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1、北师大版数学 （八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边c 的平方，即 222 cba （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出 入图、五巧板、玄图、总统证法（通过面积的不同表示方法得到 验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c 有关系 222 cba，那么这个三角形 是直角三角形。 3、勾股数 ：满足 222 cba的三个正整数 a，b，c，称为勾股数。 常见的勾股数 有：（6,8,10） （3,4,5） （5,12， ,13
2、） （9,12,15） （7,24,25） （9,40,41） 规律 ：（1） ，短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的 自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且 ab 时，如 果 b+c=a 2 那么 a,b,c 就是一组勾股数 . 如 （3,4,5）（5,12， ,13）（7,24,25） （9,40,41） （2）大于 2 的任意偶数，2n(n1) 都可构成一组勾股数分别是： 2n,n 2-1,n2+1 如： （6,8,10 ） （8,15,17 ） （10,24,26 ） 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线 /周长/面 积 （2）已
3、知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求 各边的长度 /斜边上的高线 /周长/面积 （3）判定三角形形状： a 2 +b2c2 锐角，a 2 +b2=c2 直角， a 2 +b2c2 钝角 判定直角三角形a 找最长边；b.比较长边的平方与另外两条 较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例 1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10。求直角三 角形的两直角边。 解：设两直角边为 3x，4x，由题意知： ()()34100916100251004 222222 xxxxxx， x=2，则 3x=6，4x=8，故两直角边为 6，8。 中考突破 （1
4、）中考典题 例. 如图（ 1）所示，一个梯子AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 位 置上，如图（ 2）所示，测得得BD=0.5 米，求梯子顶端A 下落了多 少米？ A A E C B C B D （1）（2） 思维入门指导： 梯子顶端 A 下落的距离为 AE，即求 AE 的长。 已知 AB 和 BC，根据勾股定理可求AC，只要求出 EC即可。 解：在 RtACB 中，AC 2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， AC=2 BD=0.5，CD=2 在中，Rt ECDECEDCD 22222 2522 25
5、 EC=1.5 AEACEC21505 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例 5. 如图所示的一块地，AD=12m， CD=9m， ADC=90， AB=39m， BC=36m，求这块地的面积。 A D C B 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD，似 乎不 得要领，连结，求出即可。ACSS ABCACD 解： 连结 AC，在 RtADC 中， A D C B ACCDAD 22222 129225 AC15 在ABC 中，AB 2=1521 ACBC 2222 15361521 ABACBCACB 222 90， SSACBCAD CD
6、 ABCACD 1 2 1 2 1 2 1536 1 2 12927054216 2 ()m 答：这块地的面积是216 平方米。 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。 第二章 实数 基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 2 0 2 00 00 2 2 3 3 . . 无理数的表示 算术平方根定义如果一个非负数的平方等于，即 那么这个非负数就叫做的算术平方根，记为， 算术平方根为非负数 平方根 正数的平方根有个，它们互为相反数 的平方根是 负数没有平方根 定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就 叫做的平方根，记为 立方根 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 的立方根是 定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数 就叫做的立方根，记为 xaxa xaa a axa aa xaxax aa 3 0 .实数及其相关概念 概念有理数和无理数统称实数 分类 有理数 无理数 或 正数 负数 绝对值、相反数、倒数的意义同有理数 实数与数轴上的点是一一对应 实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则 运算规律相同。