2017年高考数学全国卷1理科数学试题全部解析.pdf

《2017年高考数学全国卷1理科数学试题全部解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年高考数学全国卷1理科数学试题全部解析.pdf（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、- 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷） 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 x 1. 已知集合A x x 1 ，B x 3 1 ，则（） A A B x x 0 BA B R C A B x x 1 DA

2、B 【答案】A x 【解析】A x x 1 ， B x 3 1 x x 0 A B x x 0 ， A B x x 1 ， 选 A 2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的 概率是（） A 1 4 B 8 C 1 2 D 4 【答案】B 【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1 则正方形的面积为2 2 4，圆的面积为 2 1 ，图中黑色部分的概率为 2 则此点取自黑色部分的概率为2 4 8 故选 B 1 - 3. 设有下面四个命题（） 1 p ：若复数z 满足 1 z R

3、，则z R； p ：若复数z 满足z 2 R，则z R； 2 p ：若复数 3 z ，z 满足z z R ，则 1 2 1 2 z z ； 1 2 p ：若复数z R，则 z R 4 A p1 ，p3 B p ，p C 1 4 p ，p D 2 3 p ， p 2 4 【答案】B 1 1 a bi 【解析】p1 :设 z a bi ，则2 2 z a bi a b R ，得到 b 0 ，所以z R.故P正确； 1 p2 : 若z 2 1 ，满足zR ，而z i ，不满足 zR ，故p2 不正确； 2 2 p3 : 若z 1， 1 z 2，则z1z2 2 ，满足z1z2 R，而它们实部不相等，不

4、是共轭复 2 数，故p3 不正确； p4 : 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p正确； 4 4.记Sn 为等差数列 an 的前n 项和，若a4 a5 24，S6 48 ，则an 的公差为（） A 1 B 2 C 4 D 8 【答案】C 【解析】a4 a5 a1 3d a1 4d 24 6 5 S 6a d 48 6 1 2 联立求得 2a 7d 24 1 6a 15d 48 1 得21 15 d 24 3 6d 24 d 4 选C 5. 函数f x 在，单调递减，且为奇函数若 f 1 1，则满足1 f x 2 1 的 x 的取值范围是（） A2，2 B1，1 C 0 ，4

5、 D 1，3 【答案】D 【解析】因为f x 为奇函数，所以f 1 f 1 1 ， 于是1 f x 2 1 等价于f 1 f x 2 f 1 | 又 f x 在，单调递减 * - 1 x 2 1 1 x 3 故选D 2 - 6. 1 1 1 x 2 x 6 展开式中 2 x 的系数为 A 15 B 20 C 30 D 35 【答案】C. 【解析】 1 1 6 6 6 1+ 1 x 1 1 x 1 x 2 2 x x 对 6 1 x 的 2 x 项系数为 2 6 5 C 15 6 2 对 1 2 x 1 x 6 的 2 x 项系数为 4 C =15 ， 6 2 x 的系数为15 15 30 故选

6、 C 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为2 ，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这 些梯形的面积之和为 A 10 B12 C14 D 16 【答案】B 【解析】由三视图可画出立体图 该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 S 梯 2 4 2 2 6 S 全梯 6 2 12 故选 B n n 8.右面程序框图是为了求出满足3 2 1000 的最小偶数n ，那么在和两个 空白框中，可以分别填入 * - 3 - A A 1000 和 n n 1 B A 1000 和 n n 2 C A1000 和 n n 1 D A1

7、000 和 n n 2 【答案】D 【答案】因为要求A 大于 1000 时输出，且框图中在“ 否” 时输出 “” 中不能输入 A1000 排除 A、B 又要求n为偶数，且n 初始值为0， “” 中n 依次加2 可保证其为偶 故选D 2 9.已知曲线C1 : y cos x ，2 C : y sin 2x ，则下面结论正确的是（） 3 A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2 6 B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲线C 2 C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来

8、的 个单位长度，得到曲线C2 1 2 倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2 12 【答案】D 【解析】 C y x ，2 : sin 2 1 : cos C y x 2 3 首先曲线C、 1 C 统一为一三角函数名，可将 2 C1 : y cos x用诱导公式处 理 y cos x cos x sin x 横坐标变换 需将1 变成2 ， 2 2 2 * - 4 - 即 1 C 上各坐短它原 点横标缩来 1 y sin x y sin 2x sin 2 x 2 2 2 4 2 y

9、sin 2x sin 2 x 3 3 注意的系数，在右平移需将2 提到括号外面，这 时 x 平移至 4 x ， 3 根据“ 左加右减 ” 原则， “ x ” 到“ 4 x ” 需加上 3 ，即再向左平移 12 12 10.已知F 为抛物线C ： 2 y x 的交点，过F作两条互相垂直l1 ，l2 ，直线l1 与 C 交于A、 4 B 两点，直线l2 与 C 交于D ，E 两点，AB DE 的最小值为（） A 16 B14 C12 D 10 【答案】A 【解析】 设AB 倾斜角 为作AK1 垂直准线，AK2 垂直x 轴 AF cos GF AK （几何关系） 1 易知AK AF 1 （抛物线特性

10、） P P GP P 2 2 AF cos P AF 同理 P AF ， 1 cos BF P 1 cos 2P 2P AB 2 2 1 cos sin 又DE 与AB垂直，即DE 的倾斜角 为 2 DE 2 sin 2P 2P 2 cos 2 而 2 y x ，即P 2 4 1 1 AB DE 2P 2 2 4 2 2 sin cos 2 2 sin cos 4 2 2 sin cos 1 4 4 2 sin 2 * - sin cos 16 2 sin 2 16 ，当 取等号 4 即 AB DE 最小值为16 ，故选A 5 - 11.设x ，y ， z 为正数，且2 3 5 x y z ，

11、则（） A 2x 3y 5z B 5z 2x 3y C 3y 5z 2x D 3y 2x 5z 【答案】D 【答案】取对数：xln 2 y ln3 ln5 . x ln3 3 y ln 2 2 2x 3y x ln2 zln5 则 x z ln5 5 ln 2 2 2x 5z 3y 2x 5z ，故选D 12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴 趣， 他们推出了“ 解数学题获取软件激活码”的活动， 这款软件的激活码为下面数学问题的 答案： 已知数列1, 1, 2 , 1, 2 , 4 , 1, 2 , 4 , 8 , 1, 2 , 4 , 8 , 16 ，

12、?，其中第一项是2 0 ， 接下来的两项是20 ，2，在接下来的三项式2， 1 6 2 ， 1 2 ，依次类推，求满足如下条件 2 的最小整数N ： N 100 且该数列的前N 项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是 （） A 440 B 330 C 220 D 110 【答案】A 【解析】设首项为第1 组，接下来两项为第2 组，再接下来三项为第3 组，以此类推 n 1 n 设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和 为 2 由题，N 100 ，令 n 1 n 2 100 n 14 且 * n N ，即 N 出现在第13 组之后 第n 组的和为 n 1 2 1 2 n 2 1 n 组总共的和 为

13、 n 2 1 2 1 2 n n 2 2 n 若要使前N 项和为2 的整数幂，则 n 1 n k 应与2n 互为相反 N 项的和21 2 数 即 k n k N ，n * 2 1 2 14 k log n 3 2 n 29，k 5 则 N 29 1 29 2 5 440 故选A 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.已知向量a ， b 的夹角 为60 ， a 2 ， b 1 ，则a 2b _ * - 6 - 【答案】2 3 【解析】 2 2 2 a 2b (a 2b) a 2 a 2b cos60 2 b 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 12 a 2

14、b 12 2 3 x 2 y 1 14.设x ，y 满足约束条件 2x y 1 xy 0 ，则 z 3x 2y 的最小值为_ 【答案】5 x 2 y 1 2x y 1 不等式组表示的平面区域如图所示 x y 0 y A B x 1 C x+2 y-1=0 2x+y+1=0 由 z 3x 2 y 得 3 z y x ， 2 2 求 z 的最小值，即求直线 3 z y x 的纵截距的最大值 2 2 当直线 3 z y x 过图中点A 时，纵截距最大 2 2 由 2x y 1 x 2 y 1 解得A 点坐标为( 1,1)，此时z 3 ( 1) 2 1 5 15.已知双曲线C : 2 2 x y 2

15、2 a b ， （ a 0 ，b 0 ）的右顶点为A，以A为圆心，b 为半径作圆 A， 圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M ， N 两点，若MAN 60 ，则 C 的离心率为 _ 2 3 【答案】 3 【解析】如图， * - 7 - OA a ，AN AM b MAN 60 ，3 AP b， 2 2 2 2 3 2 OP OA PA a b 4 tan AP OP 3 2 b 3 2 2 a b 4 又 tan b a ， 3 b 2 2 2 3 a b 4 b a ，解得 2 3 2 a b e 2 b 1 1 2 a 1 2 3 3 3 16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，

16、该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ， D 、E 、F 为元 O 上的点，DBC ， ECA， FAB 分别是一BC ， CA ，AB为底边 的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB为折痕折起 DBC ， ECA， FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体 积（单位： 3 cm ）的最大值为_ 【答案】4 15 【解析】由题，连接OD ，交 BC 与点 G ，由题，OD BC 3 OG BC ，即 OG 的长度与BC 的长度或成正比 6 设 OG x ，则BC 2 3x， DG 5 x 三棱锥的高h DG 2 OG 2 25 10

17、x x 2 x 25 10x 1 2 S2 3 3x 3 3x ABC 2 * - 则 1 2 V S h 3x 25 10x ABC 3 4 5 = 3 25x 10x 8 - 令 4 5 f x 25x 10x ， 5 x (0, ) ， 2 3 4 f x 100 x 50x 令 f x 0 ，即 x 4 2x 3 0 ， x 2 则f x f 2 80 则V 3 80 45 体积最大 值为4 15 cm 3 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必

18、考题：共60 分。 17. ABC 的内角A，B ， C 的对边分别为a， b ，c ，已知ABC 的面积为 （ 1）求 sin Bsin C ； 2 a 3sin A （ 2）若 6cos B cos C 1 ， a 3 ，求ABC 的周长 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. （1）ABC 面积 S 2 a 3sinA .且 1 S bc sin A 2 2 1 a 3sin A 2 bc sin A 2 3 2 a bc sin A 2 由正弦定理得 2 3 2 sin A sin Bsin C sin A ， 2 由 sin A 0 得 2 s

19、in B sin C . 3 （2）由（ 1）得 2 sin Bsin C ， 3 cos B cosC 1 6 A B C cos A cos B C cos B C sin BsinC cos B cosC 1 2 又A 0， A 60 ， sin 3 A ， 2 cos A 1 2 由余弦定理得 2 2 2 a b c bc 9 a 由正弦定理得b sin B sin A a ， c sin C sin A 9 - 2 a bc 2 sin Bsin C8 sin A 由 得 b c 33 a b c 3 33，即 ABC 周长为3 33 18.（ 12 分）如图，在四棱锥P ABCD

20、中，AB CD 中，且BAP CDP 90 （ 1）证明：平面PAB 平面PAD ； （ 2）若 PA PD AB DC ，APD 90 ，求二面角A PB C 的余弦值 【解析】（1）证明： BAP CDP 90 PA AB ， PD CD 又AB CD ，PD AB 又PD PA P ，PD 、PA 平面PAD AB 平面PAD ，又AB 平面PAB 平面PAB 平面PAD （2）取AD 中点 O ， BC 中点E ，连接PO ， OE AB CD 四边形ABCD 为平行四边形 OE AB 由（1）知，AB 平面PAD OE 平面PAD ，又 PO 、AD 平面PAD OE PO ， OE

21、 AD 又PA PD ， PO AD PO 、 OE 、AD 两两垂直 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz 设PA 2 ， D 2 ， 0 ， 0 、 B 2 ， 2 ， 0 、 P 0， 0， 2 、 C 2 ， 2， 0 ， PD 2 ， 0 ，2 、 PB 2 ， 2，2 、 BC 2 2 ， 0， 0 设n x , y , z 为平面PBC 的法向量 n PB 0 2x 2 y2 z0 由，得 n BC 0 2 2x 0 令 y 1 ，则 z 2 ， x 0 ，可得平面PBC 的一个法向量n 0 ,1 , 2 APD 90 ，PD PA 又知AB 平面PAD ，

22、PD 平面PAD PD AB ，又PA AB A PD 平面PAB 10 - 即PD 是平面PAB 的一个法向量，PD 2 , 0 , 2 cos PD , n PD n PD n 2 3 2 3 3 由图知二面角A PB C 为钝角，所以它的余弦 值 为 3 3 19.（ 12 分） 为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16 个 零件，并测量其尺寸（单位：cm ）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状 态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2 N ， （ 1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在3 ，3 之外的零件数，求P X 1 及

23、X 的数学期望； （ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3 ，3 之外的零件，就认为这 条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （ I）试说明上述监控生产过程方法的合 理性： （ II）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 9.95 1 0. 1 29.96 9. 9 610.01 9.92 9. 9 8 1 0. 0 4 10.26 9.91 1 0. 1 310.02 9.22 10.04 10.05 9. 9 5 16 经计算得 x x 9.97， i i 1 16 16 1 1 2 2 2 s x x x 16x 0.212 ，其中xi

24、为 i i 16 16 i 1 i 1 抽取的第i 个零件的尺寸，i 1，2，16 用样本平均数x 作为的估计值?，用样本标准 差s作为的估计值? ，利用估计 值判断是否需对当天的生产过程进 行检查，剔除? 3 ? ， ? 3 ? 之外的数据，用剩下 的数据估计和（精确到0.01） 附：若随机变量Z 服从正态分布 2 N ，,则P3 Z 3 0.997 4 16 0.997 4 0.9592 ，0.008 0.09 【解析】（1） 由题可知尺寸落在3 ，3 之内的概率为0.9974，落在 3 ，3 之外的概率为0.0026 P X 0 0 16 0 C 1 0.9974 0.9974 0.95

25、92 16 P X 1 1 P X 0 1 0.9592 0.0408 由题可知X B 16，0.0026 E X 16 0.0026 0.0416 （2）（ i ）尺寸落在3 ，3 之外的概率为0.0026， 由正态分布知尺寸落在3 ，3 之外为小概率事件， 因此上述监控生产过程的方法合 理 （ii ） 3 9.97 3 0.212 9.334 3 9.97 3 0.212 10.606 3 ，3 9.334 ，10.606 * - 11 - 20.9.334 ，10.606 ，需对当天的生产过程检查 因此剔除9.22 剔除数据之后： 9.96 16 9.22 15 10.27 2 2 2

26、2 2 2 9.95 10.02 10.12 10.02 9.96 10.02 9.96 10.02 10.01 10.02 2 2 2 2 2 9.92 10.02 9.98 10.02 10.04 10.02 10.26 10.02 9.91 10.02 2 2 2 2 2 0.998 10.02 10.02 10.02 10.04 10.02 10.05 10.02 9.95 10.02 1 15 0.8 0.8 0.09 20. （ 12 分） 2 2 x y 已知椭圆C ：2 2 1 a b ab 0 ，四点 3 P1 1，1 ，P2 0，1 ，P3 1，P4 1， 2 3 2 中恰

27、有三点在椭圆C 上 （ 1）求 C 的方程； （ 2）设直线 l 不经过P2 点且与C 相交于A、B 两点，若直线P2 A 与直线P 2 B 的斜率的 和为1，证明：l 过定点 【解析】（1）根据椭圆对称性 ，必过P3 、P 4 又 P 横坐标 为1，椭圆必 不过 4 P ，所以过 1 P ，P ，P 三点 2 3 4 3 P 0，1 ，P 1，代入椭圆方程得将 2 3 2 1 2 b 1 3 ，解得a 2 4 ，2 1 b 1 4 1 2 2 a b 椭圆 C 的方程为： 2 x 4 2 1 y （2） 当斜率不存在时，设: l x m， A m ，y ，B m，y A A k k P A

28、P B 2 2 y 1 y 1 2 A A m m m 1 得m 2 ，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故 不满足 当斜率存在时，设ly kx b b 1 A x ，y ，B x ，y 1 1 2 2 y kx b 联立 2 4 2 4 0 x y ，整理得 2 2 2 1 4k x 8kbx 4b 4 0 8kb x x 1 2 2 1 4k ， 2 4b 4 x x 1 2 2 1 4k k k 则 y 1 y 1 1 2 x kx b x x kx b x 2 1 2 1 2 1 * - P A P B 2 2 x x 1 2 x x 1 2 12 - 2 2 8kb 8k 8kb

29、 8kb 2 1 4k 2 4b 4 2 1 4k 8k b 1 4 b 1 b 1 1，又b 1 b 2k 1，此时64k ，存在k 使得0成立 直线 l 的方程为y kx 2k 1 当 x 2 时， y 1 所以l 过定点2 ， 1 21.（ 12 分） 已知函数 2 x x f x ae a 2 e x （ 1）讨论f x 的单调性； （ 2）若f x 有两个零点，求a的取值范围 【解析】（1）由于 2 x x f x ae a 2 e x 故 2x x x x f x 2ae a 2 e 1 ae 1 2e 1 x x 当a0 时，e 1 0 a ， 2e 1 0 从而f x 0 恒成

30、立 f x 在R上单调递减 当a0 时，令f x 0，从而aex 1 0 ，得x ln a x ，ln a ln a ln a ， fx 0 f x 单调减极小值单调增 综上，当a 0 时，f (x) 在R上单调递减； 当 a 0 时，f (x) 在 ( , ln a) 上单调递减，在( ln a, ) 上单调递增 （2）由（ 1）知， 当a 0时，f x 在R上单调减，故f x 在R上至多一个零点，不满足条件 当a 0 时， 1 f f ln a 1 ln a min a 令 1 g a 1 ln a a 令 1 g a 1 ln a a 0 a 1 1 g a 0 ，则 2 a a 从而

31、g a 在0，上单调 增，而 g 1 0 故当0 a 1时， g a 0 当a 1时 g a 0 当a 1时 g a 0 1 若a 1，则f min 1 ln a g a 0 a ，故f x 0 恒成立，从而f x 无零点， 不满足条件 1 若a 1，则 min f 1 ln a 0 a 条件 ，故 f x 0 仅有一个实根x lna 0 ，不满足 * - 1 若0 a 1，则 fm i n1 ln a 0 a a a 2 ，注意到ln a 0 2 f 1 1 0 e e e 13 - 故 f x 在1，ln a 上有一个实根，而又 3 1 ln 1 ln ln a a a 且 3 3 3 l

32、n 1 ln 1 3 a a f ln( 1) e a e a 2 ln 1 a a 3 3 3 3 1 3 a a 2 ln 1 1 ln 1 0 a a a a 故 f x 在 3 ln a ，ln 1 上有一个实根 a 又 f x 在，ln a 上单调减，在ln a ，单调增，故f x 在R上至多两 个实根 又 f x 在1，ln a 及 3 ，上均至少有一个实数根，故f x 在R ln a ln 1 a 上恰有两个实根 综上，0 a 1 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.选修4-4：坐标系与参考方程 在直角坐标系

33、xOy 中，曲线C 的参数方程为 x y 3cos sin ， ， （为参数），直线l 的参数 方程为 xa 4t ， ， y 1 t （ t 为参数） （ 1）若a 1，求C 与l 的交点坐标； （ 2）若C 上的点到l 距离的最大值为17 ，求a 【解析】（1）a 1时，直线l 的方程为x 4y 3 0 曲线C 的标准方程是 2 x 9 2 1 y ， x 4 y 3 0 2 x 9 2 y 1，解得： x y 3 0 或 x y 21 25 24 25 联立方程， 则C 与l 交点坐标是3，0 和 21 24 ， 25 25 （2）直线l 一般式方程是x 4y 4 a 0 设曲线C 上点

34、 p 3cos ，sin * - 则P 到l 距离 5sin 4 a 3cos 4sin 4 a d ，其中 17 17 tan 3 4 依题意得：d 17 ，解得a 16或a 8 max 14 - 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数 2 4 1 1 f x x ax ，g x x x （ 1）当a 1时，求不等式f x g x 的解集； （ 2）若不等式f x g x 的解集包含1，1 ，求a 的取值范围 【解析】（1）当a 1时， 2 4 f x x x ，是开口向下，对称轴 1 x 的二次函数 2 2 1 x ，x g x x 1 x 1 2，1 x 1 ， 2x ，x 1 当 x (1, ) 时，令x2 x 4 2 x，解得 x 17 1 2 g x 在 1，上单调递增 ，f x 在1，上单调递减 17 1 此时f x g x 解集为1， 2 当 x 1， 1 时，g x 2 ， f x f 1 2 当 x ， 1 时， g x 单调递减 ，f x 单调递增 ，且g1 f 1 2 综上所述，f x g x 解集 17 1 1， 2 （2）依题意得：x 2 ax 4 2 在1，1 恒成立 即 x 2 ax 2 0 在1，1 恒成立 2 1 a 1 2 0 则只须 2 1 a 1 2 0 ，解出：1 a 1 故a 取值范围 是1，1 * - 15