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1、单元课题：函数与方程 一、 课标要求与教材分析 这一节，是用函数来研究方程，具体研究的是方程的实数解，先是判断方程实数解的 存在性，然后是求方程的近似解。方程f(x)=0 的实数解就是函数f(x) 的零点，解方程的过 程（求方程的近似解）就是细化函数连续区间的过程。这样容易看出函数对方程的统领作 用，使学生感受函数的核心地位。学生将通过本节学习，结合实际问题，感受运用函数概 念简历模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理 解和处理现实生活中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函 数与方程的有机联系，并为今后进一步学习函数与不等式等知识奠定了
2、坚实的基础 二、 学情分析 高一学生在函数的学习中，常表现出不适， 主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任具 体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位 例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图 象函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节内容必须 承载的任务 通过本节学习要让学生意识到“数学可以解决实际问题”并且也认识到“自己的数学 知识还有待进一步提高”。 三、教学目标 1 知识与技能目标： （1）正确认识函数与方程的关系，求方程 f(x)=0 的实数解就是函数f(x) 的零点， 体会 函数知识的核心作用。 （2）能够利
3、用函数的性质判定方程解得存在性 （3）能够用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法的意义。 2 过程与方法目标： 在近似计算的学习中感受近似，逼近和算法等数学思想的含义和作用。 3 情感、态度和价值观目标： 通过本节的学习，进一步拓展学生的视野，使他们体会数学不同内容之间是存在一定 联系的。 课时课题：利用函数性质判定方程解的存在 一、教学目标： （1）知识与技能目标 了解函数零点的概念；理解函数零点与方程的根之间的关系；掌握判断函数零点 存在的方法； （2）过程与方法目标 培养学生独立思考, 自主观察和探究的能力；树立数形结合，函数与方程相结合 的思想； （3）情感态度与价值观目标 培养
4、学生用联系的观点看待问题；感悟由具体到抽象、由特殊到一般地研究方法， 形成严谨的科学态度。 二、教学重点：函数零点与方程根之间的联系及零点存在的判定定理 三、教学难点：探究发现零点存在条件，准确理解零点存在性定理 四、教学方法与手段：实例引入、探究新知、实践探索、总结提炼、总结、反思。 五、使用教材的构想：倡导积极主动，勇于探索的学习方式，运用数形结合、教师引导 学生探索相结合的教学方法，学生亲身经历、感受来获取知识，培养学生观察、发现、 抽象与概括、运算求解等思维过程。 六、教学流程 （一）设置情景，导入新课 1、实例引入 解方程：（1） 2 -x=4； （2）2-x=x 设计意图： 通过纯
5、粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求知的热情 2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系 填空： 方程x 2-2x-3=0 x 2-2x+1=0 x 2-2x+3=0 根x1=-1，x2=3 x1=x2=1 无实数根 函数y=x2-2x-3 y=x 2-2x+1 y=x 2-2x+3 图象 图象与 x 轴 的交点 两个交点： (-1,0) ，(3,0) 一个交点： (1,0) 没有交点 问题 1：从该表你可以得出什么结论？ 4 2 -2 -4 3 -1 1 2 O x y 4 2 -2 -4 3 -1 1 2 O x y 4 2 -2 3 -1 1 2 O x y 归纳：
6、判别式 0 0 0 方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根 两个不相等的实 数根 x1、x2 有两个相等的 实数根 x1 = x2 没有实数根 函数 y=ax 2+bx+c (a0)的图象 函数的图象与x 轴 的交点 两个交点： (x1,0)， (x2,0) 一个交点： (x1,0) 无交点 问题 2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？ 学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标 设计意图：通过回顾二次函数图象与x 轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数的图 像及相应方程的根的关系作准备 3、一般函数的图象与方程根的关系 问题 3：其他的函数
7、与方程之间也有类似的关系吗？请举例！ 师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在课件上展示类似如下函数的 图象： y2x4，y2 x8，yln(x2)，y(x 1)(x2)(x3)比较函数图象与 x 轴的 交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论： 方程 f(x)0 有几个根， yf(x)的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横 坐标 设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为得到零点概念做好铺垫 （二）引导探究，获得新知 1、函数零点 概念：对于函数yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数yf(x)的零点 即兴练习：函数f(x)=x(x216)的零点为（
8、） A(0，0)，(4，0) B0，4 C( 4，0)，(0，0)，(4，0) D 4，0，4 设计意图：及时矫正“ 零点是交点 ” 这一误解 说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值 求函数零点就是求方程f(x)0 的根 2、归纳函数的零点与方程根的关系 问题 4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？ （1）联系：数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根； 存在性一致：方程f(x)0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与x 轴有交点 ? 函数 yf(x)有零点 （2）区别：零点是对于函数而言，根是对于方程而言 以上关系说明： 函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化
9、为方程问题，同样， O x y x1 x2 O y x x1 O x y 有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基 础 练习：求下列函数的零点： 22 (1)( )34(2)( )lg(44)f xxxf xxx 设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根） 3、零点存在性定理的探索 问题 5：在怎样的条件下，函数yf(x) 在区间 a， b上一定有零点？ 探究： （1）观察二次函数f(x) x2 2x3 的图象： 在区间 -2， 1上有零点 _； f(-2)=_ ，f(1)=_，f(-2)f(1)_0（ “ ” 或“ ” ） 在区间 (2，4)上有零点 _；f
10、(2) f(4)_0（“ ” 或“ ” ） （2）观察函数的图象： 在区间 (a，b)上_(有/无)零点； f(a) f(b) _ 0（“ ” 或“ ” ） 在区间 (b，c)上_(有 /无)零点； f(b) f(c) _ 0（ “ ” 或“ ” ） 在区间 (c，d)上_(有 /无)零点； f(c) f(d) _ 0（ “ ” 或“ ” ） 设计意图：通过归纳得出零点存在性定理 4、零点存在性定理： 如果函数y f(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0， 那么，函数yf(x)在区间 (a，b)内有零点即存在c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是
11、 方程 f(x)0 的根 即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？ （1）f(x)=log2x，x 1 2 ，2；（2）f(x)=ex-1+4x-4，x0，1 设计意图：通过简单的练习适应定理的使用 （三）例题剖析，巩固新知 例 1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例： （1）已知函数y=f(x)在区间 a，b上连续，且f(a) f(b)0，则 f(x)在区间 (a，b)内有且 仅有一个零点（） （2）已知函数y=f(x)在区间 a，b上连续，且f(a) f(b) 0 ，则 f(x)在区间 (a，b)内没有 零点（） （3）已知函数y=f(x)在区间 a，b满足 f(a) f(b)0，则 f(x)在区间 (a，b)内存在零点 （） 请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如： 归纳：定理不能确定零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足 a b O x y a b O x y a b O x y a b c x y O d 2 -2 -4 1 O 1 -2 2 3 4 -3 -1 -1 y x