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1、55 向心加速度 精讲精练 知识精讲 知识点 1 速度变化量 (1) 速度变化量是指运动的物体在一段时间内的末速度与初速度之差/ (2) 速度变化量是矢量 .因为速度是矢量 ,有大小 ,有方向，故末速度与初速度之差也 有大小和方向。 例如，小球向正东方向做直线运动， 初速度为 v1=5m/s,10s后末 速度变为 v2=10m/s,方向向西。取正东为正方向，则有: v=v2-v1=(-10m/s)-5m/s=-15m/s 即速度变化量的大小为15m/s, 它的方向是向西 . (3) 用矢量图表示速度变化量 作法: 从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和 v2, 从初速度 矢量 v1
2、的末端作一个矢量 v 至末速度矢量 v2的末端， 所作的矢量 v 就等 于速度的变化量 . 直线运动中的速度变化量 : 如果速度是增加的 , 它的变化量与初速度方向相同( 图甲); 如果速度是减小的， 其速度变化量就与初速度的方向相反( 图乙). 曲线运动中的速度变化量 : 物体沿曲线运动时 , 初末速度 v1和 v2不在同一直线上 , 速度的变化量 v 同样可 以用上述方法求得 . 例如，物体沿曲线由 A向 B运动, 在 A,B 两点的速度分别为 v1,v2(如图 1). 在此过程中速度的变化量如图2 所示. 可以这样理解 : 物体由 A运动到 B时, 速度获得一个增量 v, 因此 v1与v
3、 的矢 量和即为 v2. 我们知道，求力F1和 F2的合力 F 时, 可以以 F1和 F2为邻边作平行 四边形，则 F1和 F2 所夹的对角线就表示合力F.与次类似，以 v1和v 为邻边作平行四边形 , 两者 所夹的对角线就是v1和v 的矢量和 , 即 v2. 如图 3 所示. 因为 AB与 CD平行且 相等, 故可以把 v1, v,v2放在同一个三角形中， 就得到如图 2 所示的情形 . 这 种方法叫矢量的三角形法 . v1 v v2 甲 v1 v2 v 乙 A B v2 v1 图 1 v v2 v1 图 2 v v1 v2 A B C D 图 3 例 1 物体做匀速圆周运动的速度大小为v,
4、 则该物体从 A运动到 B转过 90角过 程中，速度变化的大小为 ,方向为 . 思路分析 做 A,B 两点的速度矢量 , 并将 B的速度矢量移到 A点，如图所示 , 则v 为速度变化，由 Rt得: v=v2 v 与 A点速度方向夹角 =135斜向上方 . 答案 v2速度变化的方向与 A点速度方向成 135角斜向上方 . 方法总结 速度矢量变化量 v=v末-v初, 用作图法求 v 的方法 : 从同一点作出初 , 末速度矢量 ( 不在同一点的 , 平移至同一点 ), 从 v 初矢量末端至 v末矢量末端作有向 线段v, v 即速度的变化量 . 变式训练 1 如图所示 , 设支点沿半径为r 的圆周做匀
5、速云周运动，在某时刻t 位 于 A点，速度为 vA, 经过很短时间 t 运动到 B点，速度为 vB, 做图求出速度改变量 v=vA-vB 答案 知识点 向心加速度 (1) 探究向心加速度的大小和方向 做匀速圆周运动的物体， 其速度的大小 ( 速率) 不变, 方向不断改变 , 所以加速度 a 没有与 v 同方向的分量，它只是反映了速度v 方向的不断改变 . 如图甲所示 , 设质点沿半径为r 的圆周做匀速圆周运动， 在某时刻 t 位于 A点， 速度为 vA, 经过很短的时间 t, 运动到 B 点，速度为 vB, 把速度矢量 vA和 vB的始端 移至一点，求出速度矢量的改变量v=vB - vA, 如
6、图乙所示 . A B vA v vB A A B O vA vB vA vB 比值v/ t 是质点在 t 时间内的平均加速度，方向与v 方向相同，当 t 足够短 , 或者说 t 趋近于零时 , v/ t 就表示出质点在 A点的瞬时加速度，在图 乙所示矢量三角形中， vA和 vB大小相等 , 当t 趋近于零时 , 也趋近于零 , v 的方向趋近于跟vA垂直而指向圆心，这就是说，做匀速圆周运动的质点在任一点 的瞬时加速度方向都沿半径指向圆心. 图乙中的矢量三角形与图甲的三角形OAB 是相似形 , 用 v 表示 vA和 vB的大小， 用l 表示弦 AB的长度，则有 : v/v = l/r 或v=lv
7、/r 用t 除上式得 v/ t=( l/ t) (v/r) 当t 趋近于零时 , v/ t 表示向心加速度 a的大小 , l/ t 表示线速度的 大小 v, 于是得到 a = v 2/r 这就是向心加速度的公式，再由v=r得 a=r 2=v (2) 向心加速度 定义: 做匀速圆周运动的物体 , 加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。 大小:an= v 2/r 或 a n=r 2 方向: 总是沿半径指向圆心，即方向始终于运动方向垂直. 注意: an方向时刻改变，不论大小是否变化，所以圆周运动是变加速运动. 相同， a1/r 向心加速度描述的是速度方向变化的快慢. 向心加速度 a=v 2/r
8、是在匀速圆周运动中推导出来的, 对非匀速圆周运动同样适 用, 只要将公式中的速度v 改为瞬时速度即可 . 利用 v=r, 向心加速度公式可写成a=v. 利用=2/T, 向心加速度公式可写成a=(2/T) 2R. 例 2 关于向心加速度，下面说法正确的是( ) A. 向心加速度是描述线速度变化的物理量 B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C. 向心加速度大小恒定，方向时刻改变 vB vA A B 甲 v vB vA 乙 D.向心加速度的大小也可用a=(vt-v0)/t来计算 思路分析加速度是描述速度变化快慢的物理量， 向心加速度是描述线速度方向快 慢的物理量 , 因此 A 错
9、,B 对. 只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定,C 错. 公式 a=(vt-v0)/t适用于匀变速运动 , 圆周运动是变速运动 ,D 错. 答案 B 方法总结 向心加速度是矢量 , 方向始终指向圆心 . 变式训练 物体做半径为 R的匀速圆周运动，它的向心加速度，角速度，线速度 和周期分别为 a, ,v 和 T.下列关系正确的是 ( ) A. = R a B 、aRv C 、a=v D 、 a R T2 答案ABCD 难点精析 1 圆周运动中的速度和加速度 例 3 关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是( ) A. 匀速圆周运动是匀速运动 B. 匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C. 物体做匀速圆周
10、运动是变速曲线运动 D. 做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态 思路分析 做匀速圆周运动的速度和加速度大小不变, 方向时刻在变 , 因此匀速圆 周运动不是匀速运动，也不是匀变速运动, 选项 A,B 错，做匀速圆周运动物体的合 外力即向心力 , 提供向心加速度，当然物体不是处于平衡状态，选项D错 答案 C 方法总结 速度和加速度均是矢量 , 矢量的变化不仅考虑大小的变化， 还要考虑方 向的变化，匀速圆周运动应该理解为匀速率圆周运动. 变式训练 3 如右图所示 , 圆轨道 AB是在竖直平面内的1/4 圆周，在 B点轨道的切 线是水平的 , 一质点自 A 点从静止开始下滑 , 不计摩擦和空气阻力 ,
11、则在质点刚要到 达 B点时的加速度大小为 ,滑过 B点时的加速度大小为 . 答案 2g g 难点精析 2 例 4 关于质点做匀速圆周运动的说法正确的是( ) A. 由 a= v 2/r 知 a 与 r 成反比 B. 由 a= r 2 知 a 与 r 成正比 A B C. 由=v/r 知与 r 成反比 D. 由=2n 知 与转速 n 成正比 思路分析 由 a= v 2/r, 只有在 v 一定时 ,a 才与 r 成反比，如 v 不一定，a 与 r 不一 定成反比 . 同理, 只有当 一定,a 才与 r 成正比；v 一定时 , 与 r 成正比 . 因 2是 定值, 故与 n 成正比 . 答案 D 方
12、法总结 公式 a= v 2/r = r 2=(2/T)2R中有三个量时 , 在某一个量不变时 , 剩 余的两个量的关系才能明确. 即在 v 一定时 a 与 r 成反比 , 在一定时 ,a 与 r 成正 比. 公式 =v/r 在 v 一定时, 与 r 成反比 . =2n 知, 与转速 n 成正比 . 变式训练 4 如图所示 ,A,B 两点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象， 其中 A为双曲线的一个分支 , 由图可知 ( ) A.A 物体运动的线速度大小不变 B.A 物体运动的角速度大小不变 C.B物体运动的角速度大小不变 D.B物体运动的线速度大小不变 答案 A C 难点精析 3 传动装
13、置中物理量的联系 例 5 如图为一皮带传动装置， 右轮的半径为 r,a 是它边缘上的一点， 左侧是一轮 轴, 大轮半径为 4r, 小轮半径为 2r,b 点在小轮上 , 到小轮中心距离为r,c点和 d 点 分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑, 则 ( ) A.a 点与 b 点线速度大小相等 B.a 点与 c 点 C.a 点与 d 点向心加速度大小相等 E. a,b,c,d四点中 ,加速度最小的是 b 点 思路分析 皮带轮传动的是线速度 ,所以 ac 两点线速度大小相等。所以A,B 错;a,d 两点加速度由 a=v2/r 有:aa=vc2/r,ad=(2vc2)2/4r,所以
14、aa=ad;在 b,c,d 中,由 a=2r,有 b 点 加速度最小，所以C,D 正确. 答案 CD 方法总结 (1) 在传动装置中要抓住两个基本关系:皮带(或齿轮 )带动的接触面上线 速度大小相等，同一转轴上的各部分角速度相等. O A B a r a r d 4r 2r c b r (2)在线速度相等的情况下，比较向心加速度的大小，用公式a=vc 2/r;在角速度相等 的情况下 ,用公式 a= 2r 则较为方便 . 变式训练 5如下图 ,一个大轮通过皮带拉着小轮转动， 皮带和两轮之间无滑动 ,大轮 的半径是小轮的2 倍,大轮上的一点 S 与转动轴的距离是半径的1/3,当大轮边上P 点的向心
15、加速度是12cm/s 2 时,大轮上的 S 点和小轮边缘上的Q 点的向心加速度多 大? 答案 as=4cm/s 2 ; aQ=24 cm/s 2 综合拓展 向心加速度大小 a=v 2/r= r 2=(2/T)2R;向心加速度方向时刻指向圆心 , 与速度方向垂直。圆周运动知识与其他力学知识相结合解决问题. 例 6 如图所示 , 定滑轮的半径r=2cm,绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物, 由静止 开始释放，测得重物以加速度a=2m/s 2 做匀加速运动在重物由静止下落距离为1m 的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度= rad/s,向心加速度 a= m/s 2 思路分析 重物下落 1m时, 瞬时速度为 vs
16、max/22 显然, 滑轮边缘上每一点的线速度也都是2m/s, 故滑轮转动的角速度 , 即滑轮边缘 上每一点的转动角速度为 : =v/r=(2/0.02)rad/s=100rad/s 向心加速度为 a= r 2=10020.02m/s2=200m/s2 答案 =100rad/s a=200m/s 2 方法总结 本题讨论的是变速运动问题， 重物落下的过程中滑轮运动的角速度，轮 上各点的线速度都在不断增加， 但在任何时刻角速度与线速度的关系(v=r), 向心 加速度与角速度 , 线速度的关系 (a= r 2=v2/r) 仍然成立 . 活学活练 基础达标 Q P S 1. 关于向心加速度的物理意义,
17、 下列说法正确的是 ( ) A. 它描述的是线速度方向变化的快慢 B. 它描述的是线速度大小变化的快慢 C. 它描述的是向心力变化的快慢 D. 它描述的是角速度变化的快慢 2. 由于地球的自转 , 下列关于向心加速度的说法正确的是( ) A. 在地球表面各处的向心加速度都指向地心 B. 在赤道和北极上的物体的角速度相同, 但赤道上物体的向心加速度大 C. 赤道和北极上物体的向心加速度一样大 D. 赤道和地球内部物体的向心加速度一样大 3. 做匀速圆周运动的两物体甲和乙, 它们的向心加速度分别为a1和 a2, 且 a1 a2, 下 列判断正确的是 ( ) A. 甲的线速度大与乙的线速度 B. 甲
18、的角速度比乙的角速度小 C. 甲的轨道半径比乙的轨道半径小 D. 甲的速度方向比乙的速度方向变化得快 4.“月球勘探号” 空间探测器绕月球飞行可以看作为匀速圆周运动。关于该探测器 的运动，下列说法正确的是（） A匀速运动 B匀变速曲线运动 C变加速曲线运动 D加速度大小不变的运动 5如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，图中有A、B、C三点，这三点所在 处半径 rArB=rC则这三点的向心加速度aA aB aC的关系是 ( ) A. aA= aB =aC B. a C aA aB C. aC aA 6. 小球 m用长为 L 的悬线固定在 O点，在 O点正下放 L/2 处有一光滑钉 C,如图所
19、示, 今把小球拉到悬线呈水平后无初速度地释放，当悬线呈竖直状态且与钉相碰时 ( ) A. 小球的速度突然增大 B. 小球的角速度突然增大 C. 小球的向心加速度突然增大 O A B C L O C m D. 小球的速度突然变小 7. 做匀速圆周运动的物体， 其角速度为 6rad/s, 线速度为 3m/s, 则在 0.1s 内，该物 体通过的圆弧长度为 m,物体连接圆心的半径转过的角度为 rad,运动的轨 道半径为 m. 8. 质量相等的 A,B 两质点分别做匀速圆周运动， 若在相等的时间内通过的弧长之比 为 2:3, 而转过角度之比为3:2, 则 A,B 两质点周期之比为TA:TB= ,向心加
20、速度 之比 aA:aB = . 9. 一列火车以 72km/h 的速率在半径是 400m的弧形轨道上飞快的行驶 , 此时列车的 向心加速度是 m/s. 10. 如图所示 , 长度 L=0.5m的轻杆 , 一端上固定着质量为m=1.0kg的小球 , 另一端固 定在转动轴 O上，小球绕轴在水平面上匀速转动，杆子每 0.1s 转过 30o角, 试求小 球运动的向心加速度 . 11. 一物体以 4m/s 的线速度做匀速圆周运动, 转动周期为 2s, 则物体在运动过程的 任一时刻，速度变化率的大小为多少? 基础达标答案 1. A 2. B 3. D 4. CD 5. C 6. BC 7. 0.3;0.6
21、;0.5 8. 2:3 ; 1:1 9. 1 10. 25 2 m/s 2/18 11.4 m/s 2 能力提升 1. 下列说法中，正确的是 ( ) A. 匀速圆周运动是一种匀速运动 B. 匀速圆周运动是一种匀变速运动 C. 匀速圆周运动是一种变加速运动 D. 物体做圆周运动时其向心力垂直于速度方向，不改变线速度的大小 2. 如图所示为质点 P,Q做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，表示质点 P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图象可知( ) A. 质点 P的线速度大小不变 B. 质点 P的角速度大小不变 C. 质点 Q的角速度随半径变化 D. 质点 Q的线速度大小
22、不变 L A O P Q r a O 3. 如图所示的皮带传动装置 , 主动轮 O1上两轮的半径分别是3r 和 r, 从动轮 O2的半 径为 2r,A,B,C 分别为轮边缘上的三点 , 设皮带不打滑 , 则: (1) A,B,C三点的角速度之比 A: B: C= ; (2)A,B,C 三点的线速度大小之比vA:vB:vC= ; (3)A,B,C 三点的向心加速度大小之比aA:aB:aC= ; 4. 做匀速圆周运动的物体，线速度为10m/s, 物体从 A到 B速度增量为 10m/s, 已知 A,B 间弧长是 3.14m,则 AB弧长所对的圆心角为 ,圆半径为 ,向心加速度 为 . 5. 一汽车以 30m/s 的速率沿半径为 60m的圆形跑道行驶 , 汽车在运动中向心加速度 为多少 ? 能力提升答案 1.CD 2.A 3.(1) 2:2:1 (2) 3:1:1 (3) 6:2:1 4./3;3m;33.3m/s 2 5. 15m/s2 A B C O1 O2