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1、7.矩形、菱形 按住 ctrl 键 点击查看更多中考数学资源 知识考点：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。 精典例题： 【例 1】如图， 已知矩形ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O，AE BD，垂足为 E， DAE BAE 31，求 EAC 的度数。 分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。 解略，答案45 0。 例 1 图 E O D CB A 例 2 图 F E D C BA 例 3 图 E M D CB A 【例 2】如图，已知菱形ABCD 的边长为3，延长 AB 到点 E，使 BE2AB，连结EC 并延长交AD 的延长线
2、于点F，求 AF 的长。 分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例的性质定理，可使问题得解。 解略，答案AF4.5。 【例 3】如图，在矩形ABCD 中， M 是 BC 上的一动点， DE AM，垂足为E，3AB 2BC，并且 AB、 BC 的长是方程02)2( 2 kxkx的两根。 （1）求k的值； （2）当点 M 离开点 B 多少时， ADE 的面积是 DEM 面积的 3 倍？请说明理由。 分析：用韦达定理建立线段AB、 AC 与一元二次方程系数的关系，求出k。 略解：（ 1）由韦达定理可得AB BC2k，AB BCk2，又由 BC 2 3 AB 可消 去 AB ，得出一个关于k的
3、一元二次方程012373 2 kk，解得 1 k 12， 2 k 3 1 ，因 AB BC2k0，k2，故 2 k 3 1 应舍去。 （2）当k12 时， AB BC10， AB BCk224，由于 AB BC，所以 AB 4， BC6， 由 DE MAED SS3可得 AE3EM 4 3 AM 。 易证 AED MBA 得 MB AE AM AD ， 设 AEa3，AM a4，则 MB 2 2 a， 而 AB 2 BM2 AM2， 故242 1644aa， 解得 2 a 2，MB 2 2a 4。即当 MB4 时， DEMAED SS3。 评注： 本题将几何问题从“形”向“数”转化，这类综合题
4、既有几何证明中的分析和推 理，又有代数式的灵活变换、计算，其解题过程层次较多，步骤较复杂，书写过程也要加强 训练。 探索与创新： 【问题一】如图，四边形ABCD 中， AB6，BC35，CD6，且 ABC 135 0， BCD 1200，你知道 AD 的长吗？ 分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。 略解：作AE CB 的延长线于E， DF BC 的延长线于F，再作 AGDF 于 G ABC135 0， ABE450 ABE 是等腰直角三角形 又 AB6， AE BE3 BCD120 0， FCD600 DCF 是含 30 0 的直角三角形 CD6，CF3，DF
5、33 EF3)35(38 由作图知四边形AGFE 是矩形 AGEF8，FG AE3 从而 DG DFFG32 在 ADG 中， AGD90 0 AD 22 DGAG126476192 【问题二】把矩形ABCD 沿 BD 折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形ABDE 是 什么图形，并证明你的猜想。 分析与结论： 本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形，利用对称及全等三角 形的有关知识易证。 跟踪训练： 一、填空题： 1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为。 2、已知菱形的锐角是60 0，边长是 20cm，则较短的对角线长是cm。 3、如图，矩形ABCD 中
6、， O 是对角线的交点，若AE BD 于 E，且 OEOD 12， AE 3cm，则 DE cm。 4、如图， P 是矩形 ABCD 内一点， PA3，PD4，PC5，则 PB。 5、如图，在菱形ABCD 中， B EAF60 0， BAE200，则 CEF 。 第 3 题 图 E O D C B A 第 4 题 图 ? 5 43 P D CB A 第 5 题 图 F E D C B A 二、选择题： 问 题 一 图 G FE D CB A 问 题 二 图 E D C B A 6、在矩形ABCD 的各边AB、BC、CD、DA 上分别取点E、F、G、 H，使 EFGH 为矩形， 则这样的矩形（）
7、 A、仅能作一个B、可以作四个 C、一般情况下不可作D、可以作无穷多个 7、如图，在矩形ABCD 中， AB 4cm，AD12cm，P 点在 AD 边上以每秒1 cm 的速度从 A 向 D 运动，点Q 在 BC 边上，以每秒4 cm 的速度从C 点出发，在CB 间往返运动，二 点同时出发，待P 点到达 D 点为止，在这段时间内，线段PQ 有（）次平行于AB。 A、 1 B、2 C、3 D、4 第 7 题 图 Q P D CB A 第 8 题 图 G F ED C B A 8、如图，已知矩形纸片ABCD 中，AD 9cm，AB3cm，将其折叠，使点D 与点 B 重合， 那么折叠后DE 的长和折痕
8、EF 的长分别是（） A、 4cm、 10cm B、5cm、 10 cm C、4cm、32cm D、 5cm、32cm 9、给出下面四个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形； 有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；菱形的对角线的平方和等于边长 平方的 4 倍。其中正确的命题有（） A、B、C、D、 10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（） A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形 三、解答题： 11、如图，在矩形ABCD 中， F 是 BC 边上一点， AF 的延长线交DC 的延长线于点G， DE AG 于 E，且 DEDC
9、，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结 论。 第 11 题 图 G F E D C B A 第 12 题 图 G F E D C B A 第 13 题 图 F E D C B A 12、如图，在ABC 中， ACB 90 0，CD 是 AB 边上的高， BAC 的平分线AE 交 CD 于 F，EGAB 于 G，求证：四边形GECF 是菱形。 13、如图，以ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD 、 BCE、 ACF 。请回答下列问题（不要求证明）： （1）四边形ADEF 是什么四边形？ （2）当 ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？ （3
10、）当 ABC 满足什么条件时，以A、D、 E、F 为顶点的四边形不存在？ 跟踪训练参考答案 一、填空题： 1、180；2、20cm；3、 3；4、23；5、20 0 提示： 4 题过点 P 作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5 题连结AC，证 ABE ACF 得 AEAF，从而 AEF 是等边三角形。 二、 DDBBA 三、解答题： 11、可证 DEA ABF 12、略证： AE 平分 BAC，且 EG AB，EC AC，故 EGEC，易得 AEC CEF， CFEC，EGCF，又因 EG AB，CDAB ，故 EGCF。四边形 GECF 是平行四边形， 又因 EG FG，故 GECF 是菱形。 13、（ 1）平行四边形；（2） BAC150 0；（ 3）当 BAC 600 时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在。