山西省山大附中2015届高三12月月考数学理试题及答案.pdf

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1、山西大学附中2014 年高三第一学期12 月月考 数学试题（理科） 考试时间： 120 分钟满分： 150 分 【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导， 在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查. 知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数 的性质及图象、 三角函数、 解三角形、 数列、 平面向量、 立体几何、 导数的应用、 圆锥曲线、 复数、集合、程序框图、排列组合、参数方程、不等式选讲等；考查学生解决实际问题的综 合能力，是份较好的试卷. 【题文】一、选择题（本大题共12

2、题，每小题5 分，共 60 分. ） 【题文】 1. 设不等式0 2 xx的解集为M，函数xxf1lg)(的定义域为N，则 NM A.0 , 1- B.1 ,0 C.1 ,0 D.1 ,0 【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】 B 解析：由0 2 xx得 0x1，所以M=0，1, 由10x得-1 x1，所以N=(-1 ， 1), 则0,1MN，所以选B. 【思路点拨】可先解不等式得M ，求函数的定义域得N，再求交集即可. 【题文】 2. 若复数z满足izi21-2，则z的虚部位 A. 5 5 B.i 5 5 C.1 D.i 【知识点】复数的运算L4 【答案】【解析】 A 解析：因为 12

3、52 55 2 2555 i zii i ，所以虚部为 5 5 ，则选 A. 【思路点拨】可先由已知条件计算出复数z 再判断其虚部，即可解答. 【题文】 3. 命题“若ba,都是偶数，则ba是偶数”的逆否命题是 A.若ba不是偶数，则ba,都不是偶数 B.若ba不是偶数，则ba,不都是偶数 C.若ba,都不是偶数，则ba不是偶数 D. 若ba,不都是偶数，则ba不是偶数 【知识点】命题及其关系A2 【答案】【解析】 B 解析：由命题的逆否命题的含义可知选B. 【思路点拨】写一个命题的逆否命题，可先写出其否命题，再对条件和结论同时否定即可. 【题文】 4. 已知等差数列 n a且4823 131

4、0753 aaaaa，则数列 n a的前13 项和为 A.24 B.39 C.52 D.104 【知识点】等差数列的性质D2 【答案】【解析】 C 解 析 ： 因 为 3571 01 341 07 32661248aaaaaaaa， 所 以 7 4a， 则 1 37 1352Sa，所以选C. 【思路点拨】 一般遇到等差数列时，可先观察项的项数是否有性质特征，有性质特征的可用 性质转化求解 . 【题文】 5. 若抛物线 2 axy的焦点坐标是（0,1 ） ，则a A.1 B. 2 1 C.2 D. 4 1 【知识点】抛物线的性质H7 【答案】【解析】 D 解析：因为抛物线方程为 2 1 xy a

5、 ，所以其焦点坐标为 1 0, 4a ，则有 11 1, 44 a a ，所 以选 D. 【思路点拨】 本题主要考查的是抛物线的性质，由抛物线的方程求其焦点坐标时应先把方程 化成标准方程再进行求值. 【题文】 6. 已知函数),0(cossin)(Rxabxbxaxf在 4 x处取得最大值，则函 数 xfy 4 是 A.偶函数且它的图像关于点0，对称 B. 偶函数且它的图像关于点 0 2 3 ， 对称 C.奇函数且它的图像关于点 0 2 3 ， 对称 D.奇函数且它的图像关于点0，对称 【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案】【解析】 B 解析：因为函数),0(co ssin)(Rxabx

6、bxaxf在 4 x处取得最大值，所以 22 22 22 abab，b=-a，所以 sincossi 4 fxaxbxax (a0)，则 2sin2cos 42 yfxaxax， 所以为偶函数， 且它的图像关于点 0 2 3 ， 对称，则选B. 【思路点拨】可先结合最大值点得出a,b 关系，再把函数f(x)化成一个角的三角函数进行 解答判断即可 . 【题文】 7. 执行如图所示的程序框图，若13)( 2 xxf，取 10 1 ，则输出的值为 A. 32 19 B. 16 9 C. 8 5 D. 4 3 【知识点】程序框图二分法求方程近似解B9 L1 【答案】【解析】 A 解析：因为010,12

7、0ff, 第一次执行循环体时 131 10 244 f ， ， 1 2 a, 111 1 2210 ba；第二次执行循环体 32711 10 41616 f ， 311 , 4410 bba； 第三次执行循环体 57511511 10, 864648810 fbba ， 第四次执行循环体 913911 0., 16256161610 faba ，所以输出 95 19 168 232 ， 则选 A. 【思路点拨】 遇到循环结构的程序框图时，可依次执行循环体，直到跳出循环再进行判断即 可. 【题文】 8. 已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 【知识点】三视图G2

8、【答案】【解析】 D 解析：三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足；且四个三视图均表示一个高为3， 底面为两直角边分别为1，2 的棱锥； A与 C中俯视图正好旋转180， 故应是从相反方向进 行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故A，C表示同 一棱锥；设A中观察的正方向为标准正方向，以C表示从后面观察该棱锥；B与 D中俯视图 正好旋转180，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满 足实际情况，故B，D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，根据B中正视图与A中 侧视图相同，侧视图与C中正视图相同，可判断B是从左边观察该棱锥，综上可知选D

9、. 【思路点拨】由已知中的四个三视图，可知四个三视图，分别表示从前、后、左、右四个方 向观察同一个棱锥，但其中有一个是错误的，根据A与 C中俯视图正好旋转180，故应是 从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况， 可 得 A，C均正确，而根据AC可判断 B正确， D错误 . 【 题 文 】 9. 已 知A,B,C三 点 是 某 球 的 一 个 截 面 的 内 接 三 角 形 的 三 个 顶 点 ， 其 中 30,24,18ACBCAB，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为 A.1200 B.1400 C.1600 D.1800 【知识点】球的

10、截面性质G8 【答案】【解析】 A 解析：因为 222 ABBCAC, 所以三角形ABC外接圆圆心在AC中点处，半径为15，设 球半径为R，由球的截面性质得 2 22 15 2 R R , 得 2 300R, 所以该球的表面积为 2 41200R, 则选 A. 【思路点拨】 一般遇到球的截面问题时，通常利用球的截面性质寻求截面与球半径的关系进 行解答 . 【题文】 10. 已知约束条件 1 0 012 x yax yx 表示的平面区域为D，若区域D 内至少有一个点 在函数 x ey的图像上，那么实数a的取值范围为 A.4 ,e B.,e C.3 ,1 D.，2 【知识点】简单的线性规划E5 【

11、答案】【解析】 B 解析：由题意作出其平面区域及函数y=e x 的图象，结合函数图象知，当x=1 时， y=e x=e； 故实数 a 的取值范围为 e ，+） ，所以选B. . 【思路点拨】可先作出指数函数 x ey的图象，再由不等式表示的平面区域数形结合得出 实数 a 满足的条件即可. 【题文】 11. 已知函数 x x xgkxxf ln )(,)(，若关于x的方程)()(xgxf在区间e e , 1 内有两个实数解，则实数k的取值范围是 A. ee2 1 , 1 2 B. ee 1 , 2 1 C. 2 1 0 e ， D. , 1 e 【知识点】函数与方程B9 【答案】【解析】 A 解

12、析：由)()(xgxf得 2 ln x k x ，令 2 ln x t x x ，由 3 12ln 0 x tx x 得xe， 得函数 t(x) 在 1 ,e e 上单调递增，在,e e上单调递减，又 2 2 111 , 2 tete t e eee ，所以若关于x的方程)()(xgxf在区间 e e , 1 内有 两个实数解，则实数k的取值范围是 ee2 1 , 1 2 ，则选 A. 【思路点拨】 一般遇到方程的解的个数问题通常转化为函数的图象的交点个数问题；通过导 数研究函数的单调性及极值；通过对k 与函数 h（x）的极值的大小关系的讨论得到结论. 【题文】 12. 已知椭圆C:)0(1

13、2 2 2 2 ba b y a x 的左右焦点为 21, F F，若椭圆C 上恰好有 6 个不同的点P，使得PFF 21 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 A. 3 2 3 1 ， B. 1 2 1 ， C. 1 3 2 ， D. 1 2 1 2 1 3 1 ， 【知识点】椭圆的几何性质H5 【答案】【解析】 D 解析： 6 个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4 个分别在第一、二、三、四象限， 且上下对称左右对称。不妨设P 在第一象限， 12 PFPF，当 112 2PFF Fc时， 21 222PFaPFac， 即 2c2a2c， 解得 1 2 c e a ， 又因为 e1，

14、 所以 1 1 2 e； 当 212 2PFF Fc时， 12 222PFaPFac，即 2a2c2c 且 2cac，解得 11 32 e，综上可得 11 32 e或 1 1 2 e，故选 D. 【思路点拨】 可结合椭圆的对称性判断只需在第一象限存在点P使三角形为等腰三角形，再 利用椭圆的定义及在第一象限点P到两焦点距离的大小关系进行解答. 【题文】二、填空题（本大题共4 题，每小题5 分，共 20 分. ） 【题文】 13. 已知向量 ) 1 , 2(),3, 4(ba ，如果向量ba 与b垂直，则 ba 2的值 为 【知识点】向量的坐标运算F2 【答案】【解析】5 5 解 析 ： 由 题

15、可 知 （ba ）b =0 即42 ,32,10解 得1所 以 210, 5ab，ba2=5 5 . 【思路点拨】可应由向量垂直计算出的值，再由向量的求模公式求得所求向量的模. 【题文】 14. 有 5 种不同的颜色可供使用. 将一个五棱锥的各个侧面涂色，五个侧面分别编有 1,2,3,4,5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色则不同的涂色方法有种. 【知识点】基本计数原理J1 【答案】【解析】 1020 解析： 在五个侧面上顺时针或逆时针编号分 1 号面、 3 号面同色和1 号面、 3 号面不同色 两种情况： 1、3 同色， 1 和 3 有 5 种选择， 2、4 各有 4 种、5 有 3 种

16、，共有 5x4x4x3=240 种； 1、3 不同色， 1 有 5 种选择， 2 有 4 种， 3 有 3 种，再分4 与 1 同，则 5 有 4 种， 4 不与 1 同， 4 有 3 种， 5 有 3 种， 共有 5x4x3x （4+3x3） =780 种； 根据分类加法原理得共有240+780=1020 种 【思路点拨】可在五个侧面上顺时针或逆时针编号，分1 号面、 3 号面同色和1 号面、 3 号 面不同色两种情况：当1、3 同色， 1 和 3 有 5 种选择， 2、4 各有 4 种、 5 有 3 种，当 1、3 不同色， 1 有 5 种选择， 2 有 4 种， 3 有 3 种，再分4

17、与 1 同，则 5 有 4 种， 4 不与 1 同， 4 有 3 种， 5 有 3 种，最后根据分类加法得结果. 【题文】 15. 圆 0142 22 yxyx关于直线),(022Rbabyax对称，则ab 的取值范围是 【知识点】直线与圆的位置关系函数的值域H4 B3 【答案】【解析】 1 , 4 解析：因为圆0142 22 yxyx关于直线),(022Rbabyax对称，则说 明直线过圆心，则有-2a-2b+2=0,a+b=1,那么 2 1abaaaa利用二次函数的值域可 知它的取值范围是 1 , 4 . 【思路点拨】可先结合圆的特征确定圆心位置，再转化为二次函数求值域问题进行解答. 【题

18、文】 16. 函数 121 ( )4cos2( 35) 32 x yxx，则此函数的所有零点之和等于 【知识点】函数与方程B9 【答案】【解析】 8 解析： 由 1 1 3 x y 和 2 4cos22cos 2 yxx图像如图， 交点的横坐标是零点的 值，由图像可知，那些零点关于x=1 对称，所以所有零点的值为8. 【思路点拨】 一般遇到判断函数的零点个数问题，若直接判断不方便时，可转化为两个函数 的图象交点个数问题进行判断，本题抓住两个函数图象都关于直线x=1 对称是解题的关键. 【题文】三、解答题（本大题共5 题，每小题12 分，共 60 分. ） 【题文】17. 如图，在ABC中， 3

19、 B，2BC，点D在边AB上，DCAD， ACDE，E为垂足 (1) 若BCD的面积为 3 3 ，求CD的长； (2) 若 2 6 ED，求角A的大小 【知识点】解三角形C8 【答案】【解析】 (1) 27 3 ；(2) 4 解析： (1) 由已知得S BCD 1 2 BC BD sin B 3 3 ，又 BC 2，sin B 3 2 ， BD 2 3 ， cos B 1 2 . 在 BCD中，由余弦定理，得 CD 2 BC 2BD22BC BD cos B 222 3 2222 3 1 2 28 9 . CD 2 7 3 . CD AD 6 sin2sin DE AA ，在 BCD中，由正弦

20、定理，得 sinsin BCCD BDCB ，又 BDC 2A，得 26 sin22sinsinAAB ，解得 cos A 2 2 ，所以 A 4 . 【思路点拨】 在求边与角时， 可先分析所求的边与角所在的三角形，再由已知条件结合正弦 定理或余弦定理进行求解. 【题文】 18. 已知函数bxxxf 2 )(为偶函数，数列 n a满足1)1(2 1nn afa，且 1, 3 1n aa（1）设) 1(log 2nn ab，证明： 数列1 n b为等比数列 （2）设 nn nbc， 求数列 n c的前n项和 n S 【知识点】等比数列数列求和D3 D4 【答案】【解析】（ 1）略； （2） 1

21、1 122 2 n n n n Sn 解析：（1）证明：因为函数bxxxf 2 )(为偶函数，所以b=0, 则 22 11212 211,121,log12log11 nnnnnn aaaaaa，所以 212 1 22 log112log121 2 1log11log11 nn n nnn aab baa ，又 121 1 lo g11 2ba，所以 数列1 n b为首项为2，公比为2 的等比数列； （2）由 (1) 得 12 ,21 nn nn bb，所以2 n n cnn，令 232341 22 23 22 ,222 23 22 nn SnSn，两式相减得 1 2311122 222222

22、122 12 n nnnn Snnn ，所以 1 122 n Sn，则 1 1 122 2 n n n n Sn . 【思路点拨】 证明等比数列时通常利用其定义直接证明，求数列的前n项和时， 通常先确定 数列的通项公式，再结合通项公式特征确定求和思路. 【题文】 19. 如图，在三棱锥P-ABC中， PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2 2 (1) 求证：平面ABC 平面 APC (2) 求直线 PA与平面 PBC所成角的正弦值 (3) 若动点 M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为 2 2 3 ，求 BM的最小值 【知识点】垂直关系空间角的求法G5 G11 【答案】【解析

23、】 (1) 略； (2) 21 7 ； (3) 8 702 105 35 解析：（1）取 AC中点 O,因为 AP=BP ，所以 OP OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形， OA=OB=OC, POA POB POC,OP OB OP 平面 ABC, OP在平面 PAC中，平面ABC 平面 APC （2） 以O 为坐标原点,OB、 OC 、OP 分别为x、 y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 3), 设平面 PBC的法向量，由 得方程组 220 22 30 xy xz ，取 1 3,3,

24、1n 1 21 cos, 7 AP n，直线PA与平面 PBC所成角的正弦值为 21 7 ； （3）由题意平面PAC的法向量， 设平面 PAM 的法向量为 3 , , ,0nx y zM m n0,2,23 ,2,0APAMm n，又因为 P A B C 33 0,0AP nAMn， 22 30 20 yz mxny ，取 3 32 ,3,1 n n m 23 2 2 32 2 3 cos, 3 2 2 331 n m nn n m ， 2 2 332 n m ， B点到 AM的最小值为垂直距离 8 22 38 702 105 3535 d. 【思路点拨】 证明线面垂直通常利用其判定定理进行证

25、明，一般遇到空间角的问题，通常建 立空间直角坐标系，利用空间向量进行转化解答. 【题文】 20. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离 心率等于 1 2 ，它的两个顶点恰好是双曲线1 315 22 xy 的 焦点 . （1）求椭圆C的方程； （2）点)3,2(),3,2(QP，在椭圆上，BA,是椭圆上位于 直线PQ两恻的动点， 若直线AB的斜率为 1 2 ， 求四边形APBQ面积的最大值； 当BA,运动时，满足于BPQAPQ， 试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由 . 【知识点】椭圆直线与椭圆位置关系H5 H8 【答案】【解析】（ 1） 22 1 1612 xy ； （2） max 1

26、2 3S；直线AB的斜率是定值 2 1 解析： (1 ）设椭圆C的方程为 22 22 1 xy ab ，则2 3b. 由 2221 , 2 c acb a ，得4a 椭圆 C的方程为 22 1 1612 xy . （2）解：设 1122 (,),(,)A x yB xy，直线AB的方程为txy 2 1 ， 代入 22 1 1612 xy ， 得012 22 ttxx 由 0，解得44t 由韦达定理得 12, 2 2121 txxtxx. 四边形APBQ的面积 2 21 34836 2 1 txxS当0t， max 12 3S. 解：当APQBPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为

27、 k 则PB的斜率为k，PA的直线方程为3(2)yk x由 22 3(2)(1) 1(2) 1612 yk x xy （1）代入（2）整理得 222 ( 34)8 ( 32)4 ( 32)4kxkk xk 2 1 43 )32(8 2 k kk x 同理PB的直线方程为)2(3xky，可得 222 43 )32(8 43 )32(8 2 k kk k kk x 2 121222 161248 , 3434 kk xxxx kk 2 14)(3)2(3)2( 21 21 21 21 21 21 xx kxxk xx xkxk xx yy kAB 所以AB的斜率为定值 2 1 . 【思路点拨】 求

28、椭圆方程可结合条件利用待定系数法解答；一般遇到直线与圆锥曲线位置关 系问题，通常联立方程，结合韦达定理寻求系数关系进行解答 【题文】 21. 已知函数)(xf的定义域 ，0 ，若 x xf y )( 在，0上为增函数，则称 )(xf为“一阶比增函数” ；若 2 )( x xf y在，0上为增函数，则称)(xf为“二阶比增函 数” 。把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为 1 A，把所有由“二阶比增函数”组成的集 合记为 2 A （1）已知函数hxhxxxf 23 2)(，若 1 )(Axf且 2 )(Axf ，求实数h的取值范围 （2）已知 2 )(Axf，且存在常数k，使得对任意的，0x，都

29、有kxf)(，求k的 最小值 【知识点】导数的应用函数的单调性B3 B12 【答案】【解析】（1）h0； （2）0 解析： （1）若 1 )(Axf且 2 )(Axf，即 2 2 fx g xxhxh x 在，0上为增 函 数 ， 所 以h 0 ； 而 2 2 fxh Fxxh xx 在，0上 不 为 增 函 数 ， 因 为 2 1 h Fx x ，则 h0, 综上得 h0； （2）先证明f(x) 0 对 x，0成立，假设存在 0 0,x，使得 0 0fx，记 0 2 0 0 fx m x ，因为 f（ x） A2，所以 f（x）为 “ 二阶比增函数 ” ，即 2 fx x 是增函数， 所以当

30、 xx00 时， 0 22 0 fxfx xx =m，即 f（x） mx 2；所以一定存在 x1x00，使得 f（x1） m 2 1 x k 成立，这与f（x） k 对任意的x（ 0，+）成立矛盾，所以f（x） 0 对任意的、 x（ 0， +）都成立；再证明f（x）=0 在（ 0，+）上无解，假设存在x20， 使得 f（ x2） =0； f（ x）为 “ 二阶比增函数 ” ，即 2 fx x 是增函数，一定存在x3x20， 使得 32 22 32 fxfx xx =0 成立，这与上述的证明结果矛盾所以f（x）=0 在（ 0，+）上无 解，综上所述，当f（x） A2时，对任意的x（ 0，+） ，

31、都有 f（x） 0 成立，所以当常 数 k0 时，使得对任意的x（ 0，+） ，都有 f（x） k；故 k 的最小值为0. 【思路点拨】 (1) 根据“一阶比增函数”及“二阶比增函数”的定义求出参数满足的条件， 再求交集；（ 2）利用反证法先证明f （ x）0 对任意的x（ 0，+）成立，再证明f （x） =0 在（ 0，+）上无解，从而可是当f （x） A2时，对任意的x（ 0，+） ，都有 f （x） 0 成立，故当常数k0 时，使得对任意的x（ 0，+） ，都有 f （x） k；从而求最小 值. 请考生在22.23 题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题计分. （ 10 分） 【题文

32、】 22. 己知抛物线 2 yxm的顶点 M到直线: 13 xt l yt (t为参数 ) 的距离为1 （1）求m； （2）若直线l与抛物线相交于BA,两点，与y轴交于N点，求 MANMBN SS的值 【知识点】参数方程N3 【答案】【解析】（ 1） 1 或 3； （2） 3 解析：（1） M(0， m),直线 l 的一般方程 310xy M到直线l的距离为 1 1 2 m ，解得1m或3； (2) 直线与抛物线相交于A、B两点，故1m 将直线 l 的一个标准参数方程为 1 2 3 1 2 xt yt 代入抛物线 2 1yx得 2 2 380tt， 故 12 2 3tt, MANMBN SS=

33、12 1 3 2 tt 【思路点拨】 由参数方程解决问题不方便时可化成普通方程，遇到直线上的点到直线经过的 顶点的距离问题时注意直线的参数的几何意义的运用. 【题文】 23. 设xaxxf2)(，其中0a （1）当2a时，求不等式3)(xxf的解集 （2）若),2(x时，恒有0)(xf，求a的取值范围 【知识点】不等式选讲N4 【答案】【解析】 (1) 5 , 2 ； (2) a2 解 析 ： (1)当a=2时 ， 由 不 等 式3)(xxf得 223xxx ， 得 22 32323 xx xxxx 或，解得 5 2 2 x或 x2，所以不等式的解集为 5 , 2 ； (2) 因 为 3, 2 , xa xa fxxax xa xa ， 显 然 函 数 在R 上 单 调 递 增 ， 所 以 当 ),2(x时，22fxfa，若),2(x时，恒有0)(xf，则 a2 0， 得 a2. 【思路点拨】 一般遇到含绝对值函数通常转化为分段函数进行解答，遇到不等式恒成立问题 通常转化为函数的最值问题进行解答.