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1、巧解圆中的最值问题 求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐 被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野. 基本模型 如图 1、2，平面内有一定点A和一动点P,点P的运动轨迹是圆O，连结AO并延长， 分别交圆于BC、两点，则AB为AP的最小值，AC为AP的最大值，即最小值为 AO半径，最大值为+AO 半径. 类型 1 定点定长定圆 例 1 如图 3，在ABC中，90ACB，30ABC，将ABC绕顶点C顺时 针旋转， 得到MNC，PQ、分别是ACMN、的中点，2AC， 连结PQ， 则旋转时PQ 长度的最大值是( ). (A) 2 6(B) 2 3(C) 6(
2、D) 3 分析连结CQ，点P是定点，点Q是动点，欲求PQ长度的最大值，就得知道Q的运 动轨迹 .在这里， 可以利用点Q是Rt MNC斜边的中点， 得出CQ是定值， 到定点的距离等 于定值，由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆.再结合基本模型，可以得出PQ长度的最大 值为3PCCQ，所以选D. 例 2 (2015 年宁波考纲 )如图4，二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象交x轴于点 ( 1,0)(4,0)AB，交y轴于点(0,2)C，过B，C画直线，并连结AC. (1)求二次函数的解析式和直线BC的解析式 . (2)点F是线段BC上的一点，过点F作ABC内接正方形DEFG， 使得边DE落在x
3、轴上，点G在AG上，GF交y轴于点M. 求该正方形的边长; 将线段EF延长，交抛物线于点H，那么点F是EH的中点吗 ?请说明理由 . (3)在(2)的条件下，将线段BF绕点B旋转，在旋转的过程中，点P始终为CF的中 点，请直接写出线段OP的最大值 . 分析(1)二次函数解析式为 213 2 22 yxx 直线解析式为 1 2 2 yx (2) 10 7 ，不是； (3)本题中，O是定点，P是动点，取BC的中点K，连结BFPK，由题意，得 15 5(2,1) 27 PKBFK， 所以P的运动轨迹是一个以K为圆心， 5 5 7 为半径的圆，所以OP的最大值为 512 55 77 OK 类型 2 定
4、线定角定圆 例 3 (2016 年宁波考纲 )如图 5，在等腰Rt ABC中，2ABBC，点P为等腰 RtABC所在平面内一点，且满足PAPB，则PC的取值范围为. 分析根据条件可知线段AB是定值，且AB所对的张角APB是定值，根据同弧所 对的圆周角相等可知，动点P的运动轨迹在过点ABP、 、三点的圆周上 (不与AB、重合 ). 又因为90APB，所以AB恰好是直径。 连结CO并延长交圆O分别为 12 PP、，故 1 CP最小， 2 CP最大，所以PC的取值范围为 5151PC 例 4 (2013 年武汉中考题)如图 6，E、F是正方形ABCD的边 AD上两个动点，满 足AE DF ，连结CF
5、交BD于点G，连结BE交AG于点H。若正方形的边长为2，则 线段DH长度的最小值是。 分析在确定动点H的轨迹时，需要我们先去证明90AHB。因为AEDF，易 证ABEDCF，得到DCFABE，由正方形对称性可知DAGDCG，得 到DCFDAG，所以90AHB. 再考虑到E、F是边AD上两个动点， 所以动点H的轨迹是以AB中点为圆心， 1 2 AB 为半径的 1 4 圆，连接OD，故可求得 DH 长度的最小值是51. 例 5 (2016 年宁波考纲 )如图 7，O半径为 3 , Rt ABC的顶点A，B在O上， 90B，点G在O内，且 3 tan 4 A，当点A在圆上运动时，OC的最小值为 （）
6、 (A)2(B) 3 2 (C) 3(D) 5 3 分析O是定点，C是动点， 确定点C的运动轨迹是本题的难点.延长AC交圆于点E, 连结EO并延长，交圆于点F，连结FB. 因为 3 tan 4 A，所以ACB为定值，即BCE为定值 . 因为O半径为 3，FA，所以 18 5 EB，符合定线定角定圆这种类型，故点C 的运动轨迹是过BCE，三点的圆弧且在O内部 . 不妨设圆心为 1 O，连结 1 O E， 1 OO 因为 1 180BCEDOD， 所以 1 180BCEO 易得 1= OACBFEB 所以 1 EO O为直角三角形， 且 1 4 tan 3 O 因为3OE 所以 11 915 44 O EO O，