: n。 【考点】 正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， 全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】 （1）连接 AG ， 正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形ABCD 的边上， GAE= CAB=45 ，AE=AH ，AB=AD
17、 。 A，G，C 共线， AB AE=AD AH ，HD=BE 。 AEAB AG2AEAC2AB sin45 sin45 ， GC=AC AG=2AB2AE= 2（AB AE）= 2BE。 HD：GC：EB=1：2：1。 （2）连接 AG 、AC ，由 ADC 和AHG 都是等腰直角三角形，易证 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 得DAH CAG 与DAH BAE ，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求
18、得 HD：GC：EB 的值。 （ 3）连接 AG 、AC， 矩形 AEGH 的顶点 E、H 在矩形 ABCD 的边上， DA ：AB=HA ：AE=m ：n， ADC= AHG=90 ，ADC AHG 。 AD ：AC=AH ：AG= 22 m:m +n，DAC= HAG 。 DAH= CAG 。DAH CAG 。 HD：GC=AD ：AC= 22 m:m +n。 DAB= HAE=90 ，DAH= BAE 。 DA ：AB=HA ：AE=m ：n，ADH ABE 。DH：BE=AD ：AB=m ：n。 HD：GC：EB= 22 m:m +n: n。 【例 5】解： （1） 180 2 。 （
19、2）EB=EF。证明如下： 连接 BD 交 EF 于点 O，连接 BF。 AD BC，A=180 -ABC=180 2 ， ADC=180 C=180 - 。 AB=AD ，ADB= 1 2 （180 A）= 。 BDC= ADC ADB=180 2 。 由（ 1）得： BEF=180 2=BDC。 又EOB=DOF，EOBDOF。 OEOB = ODOF ，即 OEOD = OBOF 。 EOD=BOF，EODBOF。EFB= EDO= 。 EBF=180 BEFEFB= = EFB。EB=EF。 （3） 延长 AB 至 G，使 AG=AE ，连接 BE，GE， 则G= AEG= 18018
20、02 180A = 22 。 AD BC， EDF=C= ，GBC=A，DEB= EBC。 EDF=G。 BEF= A，BEF=GBC 。 GBC+EBC= DEB+ BEF，即EBG=FED。 DEFGBE 。 EBBG = EFDE 。 AB=mDE ，AD=nDE ，AG=AE= （n+1）DE。 BG=AG AB= （n+1）DEmDE= （n+1 m） DE。 EBn1mDE =n1m EFDE （） 。 【考点】 梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。 【分析】（1）由梯形ABCD中， AD BC，ABC=2 BCD=2 ，根据平行线的性质，易求得A
21、的度数，又由 BEF= A，即可求得 BEF 的度数： 梯形 ABCD 中， AD BC，A+ ABC=180 。A=180 ABC=180 2 。 又BEF=A，BEF=A=180 2 。 （2）连接 BD 交 EF 于点 O，连接 BF，由 AB=AD ，易证得 EOBDOF，根据 相似三角形的对应边成比例，可得 OEOB = ODOF ，从而可证得 EOD BOF，又由相似三 角形的对应角相等，易得EBF=EFB= ，即可得EB=EF。 （3）延长 AB 至 G，使 AG=AE ，连接 BE，GE，易证得 DEFGBE，然后由相似三角形的对 应边成比例， 即可求得 EB EF 的值。解析
22、：延长 DF ,BA 交于 G，可证 CEMCFM , CDF BGF, 通过线段的简单运算，即可求得。 【例 6】 【解析】 （1） 根据折叠前后的相等线段，先在 RtOEC 中求出 OE 长，再在 Rt ADE 中运用勾股定理构建方程求AD然后将O， D， C 三点的坐标代入抛物线y=ax 2+bx+c 求出 a，b， c 即可 （2）分别用含的代数式表示CQ 和 CP 的长，再利用相似三角形产生的相似 比构建含t 的方程，解之即得（3）从两定点C，E 形成的边CE 为平行四边形的边和 对角线两个角度分析求解 【答案】 解：（ 1）四边形ABCO 为矩形， 智慧在这里绽放，状元从这里起航
23、东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 7 - OAB AOC B90 ，AB CO8，AO BC10 由题意得， BDC EDC B DEC90 ，ECBC10，ED BD 由勾股定理易得EO6 AE 106 4 设 ADx，则 BDDE8x，由勾股定理，得x242(8x)2 解之得， x3， AD3 抛物线yax 2bxc 过点 O（0，0）， c0 抛物线yax 2bxc 过点 D(3， 10)，C(8，0)， 解之得 抛物线的解析式为：yx2x
24、 （2） DEA OEC90 ， OCE OEC90 ， DEA OCE 由（ 1）可得 AD3，AE4，DE5 而 CQt， EP2t，PC102t 当 PQC DAE90 时， ADE QPC， ，即，解得 t 当 QPC DAE90 时， ADE PQC， ，即，解得 t 当 t或时，以 P，Q，C 为顶点的三角形与ADE 相似 （ 3）存在 M1（ 4， 32）， N1（4， 38） M2（12， 32）， N2（4， 26） M3（4， ）， N3（4，） 5、解： （1）四边形 ABCD 是菱形， AOB 为直角三角形，且OA= 1 2 AC=1 ，OB= 1 2 BD= 3 。
25、在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB= 2222 OAOB1( 3)2。 （2）AEF 是等边三角形。理由如下： 由（ 1）知，菱形边长为2，AC=2 ， ABC 与ACD 均为等边三角形。 BAC= BAE+ CAE=60 。 又EAF= CAF+ CAE=60 ，BAE= CAF 。 在ABE 与 ACF 中，BAE= CAF ，AB=AC=2 ，EBA= FCA=60 ， ABEACF（ASA ） 。AE=AF 。AEF 是等腰三角形。 又EAF=60 ，AEF 是等边三角形。 BC=2， E 为四等分点，且BECE，CE= 1 2 ， BE= 3 2 。 由知ABE ACF ，CF=
26、BE= 3 2 。 EAC+AEG+ EGA= GFC+FCG+CGF=180 （三角形内角和定理） ， AEG= FCG=60 （等边三角形内角） ，EGA= CGF（对顶角）， EAC=GFC。 在CAE 与 CFG 中， EAC= GFC ，ACE= FCG=60 ， CAECFG 。 CGCF CECA ，即 3 CG 2 1 2 2 。解得： CG= 3 8 。 【考点】 旋转的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边 三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）根据菱形的性质，确定AOB 为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB 的长度。 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 8 - （2）确定一对全等三角形ABE ACF ，得到AE=AF ，再根据已知条件EAF=60 ， 可以判定 AEF 是等边三角形。 确定一对相似三角形CAE CFG，由对应边的比例关系求出CG 的长度。