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1、A O P l B A O 1 2 P Q 巧用“三余弦定理”解题 “三余弦定理” 的内容： 如图， 直线 AO 是平面 的斜线， AQ 是 AO 在平面内的射影，直线 AP 在平面 内.设 21, ,QAPOAQOAP，有以下结 论： 21 coscoscos .我们可以形象地把这个 结论称为“三余弦定理” ，应用“三余弦定理”可以使我 们的很多立体几何问题的解决变得简单.图 应用“三余弦定理”解题的步骤如下： 1.明确三线： 平面内的直线 （以下简称 “内线”） ，平面的斜线和斜线在平面内的射影. 2.明确三角：斜线与“内线”所成为，斜线与射影所成的角为 1，射影与“内线” 所成的角为 2
2、. 3.定理运算 . 例 1.如图 ,已知AO 是平面的一条斜线,OB,B 是垂足 ,AP 是内一直线 , OAP=60 o,BAP=45o,求斜线 AO 与平面 所成的角 . 分析： AP 是“内线”，AO 是斜线， AB 是射影，所 以 21, ,BAPOABOAP，直接利用 “三余弦定理”求解.解题过程略 . 略解： 点评：斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角， 明确了“三线”与“三角”，直接代定理求解. 图 变式 1：已知 OAB=45 o,BAP=45o,求直线 AO 与 AP 所成的角； 分析：同例1. 变式 2：已知 OAB=45 o,BAP=45o, l/AP, 求直线 AO
3、 与 l 所成的角； 分析：因为l/AP，直线 AO 与 AP 所成的角同AO 与 l 所成的角相等.我们在解题时，只需 要明确“三线” ，这时l 是“内线”，AO 是斜线， AB 是射影，然后斜线AO 与“内线” l 所成为，斜线 AO 与射影 AB 所成的角为 1，射影 AB 与“内线” l 所成的角为2 , 问题 迎刃而解 . 例 2 如图， 在棱长为1 正方体 ABCD- A 1B1C1D1中，E、 F 分别是 B1C1和 CC 1的中点，求异面直线 A1B 与 EF 所成角 的余弦值 . C1 A B C D A1 B1 D1 F E P A B C D E 分析：直线BA 1是平面
4、 BCC1B1的斜线， BB1是射影， EF 为“内线”，这样就明确是三线 ， 再明确三角，然后定理计算即可. 解：由题意可知，直线BA1是平面 BCC1B1 的斜线， BB1 是 BA1在平面内的射影， EF 为平面内的直线， 所 以BA1与EF 所 成 的 角 为， 111BC A， EF与BB1 所 成 的 角 为 2 图 又因为 21 coscoscos，45 1 ，45 2 ， 所以 2 1 cos 即异面直线A1B 与 EF 所成角的余弦值为 2 1 点评：只要明确了“三线”，不管他们的位置怎样，斜线与“内线”所成为，斜线与射影 所成的角为 1，射影与“内线”所成的角为2，明确了“
5、三角” ，公式的应用水到渠成 . 变式：若 E、F 是 B1C1和 CC 1上的点，满足 EC1= 3 1 ，FC1= 3 3 ，求异面直线A1B 与 EF 所成角的余弦值. 分析：明确“三线” ，直线BA1是斜线， BB1是射影， EF 为“内线”，然后按规则找出“三 角” ，定理计算即可. 图图 练习： 1.如图， S 是ABC 所在平面外一点，SA， SB，SC 两两垂直，求证： ABC 是锐角三角形 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90o ， AD/BC ， AB=BC=a,AD=2a, 且 PA底面 ABCD ，PD 与底面成30 o，且 AEPD，E 为垂足 ,求异面直 线 AE 与 CD 所成角的大小 “三余弦定理” 是一个容易让人忽视的问题，可能有一些同学的记忆中几乎没有它的位 置.但如果我们能够准确的理解这个定理，并巧用定理去解题，就会取得事半功倍的效果， 提高解题的速度并最终取得理想的成绩.所以要深刻理解“三余弦定理”应用的几个典型的 例题，然后举一反三，学以致用. B A C S