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1、三角函数、向量单元测试题（文科） 北京 13 中学提供 一、选择题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 . 在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项. 1cos300（） （ A） 3 2 （ B）- 1 2 （C） 1 2 （D） 3 2 2已知 3 sin 5 ，为第二象限角，且tan()1，则tan的值是（） （ A）7（B）7（C） 3 4 （D） 3 4 3如果把函数 4 cos() 3 yx的图象向右平移个单位长度所得的图象关于y轴对称， 则的最小正值是（） （ A） 6 （B） 3 （C） 2 3 （D） 4 3 4在ABC中，a15,b10,A=60，则co
2、sB=（） （ A） 22 3 （B） 2 2 3 （C） 6 3 （D） 6 3 5已知向量a(1,2)，b( 2, 4)，c5，若(ab )c 5 2 ，则a与c的夹角为 （） （ A）30 （B）60（C）120（D）150 6 在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（） （ A） 2 |ACAC AB（B） 2 |BCBA BC （ C） 2 |ABAC CD （D） 2 2 ()() | | AC ABBA BC CD AB 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 把答案填在题中横线上. 7.已知 3 cos() 5 ，是第四象限角，则sin(
3、2 )。 8.把sinyx的图象向左平移 3 个单位长度， 得到函数的图象； 再把所得图 象上的所有点的横坐标伸长到原来的2 倍， 而纵坐标保持不变， 得到函数的图象。 9.若对于n个向量 1 a， 2 a， n a存在n个不全为0 的实数 12 , n k kk，使得 1 k 1 a 2 k 2 a n k n a0成立，则称向量 1 a， 2 a， n a为线性相关，依次规定，能 说明 1 a(1,0)， 2 a(1, 1)， 3 a(2,2)线性相关的实数 123 ,k kk依次可取。 （写出一组数值即可，不必考虑所有情况） 10. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起， 若ADxA
4、ByAC， 则x，y 。 三、解答题：本大题共4 小题，共50 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 11 （本小题满分12 分） 已知tan2 2 ，求： （1）tan() 4 的值； （2） 6sincos 3sin2cos 的值。 12 （本小题满分12 分） 已知函数( )2sin(sincos )1f xxxx。 （1）求函数( )f x的最小正周期和最大值； （2）在平面直角坐标系中，画出函数( )yf x在区间, 22 上的图象。 13 （本小题满分13 分） 已知向量a 33 (cos,sin) 22 xx，b(cos,sin) 22 xx ，且, 34 x。 （1）求
5、ab及|ab |； （2）若( )f xab|ab |，求( )f x的最大值和最小值。 A B C D E 60 o 45o 14 （本小题满分13 分） 设函数( )f x的导函数( )( )fxg x，( )g x的导函数( )gx在 , a b上的值为负的充要条件 是( )yf x是凸函数（即在 , a b上函数( )yfx的图象均在其任一点切线的下方）。 （1）试求函数( )cosf xxx的凸区间； （2）在区间D上的凸函数有如下性质：对 12 , n x xxD。恒有 12 ()()() n f xf xfx n 12 () n xxx f n ， 其中等号当且仅当 12n xx
6、x时 成立。试证明：在ABC中， 3 3 sinsinsin 2 ABC。 参考答案： 1C 2B 3B 4D 5C 6C 7 4 5 8sin() 3 yx； 1 sin() 23 yx94,2,110 3 1 2 , 3 2 11解： （1）tan2 2 ， 2 2tan 2 24 2 tan 143 1tan 2 ， tan() 4 4 1tantan tan11 34 4 1tan7 1 tantan1 43 。 （2）由（ 1）得， 4 tan 3 ， 4 6()1 6sincos6tan17 3 4 3sin2cos3tan26 3 ()2 3 。 12解：（1） 2 ( )2si
7、n2sincos1sin2cos2f xxxxxx 2(sin 2 coscos2 sin)2 sin(2) 444 xxx 函数( )f x最小正周期为，最大值为2。 （2）由（ 1）知 x 3 88 8 3 8 5 8 2 4 x 2 0 2 y 0 2 0 2 0 故函数( )yfx在区间, 22 上的图象如图所示。 13解：（1）ab 33 coscossinsincos2 2222 xx xxx。 |ab | 22 33 (coscos )(sinsin)22cos22|cos | 2222 xx xxxx。 , 34 x，cos0x，|ab |2cos x。 （2）( )f x 2
8、 cos22cos2cos2cos1xxxx 213 2(cos) 22 x， , 34 x， 1 cos1 2 x， 当 1 cos 2 x时，( )f x取得最小值 3 2 ；当cos1x时，( )f x取得最大值1。 14解：（1）( )cosf xxx，( )( )1sinfxg xx，( )cosg xx。 令( )cos0g xx，知( )f x的凸区间为 (2,2) 22 kk ，kZ。 （2）构造函数( )sinf xx，(0,)x，则( )( )cosg xfxx。 ( )sin0g xx，故函数( )sinf xx在区间(0,)上是凸函数，由凸函数的性质知 sinsinsin3 sinsin 3332 ABCABC ， 3 3 sinsinsin 2 ABC，当且仅当 3 ABC时取最大值。