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1、学习资料收集于网络，仅供参考 学习资料 导数大题专题训练 1已知 f( x) xlnx ax，g( x) x 22， ( ) 对一切 x( 0， ) ，f( x) g( x) 恒成立，求实数a的取值范围； ( ) 当 a 1时， 求函数 f( x) 在m， m3( m0) 上的最值；( ) 证明： 对一切 x( 0， ) ， 都有 lnx1 exe x 21 成立 2、已知函数 2 ( )ln2(0)f xaxa x . （）若曲线y=f (x) 在点 P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2 垂直， 求函数 y=f (x) 的单调区间；（）若对于(0,)x都有 f (x) 2(a1)成立
2、，试求a 的取值范围；（）记g (x)=f (x)+x b（bR）. 当 a=1 时，函数g (x)在区间 e 1，e上有两个零点，求实数 b 的取值范围 . 3 设函数 f (x)=lnx+(x a) 2，aR. （）若 a=0，求函数 f (x) 在1，e上的最小值； （）若函数f (x) 在 1 ,2 2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （）求函数f (x) 的极值点 . 学习资料收集于网络，仅供参考 学习资料 4、已知函数 21 ( )(21)2ln() 2 f xaxaxxaR. ( ) 若曲线( )yf x在1x和3x处的切线互相平行，求a的值； ( ) 求( )f
3、x的单调区间；( ) 设 2 ( )2g xxx，若对任意 1 (0, 2x，均存在 2 (0,2x，使得 12 ()()f xg x，求a的取值范围 . 5、已知函数)0(2ln 2 axa x xf ( ) 若曲线 yf( x) 在点 P( 1，f( 1) 处的切线与直线yx2 垂直，求函数yf( x) 的单调区间； ( ) 若对于任意) 1(2,0axfx都有成立，试求a 的取值范围； ( ) 记 g( x) f( x) x b( bR). 当 a1 时，函数 g( x) 在区间e,e 1 上有两个零点， 求实数 b 的取值范围 6、已知函数 1ln ( ) x f x x ( 1) 若
4、函数在区间 1 ( ,) 2 a a( 其中0a) 上存在极值，求实数a 的取值范围； ( 2) 如果当1x时，不等式 ( ) 1 k f x x 恒成立，求实数k 的取值范围 学习资料收集于网络，仅供参考 学习资料 1. 解： ( ) 对一切)()(), 0(xgxfx恒成立，即2ln 2 xaxxx恒成立 . 也就是xxaln x 2 在 ), 0(x恒成立；令 x xxxF 2 ln)(，则F 22 2 2 )1)(2(22 1 1 )( x xx x xx xx x， 在)10( ，上F0)(x，在)1( ，上F0)(x，因此，)(xF在1x处取极小值，也是最小值， 即3) 1()(
5、min FxF ，所以3a. ( ) 当时，1axxxxfln)(，f2ln)(xx，由f0)(x得 2 1 e x. 当 2 1 0 e m时，在) 1 , 2 e mx上f0)(x，在3, 1 ( 2 m e x上f0)(x 因此，)(xf在 2 1 e x处取得极小值，也是最小值. 2min 1 )( e xf. 由于0 1)3)ln(3()3(, 0)(mmmfmf因此， 1)3)ln(3()3()( max mmmfxf 当时 2 1 e m，0)( xf，因此 3,)(mmxf在上单调递增，所以)1(ln)()( min mmmfxf， 1)3)ln(3()3()( max mmm
6、fxf9 分 ( ) 证明：问题等价于证明), 0( 2 lnx ee x xxx x 由( ) 知1a时，xxxxfln)(的最小值是 2 1 e ，当且仅当 2 1 e x时取得， 设), 0( 2 )(x ee x xG x ，则G x e x x 1 )(，易知 e GxG 1 ) 1()( max ，当且仅当1x时取到， 但， ee 11 2 从而可知对一切(0,)x，都有 exe x x 21 1ln成立 . 2、解： （）直线y=x+2 的斜率为1. 函数 f (x)的定义域为（ 0，+），因为 2 2 ( ) a fx xx ，所以 2 2 (1)1 11 a f，所以 a=1
7、. 所以 2 ( )ln2f xx x . 2 2 ( ) x fx x . 由( )0fx解得 x0；由 ( )0fx解得 0 x2. 所以 f (x)的单调增区间是（2，+），单调减区间是（0，2） （） 22 22 ( ) aax fx xxx ， 由( )0fx解得 2 x a ；由( )0fx解得 2 0x a . 所以 f (x)在区 间 2 (,) a 上单调递增，在区间 2 (0,) a 上单调递减 . 所以当 2 x a 时，函数f (x)取得最小值， min 2 ()yf a . 因 为对于(0,)x都有( )2(1)f xa成立， 学习资料收集于网络，仅供参考 学习资料
8、所以 2 ( )2(1)fa a 即可 . 则 22 ln2 2(1) 2 aa a a . 由 2 lnaa a 解得 2 0 e a. 所以 a 的取值范围是 2 (0,) e . （） 依题得 2 ( )ln2g xxxb x ，则 2 2 2 ( ) xx g x x . 由( )0gx解得 x1；由( )0gx解得 0x 1. 所以函数( )g x在区间（ 0，1）为减函数，在区间（1，+）为增函数 . 又因为函数( )g x在区间 e 1，e 上 有两个零点，所以 1 ()0 ( )0 (1)0 g e g e g . 解得 2 1e 1 e b. 所以 b 的取值范围是 2 (1
9、,e1 e . 3解： （） f (x)的定义域为（0，+） . 因为 1 ( )20fxx x ，所以 f (x)在1 ， e 上是增函数， 当 x=1 时， f (x)取得最小值f (1)=1.所以 f (x)在1 ，e 上的最小值为1. （）解法一： 2 1221 ( )2() xax fxxa xx 设 g (x)=2x 22ax+1，依题意，在区间1 ,2 2 上存在子区 间使得不等式g (x)0 成立 . 注意到抛物线g (x)=2x 22ax+1 开口向上，所以只要 g (2) 0，或 1 ( )0 2 g即 可由 g (2) 0，即 8 4a+10，得 9 4 a，由 1 (
10、)0 2 g，即 1 10 2 a，得 3 2 a，所以 9 4 a， 所以实数a 的取值范围是 9 (,) 4 . 解法二： 2 1221 ( )2() xax fxxa xx ，依题意得，在区间 1 ,2 2 上存在子区间使不等式2x 22ax+10 成立 . 又因为 x0，所以 1 2(2)ax x . 设 1 ( )2g xx x ，所以 2a 小于函数g (x)在区间 1 ,2 2 的最大值 . 又因为 1 ( )2g x x ， 由 2 1 ( )20g x x 解得 2 2 x；由 2 1 ( )20gx x 解得 2 0 2 x. 所以函数g (x)在区间 2 (,2) 2 上
11、递增，在区间 12 (,) 22 上递减 . 所以函数g (x)在 1 2 x，或 x=2 处取得最大值 . 又 9 (2) 2 g， 1 ( )3 2 g，所以 9 2 2 a， 9 4 a 所以实数a 的取值范围是 9 (,) 4 . （）因为 2 221 () xax fx x ，令 h (x)=2x 22ax+1 显然，当a0 时，在（ 0，+）上 h (x)0 恒成立， f (x) 0，此时函数f (x)没有极值点； 当 a0 时， 学习资料收集于网络，仅供参考 学习资料 （i ）当 0，即02a时，在（ 0， +）上 h (x)0 恒成立，这时f (x) 0，此时，函数f (x)没
12、有 极值点； （ii ）当 0 时，即2a时，易知，当 22 22 22 aaaa x时， h (x)0，这时 f (x) 0； 当 2 2 0 2 aa x或 2 2 2 aa x时， h (x) 0，这时 f (x) 0； 所以，当2a时， 2 2 2 aa x是函数 f (x)的极大值点； 2 2 2 aa x是函数 f (x)的极小值点 . 综上，当2a时，函数f (x)没有极值点； 当2a时， 2 2 2 aa x是函数 f (x)的极大值点； 2 2 2 aa x是函数 f (x)的极小值点 . 4解： 2 ( )(21)fxaxa x (0)x. ()(1)(3)ff，解得 2
13、3 a. ( ) (1)(2) ( ) axx fx x (0)x. 当0a时，0x，10ax，在区间(0,2)上，( )0fx；在区间(2,)上( )0fx， 故( )f x的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,). 当 1 0 2 a时， 1 2 a ，在区间(0,2)和 1 (,) a 上，( )0fx；在区间 1 (2,) a 上( )0fx， 故( )f x的单调递增区间是(0,2)和 1 (,) a ，单调递减区间是 1 (2,) a . 当 1 2 a时， 2 (2) ( ) 2 x fx x ，故( )f x的单调递增区间是(0,). 当 1 2 a时， 1 02 a
14、 ，在区间 1 (0,) a 和(2,)上，( )0fx；在区间 1 (,2) a 上( )0fx， 故( )f x的单调递增区间是 1 (0,) a 和(2,)，单调递减区间是 1 (,2) a . ( ) 由已知，在(0,2上有 maxmax ( )( )f xg x. 由已知， max ( )0g x，由 ( ) 可知， 当 1 2 a时，( )f x在(0,2上单调递增，故 max ( )(2)22(21)2ln 2222ln 2f xfaaa， 学习资料收集于网络，仅供参考 学习资料 所以，222ln 20a，解得ln 21a，故 1 ln 2 1 2 a. 当 1 2 a时，( )
15、f x在 1 (0, a 上单调递增，在 1 ,2 a 上单调递减，故 max 11 ( )()22ln 2 f xfa aa . 由 1 2 a可知 11 lnlnln1 2e a，2ln2a，2ln2a，所以，22ln0a， max ( )0f x， 综上所述，ln 21a. 5、解： ( )直线 yx2 的斜率为1， 函数 f(x) 的定义域为,0因为 x a x xf 2 2 )(，所以 1 11 2 1 2 a f，所以 a1，所以 2 2 , 2ln 2 x x xfx x xf 由0 xf解得 x2 ； 由0 xf解得 0 x2 所以 f(x)得单调增区间是,2，单调减区间是2,
16、 0 ( ) 22 22 )( x ax x a x xf，由0 xf解得; 2 a x由0 xf解得 a x 2 0 所以 f(x) 在区间), 2 (a 上单调递增，在区间) 2 , 0( a 上单调递减 所以当 a x 2 时，函数f(x)取得最小值) 2 ( min a fy 因为对于任意) 1(2,0axfx都有成立，所以) 1(2) 2 (a a f即可 则)1(22 2 ln 2 2 a a a a ，由a a a 2 ln解得 e a 2 0；所以 a 得取值范围是) 2 ,0( e ( ) 依题意得bx x xg2ln 2 )(，则 2 2 2 )( x xx xg 由0 x
17、g解得 x1，由0 xg解得 0 x1 所以函数g(x) 在区间e,e 1 上有两个零点， 所以 0)1( 0)( 0)( 1 g eg eg 解得1 2 1e e b 所以 b 得取值范围是 1 2 , 1 (e e 学习资料收集于网络，仅供参考 学习资料 6、解： (1) 因为 1ln ( ) x f x x ，0x，则 2 ln ( ) x fx x ， 当0 1x 时，( )0fx；当 1x 时，( )0fx ( )f x 在 (0,1) 上单调递增；在(1,) 上单调递减， 函数( )f x 在1x处取得极大值3分 函数( )f x 在区间 1 ( ,) 2 a a( 其中0a) 上存在极值， 1, 1 1, 2 a a 解得 1 1 2 a (2) 不等式( ) 1 k f x x ，即为 (1)(1ln)xx k x ， 记 (1)(1ln) ( ) xx g x x 22 (1)(1 ln)(1)(1 ln )ln ( ) xxxxxxx g x xx ，9 分 令( )lnh xxx ，则 1 ( )1hx x ，1x，( )0h x，( )h x 在1,) 上递增， min ( )(1)10h xh，从而( )0g x，故( )g x 在 1,) 上也单调递增， min ( )(1)2g xg， 2k