小升初_行程专题班.pdf

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1、小升初行程专题班 小升初行程专题班： 据统计，如果一张试卷题目按10 道题来计算，行程问题平均占1.5 道，按 100 分来计 算，行程问题占其中15-20 分。在近几年的考试中，行程问题往往作为能否进入重点中学最 重要的一道分层题目。因此在十一短训课程中，我们将会对“火车问题”、 “多人问题” 、 “环 形问题”、 “时钟问题”、 “流水行船” 、 “变速问题”等重点专题进行详细分析。 行程问题的学习方法 在各类小升初考试与各大杯赛的命题中，行程问题从来就是出题人的最爱。益人教育数学教 材研发中心统计了从2000 起年至今共9 年的各校小升初试题及杯赛试题，其中有 99.26%的 试卷都包含

2、行程问题；如果把统计范围缩小到近5 年，那这一比例则达到了100%.可以说， 行程问题已经成为各校小升初考试与各大杯赛的必考题！ 但是，对于众多面临小升初的同学而言，行程问题却又是学习上无法逾越的一道障碍。 很多同学在行程问题上饱受挫折，在考试时行程问题既是必考题，也是必错题， 以至于有的 同学根本无心花力气在行程问题上，只要一遇到行程问题就会主动躲开、主动放弃！ 这一点， 无论家长还是学生都感到很无奈。 难道行程问题真的那么难学吗？ 难道行程问题真的就没有办法学好了吗？ 你是否在为学习行程问题而烦恼？ 你是不是一见到行程问题就只想躲、不想做？ 你是否总为求解行程问题不得要领而一筹莫展？ 你父

3、母在给你辅导行程问题时，是不是常常自己也想得一头雾水？ 下面的学习指南将会一一解开你心中的疑惑，传授给你攻克小升初行程问题的独门秘 籍！ 一、行程问题学习方法综述 1. 学习行程问题时有哪些坏毛病会阻碍你进步？ （1） 不画线段图学习行程问题最重要的当属画图！很多同学不喜欢画图、没习惯画图， 甚至懒得画图，这是阻碍一个人学习行程问题最普遍的问题。很多同学在处理行程问题时， 往往是简单题目不屑于画，难题却又不会画，结果学了半天也没有机会用上线段图，而这恰 恰是行程问题的基本功。试想一下，连线段图都不去用，怎么可能学好行程问题？！ 那么为什么很多同学在画图时，感觉难以下笔、 不知所措呢？这就涉及到

4、了下一个问题。 （ 2） 缺乏对机械运动的想象力行程问题无一例外都是考察一系列物体的机械运动，因 此对整个运动过程的想象和把握就显得格外重要。在读题过程中， 很多人仅仅只是把题目像 流水账一样的过目一遍，很少有在脑子里想象运动场景的习惯，即使会去想象的，也往往没 怎么想清楚就草草了事。这样一来， 看似读了半天题，其实也还是一头雾水。就凭这样的读 题效果，怎么可能下手画图？就算画出来，也不是线段图，而是“ 鬼画符 “ ！ 相反， 有想象力的人在读题时，往往能像放电影一样在脑子里想象整个行程过程，在读 完题目后就对整个行程过程有了一个大致的把握，再下手画图自然能组织好图形的结构，画 得比较到位。

5、机械运动想象力的重要性从另一个侧面也体现得很明显，通常男生做行程问题要比女生 强，其实就在于男生对于机械运动的兴致高于女生。平常喜欢的车、船、炮、球等等事物都 和机械运动有关，因此男孩子在处理行程问题时会比女孩子更能想象。从某种程度上说，男 孩子对机械运动的想象力是在平时生活中“ 玩“儿出来的， 而至于女孩子， 那就必须加强在机 械运动方面的想象力才行。 （3） 缺乏耐性很多同学在面对过程有点儿复杂的行程问题时，不是静下心来好好想， 而是满脑子只想尽快把问题搞定。为了能尽快解决问题，稀里糊涂地在那里乱凑一通这 样的解题习惯极具破坏性。不仅破坏了自己的解题品味，也破坏自己的做事习惯。无论从学 习

6、数学的角度讲，还是从学习做事的角度讲都是百害而无一利。 （ 4） 缺乏勇气由于在行程问题的学习上屡遭挫败，很多同学已经认定自己在行程问题 上不可能有所作为。只要一遇到行程问题，主观上就在退却，结果明明能做的题目也给放弃 了。经常听有人在感慨：“早知道这道行程问题那么简单，我就多想想了。“ 正是由于缺乏面 对问题的勇气， 才使得很多得分机会与自己失之交臂。可以说， 克服对行程问题的恐惧是攻 克行程问题这座堡垒必须迈出的第一步！ 2. 如何学好行程问题 （1） 鼓起勇气，树立信心要想学好行程问题，首先得相信自己能学好！行程问题不是 尝试着学一下， 看能不能学好的问题，而是必须学好的问题！它太重要了

7、， 如果你没有信心 和勇气攻克它， 就意味着你的小升初已经输掉了一半。难道你愿意接受自己作为半个失败者 吗？！如果不愿意，那就鼓起勇气，相信自己能行！ 行程问题由不得你对自己没信心！一定要勇敢些，不要怕！ （2） 培养自己的想象力在阅读行程问题时，一定要同时在脑子里不停的想象行程过程， 在读完题目之后就像看了场电影一样，而电影里放的就是题目里的情节。 （3） 勤动手画图、列表不管题目是简单还是难，在经过对行程过程的想象后，都要认 真规范的将图画出。简单题目不能不屑于画，复杂题目也决不能画几下就放弃了，耐心点琢 磨，耐心点画，画着画着就柳暗花明又一村了。 有的行程问题，题目较长、 内容较多。为了

8、能更好的把握题意，应该采用列表整理的方 式来缕清思路， 绝不能在读完题目之后，任由自己的大脑一团浆糊。如果感觉到糊涂，就一 定要想法子缕清楚。 学数学要牢记一点，那就是：时刻保证自己头脑清醒、思路清晰。 （ 4） 要有耐性不要总想着赶快做完、赶快做完。希望问题赶紧解决和希望问题主动消 失一样，都是不切实接的一厢情愿。今天哪怕只做这一道题，把这道题目攻克，那也是莫大 的收获！即使今天没有做出来，也没关系，只要去认真思考、动手分析，就一定有收获。 平时练习和考试不一样，只要尽力去做就是好样的，即便没做出来也一样有价值、有意 义。 行程的分类解析 行程问题从运动形式上分可以分为五大类： 五大题型、

9、四大方法相互交织，就构成了整个小学行程问题的知识架构。这其中的交织与 综合不仅仅是题型与方法之间的交织，也有题型之间的重叠，比如环形问题就可以有环形路 线上的流水行船， 而火车问题也可以有多辆火车之间的错车问题, 至于解题方法的重叠那 更是比比皆是，一道稍有分量的行程问题就需要运用至少两种解题方法, 诸如此类的综 合，既是行程问题变化多端的原因，也是行程问题难学的原因。想要将上述题型与方法融会 贯通、 运用自如，首先得分门别类的把各类问题学好，并穿插以各类解题方法的训练，然后 在此基础之上再进行综合。 下面我们就以五大题型为主线，以典型例题的形式对行程问题的整个知识架构做一个系 统性梳理， 并

10、在例题的讲解中穿插解题方法的总结，让大家对小学阶段行程问题的题型与方 法有一个总体把握。每道例题的关键思路都已给出，大家顺着这些思路可以自行求得答案。 每道例题的标准答案都附在手册的最后，大家可以对照参考。 1. 直线上的相遇与追及 上述两个公式大家都很熟悉，对于相遇、追及问题的理解，就是从它们开始的。一般情 况下， 我们会把速度和、路程和与相遇问题联系在一起，而把速度差、 路程差与追及问题联 系在一起。 这样的理解过于表面化，真正体现这两个公式本质的字眼儿是“和“ 与“ 差“：只要 涉及到速度和、 路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；而只要涉及到 速度差、路程差的问题就应该

11、用第二个公式，即使题目的背景是相遇。 例题 1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56 千米，乙每小时行 48 千米，两车在离两地中点32 千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米？（某重点 中学 2007 年小升初考题） 思路解析 本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系。那 路程差的关系究竟藏在哪个条件中呢？就在条件“两车在离两地中点32 千米处相遇 “这句话 中。大家不妨自己动手试着做一做。 除了像刚才例题1 那样一次性的追及与相遇过程外，还有很多相遇与追及问题是在往返 过程中多次发生的。下面就是一道这样的例题： 例题 2. 两名游泳运动员在长为30

12、 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1 米， 乙的速度是每秒游0.6 米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5 分钟。如果 不计转向的时间， 那么在这段时间内两人共相遇多少次？（某重点中学2006 年小升初考题） 思路解析相遇次数与两人的路程和有关如下图所示 直线上的相遇、 追及是行程问题中最基本的两类问题，这两类问题的解决可以说是绝大 多数行程问题解决的基石只要是两个物体在同时运动，它们之间的关系一般都可以表示为 相遇或追及而众多丰富多彩、妙趣横生的行程过程，均是以此为蓝本而展开的 2. 火车过人、过桥与错车问题 在火车问题中， 速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方

13、是路程。因为 此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度相关。就 拿火车过桥来说， 如果题目考察的是火车过桥的整个过程，那么就应该从“车头上桥 “开始到 “车尾下桥 “结束，对应的路程就等于“车长桥长 “；如果题目考察的是火车停留在桥上的过 程，那就应该从 “ 车尾上桥 “ 到“ 车头下桥 “ 结束。对应的路程就应该是“ 火车车长桥长 “. 具体 如下所示： 例题 3. 一列客车通过250 米长的隧道用25 秒，通过 210 米长的隧道用23 秒。已知在 客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320 米，速度每秒17 米。求列车与 货车从相遇到离开所用的

14、时间。（仁华学校2005 年五年级上学期期末考试试题） 思路解析 本题包含了两个基本类型的火车问题，一是火车过隧道问题，二是火车错 车问题。 而这两者之间最关键的是第一个过程的分析，分析方法就是前面所说的四大方法中 的第三点 “ 利用和差倍分关系进行对比分析“： 250 米的隧道比210 米的隧道多40 米， 从而使得客车通过前者的时间比后者多了秒，由此即可得出客车的速度。有了客车速度， 再求客车长度以及错车时间就非常容易了。大家不妨自己动手算算。 当然， 火车问题并非只有火车，一个有长度的队列也是这类问题的常客。下面这道题目 就是一个队列问题，有兴趣的同学不妨自己动手尝试一下。在必要时， 还

15、可以借助于方程进 行求解。 例题 4. 某解放军队伍长450 米，以每秒 1.5 米的速度行进。 一战士以每秒3 米的速度 从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？（某重点中学2008 年小升初考题） 3. 多个对象间的行程问题 虽然这类问题涉及的对象至少有三个，但在实际分析时不会同时分析三、四个对象， 而 是把这些对象两两进行对比。因此， 求解这类行程问题的关键，就在于能否将某两个对象之 间的关系，转化为与其它对象有关的结论。 例题 5. 有甲、 乙、丙 3 人，甲每分钟走100 米，乙每分钟走80 米，丙每分钟走75 米。 现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与

16、乙相遇6 分钟后，甲又 与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？（2008“ 港澳数学奥林匹克公开赛“ 试 题） 思路解析 本题最关键的一段路程，就是甲、乙相遇之后6 分钟内，甲、乙两人的路 程和。这段路程既是甲、乙的路程和，又是乙、丙的路程差。只要明白了这一路程的双重身 份，就能很快求出此题。大家不妨画出图来，自己分析一下。 4. 环形问题与时钟问题 环形问题与其它行程问题相比，最大的特点就在于“周期性 “与 “对称性 “. 这是由环形跑 道本身的特点决定的。大家再分析环形问题时，一定要留意 “周期性 “与“ 对称性 “ 在题目中的 体现。 例题 6. 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同

17、一地点同时出发，背向而行。现在已知甲 走一圈的时间是70 分钟，如果在出发后45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是 多少分钟？ （第十六届 “全国小学数学奥林匹克“竞赛初赛试题） 思路解析 本题从头到尾都只有时间：给的条件是时间，问的问题也是时间。像这种 只给时间、 求时间的问题， 通常的做法就是设数。把路程或速度这两个未知量中的某一 个量随便设个数，然后再进行求解。本题就可以设环形公路的全程为6300 米，接着便可求 甲、乙两人的速度了。接下来的过程，大家不妨自己动手试一试。 例题 7. 有一座时钟现在显示10 时整。那么， 经过多少分钟，分针与时针第一次重合； 再经过多少分钟，分针

18、与时针第二次重合？（北京市第十一届“ 迎春杯 “ 决赛试题） 思路解析 时钟问题本质上说就是一个环形问题，只要给出合适的速度、路程、时间 的表示，求解过程与一般环形问题没什么两样。大家不妨自己动手做一做。 5. 流水行船问题 流水行船问题与其它行程问题相比，特殊的地方在于速度。由于有水流的因素，船的速 度有顺流、逆流的区别，因此在流水行船问题中，船的速度有三种：逆水速度、静水速度、 顺水速度。 在分析流水行船问题时，一定要把水流的因素考虑到位，很多题目分析的关键本 身就在水流上！ 例题 8. 甲、乙两船分别在一条河的A，B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而 上。相遇时，甲乙两船行了相等的航

19、程，相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地后， 都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000 米。如果从第一次相遇 到第二次相遇时间相隔1小时 20 分， 那么河水的流速为每小时多少千米？（某重点中学2003 年小升初考题） 思路解析 甲、乙两船刚出发时行驶速度相同，但一个顺流、另一个逆流，说明两船 静水速度差了两倍的水速（甲慢乙快）。调头之后，甲变为逆流，乙变为顺流，此时两船行 驶速度应该差几倍的水速？考虑清楚这点，你就知道如何利用甲、乙的速度差来求水速了。 思路解析本题是一道环形跑道上的流水行船问题，是一道综合性很强的行程问题。 本题的分析关键也在于速度，如果甲、乙两人的

20、速度已知， 那本题的求解就没有任何悬念了。 因此， 分析求解的重点就落在了甲、乙两人的速度上。大家只要注意到甲、乙的速度差恰好 等于水速这一点，就不难进行分析了。大家不妨动手试试。 上述 9 道例题可以说只是小升初行程问题的一个掠影，虽然每一道都是其所在类别里最 为典型的例题， 但稍加变化都会变出来很多新的模样。而且， 题目除了会在每一类中发生变 化外， 还会发生类与类之间的交叉与综合，不仅在运动形式上变化多端，而且在分析方法上 也是花样迭出。 但是， 我们需要关心的绝对不是变化，而是在千变万化中不变的东西。行程问题固然变 化多端， 但无论怎么变， 也逃不出本文一开始提到的那“ 五大题型 “与

21、“四大方法 “ ，只是在题 型上会更加综合， 在题解上用到的方法会更多一些。但只要这 “五大题型 “ 和“四大方法 “掌握 好，题目再怎么综合、方法再怎么多，也一样是小菜一碟。 行程问题学习时的具体操作方案与建议 1. 如果你能在 “思路解析 “的提示下，做出上述9 道例题中的至少7 道，就说明你对行 程问题的基本知识掌握的还算扎实，在平时练习时就应该以中、高难度的题目为主。智泉数 学工作室新编的 数学思维训练导引中的拓展篇、超越篇就比较适合你，你可以挑选其中 难度在三星或三星以上的题目来练习。在平时报专题班学习时，也应该选择难度档次较高的 班级，以使得自己有更大的提高。 2. 如果上述9 道

22、例题在 “思路解析 “的提示下，你能做出的题目不超过2 道，则说明对 行程问题基本知识的掌握还很不够，必须加强基本题的训练。数学思维训练导引中的兴 趣篇就是最理想的练习题来源。大家可以挑难度在三星或三星以下的题目来练习。在平时报 专题班时，也应该尽量选择基础班型，切忌拔苗助长。 3. 对于绝大多数介于上述两种情况之间的，可以两者兼顾。一般做对5 道或 5 道以上的 同学可以采取第一种建议，但也要注意基本功的训练。而做对 5 道以下的同学， 更多的得采 用第二种建议，在基础砸牢了之后，再去做难度较高题、上难度较高的班。 如何使数学学起来简单： 1， 从简单例子出发，不断变化。例子是学好数学的关键

23、，通过例子可以更加透彻的理解数 学。因此我们在上课听课的时候要紧紧抓住简单例子，在听课的过程大脑中必须有个简 单例子，我们要在例子的基础上去理解数学； 2， 图形，数形结合是基本思想，尤其是学习几何和函数的时候，在听课的过程中，头脑中 不能缺少图形，然后所有知识都可以借助大脑中的图形或纸上的图形去帮助理解和记 忆。 3， 练好基本功，前面的知识没懂，后面的知识理解起来会难很多，所以我们再学习新的知 识的过程中要回头把前面相关章节的知识复习下，这样学习新的知识就会简单些。 4， 多思考， 多问，数学的理解要求融会贯通，要想做题随心所欲，必须先基本知识理解透， 因为我们要多思考，我推荐大家用闭眼法

24、去理解数学，这样能更有深度，这也是学好数 学的关键，理解越深，越能融会贯通，因为我认为闭眼理解法很好，人闭上眼睛能比睁 开眼睛理解更为透彻。如果自己是在理解不了，再去问同学，问老师，学数学不能停留 在表面，要理解透彻。所以自己如果理解不了就要问，要有打破砂锅问到底的精神。只 要理解透了再次去做题就会简单很多，兴趣也足多了； 5， 做题要慢，要钻，遇到不会的要反复思考，我建议大家不断换新的草稿纸，这样反复的 换草稿纸做题，效果很好，只要自己做出来了才能真正找到成就感，这也是数学兴趣的 根本来源。 6， 学数学讲个循序渐进的原则，一开始练基本功，再开始练难题，这样就不会害怕难题， 不会害怕数学。

25、7， 解题技巧训练，数学里面技巧无数，太多，如果能够真正学活这样技巧必定对数学的信 心和兴趣增加几倍：比如特殊值法，代入法，试探法，换元法，观察法，测量法，归纳 法，图形法，多个未知数表示法等等； 考试中要注意的问题： 1， 认真读题，左手指着，右手用笔轻轻涂划，要注意的地方做好记号。 2， 草稿纸要大要干净，草稿只要横着放，碰到半途有问题的题把草稿纸放在一旁，等下接 着做； 3， 由易到难，千万不能在一个地方停留太久，有疑问，不能立刻有思路的题先做好记号， 第二遍再做，很多学生总是做做忘了这点。时间是考试的关键，这点非常重要； 4， 几何题要学会标条件，涂条件，试题中的关键条件要涂黑，这样可

26、以增加灵感来临的时 间，条件附带得出的条件务必也标出来 5， 紧紧抓住条件，尤其注意不要掉条件，还有难点的就是一个条件两种用法，还有就是前 面一问的结论是下一问的条件，如果还是不行，再次读题，再次找条件。 6， 图形题要注意， 如果几次都未做出来或者图形已经很杂就重新画图，而且这一次要用尺 子画图。图形最好能画的大点，清晰点； 7， 在做题过程中碰到难题实在也棘手时暂时放弃，过段时间去做可能就有灵感，不断这样 子循环； 8， 回忆法， 碰到难题是要学会回忆以前做过的类型的题或类似的结论，回忆跟知识有关的 框架，这样或许有灵感；比如跟中点有关的辅助线，跟正方形有关的知识； 9， 步骤分，实在不行

27、了，尽可能把题目的条件，结论拿出来分析，或用多个未知数的方法 把题目的条件表示出来，把每个条件能得出的结论写出来。尽可能多写几步。切不可空 着。 考试中如果保证会做的题绝不出错： 1， 坐姿端正，精神饱满，注意力高度集中，左手要指着读题或写字的地方，头要低点，眼 睛离卷子尽可能近点，审题时要非常小心，关键词语要用笔轻轻做上记号，计算时要经 常回头扫描一下，小心翼翼，做完每个题要用一到两秒快速检查。 2， 做题过程中有一丁点疑问必须立刻停下来，在前面做上记号，做完整个卷子中简单题再 第二遍做这些题。务必做好记号。 3， 选择题必须看完四个答案用笔轻轻做上记号，那些对那些错，如果四个选项有任何一个

28、 选项不确定都必须在题目前做上记号。不管你要选择的那个答案多么确定。 4， 做完整个卷子必须检查，检查时应该比做题更加小心，不然很难检查出错误，检查时注 意力要更加集中，尤其是感觉哪里出了问题必须注意力高度集中才能检查出问题。 5， 检查时一定要再次认真读题。 如何保证更快提高： 1， 经常随机考试，然后总结，切忌一个月都没有测试； 2， 课堂中发现的学生问题要立刻记下来，下课后跟家长一起好好研究； 3， 总结出来的问题执行力要强，要把问题列举出来，对策列举出来，方法写出来，写在显 眼的地方，家长要经常的提醒，切忌教学中没有家长的参与，只有老师和学生； 4， 把解题技巧和应试技巧放在首要任务，这些是提高最快速的地方，应该首先训练； 在改正知识和习惯的错误时一定要严格，严格的表现就是，在错误和习惯没有改正之前不能把 它给忘了，要牢记，要做到心中有数，虽然有些习惯难该，我们就要慢慢不断想办法，不能过 段时间就忘了这些问题。