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1、2012 年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析 +强化训练 方程和方程组的应用 知识讲解 1行程问题的几种类型及等量关系: （1）相遇问题：全路程=甲走的路程 +乙走的路程 （2）追及问题：若甲为快者，则被追路程=甲走的路程乙走的路程 （3）流水问题：船速+水速，逆流航速=船速水速 2工程问题的基本等量关系: 甲的工作量 +乙的工作量 =甲乙合作的工作总量，?工程问题通常把总工作量看作“1”， 解工程问题的关键是先找出单位时间内的工作效率 3浓度问题的基本等量关系: 浓度 = 溶质质量 溶液质量 100% 溶液质量 =溶质质量 +溶剂质量 4数学问题的等量关系: n 位数 12n aaa=
2、a110 n1+a 210 n2+, +a n 5增长率等量关系: 增长率 =（增量基础量）100% 6利润问题 : 利润 =销售价进货价；利润率= 利润 进货价 ；销售价 =（1+利润率）进货价 7利息问题 : 利息 =本金利率期数；本息和 =本金 +利息 8其他经济类问题 例题解析 例 1 （2004，黄冈市）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200 元，则不予优惠； （2）若一次购物满200 元，但不超过500 元，按标价给予九折优惠； （3）若一次购物超过500 元，其中500 元以下部分（包括500 元）给予九折优惠，超 过 500 元部分给予八折优惠 小李两
3、次去该超市购物，分别付款198 元和 554 元，现在小张决定一次性地购买和小李 分两次购买同样多的物品，他需付多少元？ 【分析】 首先要求出小李两次去超市购物付款198 元和 554 元的实际购物所值金额，因 为付款 198 元时，小李购物可能不超过200 元，也可能超过200 元，而付款554 元时，小李 购物肯定超过554 元，所以小李两次购物中，第一次购物有两种情况，?因此本题应分类求 解 【解答】（ 1）小李第一次购物付款198 元 当小李购买的物品不超过200 元时，不予优惠，此时实际购买198 元的物品； 当小李购买的物品超过200 元时，设小李购买x 元的物品，依题意可得： x
4、90%=198，解之，得x=220 即小李实际购买220 元的物品 （2）小李第二次购物付款554 元，因为554500，故第二次小李购物超过500 元， ? 设第二次小李购物y 元，依题意可得： （y500） 80%+50090%=554，解之得 y=630，即小李实际购买630 元的物品 当小张决定一次性购买和小李分两次购买同样多的物品时，?小张应购买的物品为： 198+630=828（元）或者220+630=850（元），此时应付款为： 50090%+（828500） 80%=712.4（元） 或者： 50090%+（850500） 80%=730（元） 答：小张应付款712.4 元或
5、730 元 【点评】解答本例要注意三点：（1）由于超市实际购物优惠，?所以顾客购买物品时， 所付金额数与购物金额数不一定相等；（ 2）?要根据付款金额数正确确定顾客购物时所符合 的优惠条款，从而利用该条款求出该顾客的购物金额；（3）?若顾客所付金额数属于两种或 两种以上优惠条款时，应分情况讨论求解，切忌遗漏 例 2 （2004，哈尔滨市）某通信器材商场，计划用60000 元从厂家购进若干部新型手 机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，?出厂价分别为甲种手机每部 1800 元，乙种手机每部600 元，丙种手机每部1200 元 （1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40 部，
6、并将 60000 元恰好用完， 请你 帮助商场计算一下如何购买； （2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40 部， 并将 60000 元恰好用完， 并且要求 乙种型号手机的购买数量不少于6 部且不多于8 部， ?请你求出商场每种型号的手机的购买 数量 【分析】（ 1）题中将60000 元恰好用完容易理解，?即所选的两种手机的总钱数等于 60000 元；共有三种不同型号的手机，购其中两种不同型号的手机共40 部，需要分三种情 况考虑：选甲，丙两种手机共40 部；选甲，丙两种手机共40 部；选乙，丙两种手机 共 40 部；（ 2）题中告诉了乙种手机买数的范围，?可得乙种手机的购买数量可能的取值为
7、 6，7，8，若设甲种手机购x 部，丙种手机购y 部，则可列3 个不同的方程组，即 640 1800600 6 120060000 xy xy 740 1800600 7120060000 xy xy 740 1800600 8 120060000 xy xy 【解答】 （1）选购甲，乙两种型号的手机，设甲种手机购x 部，乙种手机购y 部 ? 依题意： 40 180060060000 xy xy ，解这个方程组得 30, 10. x y 选购甲，丙两种型号的手机，设甲种手机购a 部，丙种手机购b 部 依题意，得 40 1800120060000 ab ab 解这个方程组，得 20, 20. a
8、 b 选购乙，丙两种型号的手机，设购乙种手机m 部，购丙种手机n 部，依题意得 40 600120060000 mn mn 解这个方程组，得 20, 60. m n （不合实际，舍去） 答：有两种购买方案：甲种手机购30 部，乙种手机购买10 部；甲种手机购20 部， 丙种手机购20 部 （2）由乙种手机的购买数量不少于6 部且不多于8 部，则乙种手机的购买数量有三种 可能，即6 部， 7 部， 8 部 设购甲种手机x 部，丙种手机y 部，由以上分析可列三个方程组： 640 1800600 6 120060000 xy xy 740 1800600 7 120060000 xy xy 740
9、1800600 8 120060000 xy xy 解方程组得： 26 8 x y ，解方程组：得 27 6 x y ，解方程组得： 28 4 x y 答：若购买乙种手机6 部，则甲种手机购26 部，丙种手机购8 部； ?若购买乙种手机7 部，则甲种手机购27 部，丙种手机购6 部；若购买乙种手机8 部，则甲种手机购28 部， ? 丙种手机购4 部 【点评】在现有的可能条件下，运用所学知识探寻最佳、最优方案，以获取最佳效益， 是每个经营者所追求的目标，也是每个学生走进社会后所应具备的基本素质，这类题体现了 素质教育的要求，必奖是今后中考的热点题型同时，本题只有题设条件，结论不具体、不 唯一，
10、这对解题思路的探寻也是一种挑战，解题者必须具备创造性思维，不能囿于传统解法 的限制 本例的解题关键在于依题合理分类考虑，不能漏掉存在的任何一种可能，其次是对所得 的结果检验，看其是否满足生活实际 例 3 为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工 程，创建国家城市绿化一体化城市某校甲， 乙两班师生前往郊区参加植树活动已知甲班 每天比乙班少种10 棵树，甲班种 150 棵树所用的天数比乙班种120 棵树所用的天数多2 天， 求甲，乙两班每天各植树多少棵？ 【分析】这是一道工程问题本题提供的关键信息有：甲班种150?棵树所用的天数= 乙班种 120 棵树所用的天数+2 天
11、；甲班每天植树的棵树+10 棵 =?乙班每天植树的棵树 我们可以从不同的角度入手 【解答】（ 1）从工作时间入手，寻求解题的途径（直接设解法）： 设甲班每天植树x 棵，那么乙班每天植树（x+10）棵 由中的数量关系列方程，得 150 x = 120 10x +2 150（x+10）=120x+2x （x+10） 150x+1500=120x+2x+20x 2x 210x1500=0 x 25x750=0 （x30）（ x+25）=0，x1=30，x2=25 经检验知： x1=30，x2=25 都是原方程的解但x=25 不符合题意舍去 当 x=30 时， x+10=40 （2）从工作效率入手，寻
12、求解题途径（间接设解法）： 设乙班植树x 天，那么甲班植树 （x+2）天，甲班每天植树 150 2x 棵，乙班每天植树 120 x 棵 由中的数量关系列方程得 150 2x +10= 120 x 去分母，整理，得x 2+5x24=0 解得 x1=8， x2=3，经检验： x1=8，x2=3 都是原方程的解 又 x0， x=8 舍去，只取x=3 150 2x =30（棵）， 120 x =40（棵） 答：甲班每天植树30 棵；乙班每天植树40 棵 强化训练 一、填空题 1某班学生为希望工程共捐款131 元，比每人平均2 元还多35 元，设这个班的学生有x 人，根据题意，列方程为_ 2一种药品经过
13、两次降价后，每盒的价格由原来的60 元降至48.6 元，那么平均每次降价 的百分率是 _ 3轮船顺水航行40km 所需的时间和逆水航行30km 所需的时间相同，?已知水流速度为 3km/h，设轮船在静水中的速度xkm/h，可列方程 _ 4杉杉打火机厂生产某种型号的打火机每只的成本为2 元，毛利润为25% ?工厂通过 改进工艺，降低成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，?则这种打火机每只 的成本降低了_元（精确到0.01 元，毛利率 = 售价成本 成本 100%） 5高温煅烧石灰石（CCO3）可以制取生石灰（ CaO）和二氧化碳（ CO2），?如果不考虑杂 质及损耗，生产生石灰14t 就
14、需要煅烧石灰石25t那么生产生石灰224t，?需要石灰石 _t 6为了绿色北京，北京市在执行严格的机动车尾气排放标准，同时正在不断设法减少工业 及民用燃料所造成的污染随着每年10 亿 m 3 的天然气输到北京，?北京每年将少烧300 万 t 煤，这样，到2006 年底，北京的空气质量将会基本达到发达国家城市水平某单位 1 个月用煤30t，若改用天然气，1 年大约要用 _m 2 的天然气 7李明计划在一定日期内读完200 页的一本书，读了5 天后改变了计划，每天多读5 页， 结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书 解题方案 设李明原计划平均每天读书x 页，用含x 的代数式表示： （ 1）李
15、明原计划读完这本书需用_天； （ 2）改变计划时，已读了_页，还剩 _页； （ 3）读了 5 天后，每天多读5 页，读完剩余部分还需_天； （ 4）根据问题中的相等关系，列出相应方程_； （ 5）李明原计划平均每天读书_页（用数字作答） 8依法纳税是公民应尽的义务，根据我国税法规定，工资所得不超过1600 元不必纳税， 超 过 1600 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表累加计算： 全月应纳税所得额税率 不超过 500 元部分5% 超过 500 元至 2000 元的部分10% 超过 2000 元至 5000 元的部分15% , 某人本月纳税150.1 元，则他本月的工资收入为_元 二、
16、选择题 9一件商品按成本价提高40%后标价，再打8 折（标价的80%）销售，售价为240 元 ? 设这件商品的成本价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（） Ax40% 80%=240 Bx（1+40%） 80%=240 C24040%80%=x Dx40%=240 80% 10刘刚同学买了两种不同的贺卡共8 张，单价分别是1 元和 2 元，共用 10 元， ?设刘刚买 的两种贺卡分别为x 张， y 张，则下面的方程组正确的是（） A 10 2 8 y x xy B 12 8 210 xy xy C 10 28 xy xy D 8 210 xy xy 11小萍要在一幅长90cm，宽 40
17、cm 的风景画的四周外围，?镶上一条宽度相同的金色纸边， 制成一幅挂图（图45），使风景画的面积是整个挂图面积的54%?设金色纸边的宽 为 xcm，根据题意所列方程为（） A（ 90+x）（ 40+x ） 54%=9040 B（ 90+2x）（ 40+2x） 54%=9040 C（ 90+x）（ 40+2x） 54%=9040 D（ 90+2x）（ 40+x） 54%=9040 12某商场第一季度的利润是82.75 万元，其中一月份的利润是25 万元，若利润平均月增 长率为 x，则依题意列方程为（） A25（1+x） 2=82.75 B25+50x=82.75 C25+75x=82.75 D2
18、51+（ 1+x）+（1+x）=82.75 13为了贫困家庭子女能完成初中作业，国家给他们免费提供教科书，?下表是某中学免费 提供教科书补助的部分情况： 七八九合计 每人免费补助金额/元109 94 47.5 人数 /人40 120 免费补助总金额/元1900 10095 若设获得免费提供教科书补助的七年级为x 人，八年级为y 人，根据题意列出方程组为 （） A 40120 10994190010095 xy xy B 120 1099410095 xy xy C 40 109941900 xy xy D 1099440120 190010095 xy xy 14古代有这样一个寓言故事：驴和骡
19、子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是 一样重的驴抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，?那我所负担 的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴原来所驮货物的 袋数是（） A5 B 6 C7 D8 15 A，B 两地相距450km，甲，乙两车分别从A，B 两地同时出发，相向而行，已知甲车 速度为 120km/h，乙车速度为80km/h，经过 th 两车相距50km，则 t 的值是（） A2 或 2.5 B2 或 0 C10 或 12.5 D2 或 12.5 16某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法： （1）一次购买金额不超过1 万元，不予优惠
20、； （2）一次购买金额超过1 万元，但不超过3 万元，给九折优惠； （3）一次购买超过3 万元的，其中3 万元九折优惠，超过3 万元的部分八折优惠 某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买原料付示7800?元，?第二次购买付款26100 元，如果他是一次购买同样数量的原料，可少付金额为（） A1460 元B1540 元C1560 元D2000 元 三、解答题 17（ 2005，湘潭市） 2004 年年底，东南亚地区发生海啸，给当地人民带来了极大的灾难， 听到这个消息， 某校初中毕业班中的30 名同学踊跃捐款，支援灾区人民 其中女同学共 捐款 150 元，男同学共捐款120 元，男同学比女同学平均
21、每人少捐款2 元，男， ?女同学 平均每人各捐款多少元？ 18（ 2008，温州）某皮鞋专卖店老板对第一季度男女皮鞋的销售收入进行统计，?并绘制 了扇形统计图（图46），由于三月份开展促销活动，男，女皮鞋的销售收入分别比二 月份增长了40%，64%，已知第一季度男女皮鞋的销售总收入为200 万元 （ 1）一月份销售收入_万元，二月份销售收入_?万元， ?三月份销售收入_万元； （ 2）二月份男，女皮鞋的销售收入各是多少万元？ 19（ 2005，海南省）在当地农业技术部门指导下，小明家增加种植菠萝的投资，使今年的 菠萝喜获丰收 图 47 所示是小明爸爸，妈妈的一段对话请你用学过的知识帮助小明 算
22、出他们家今年菠萝的收入（收入投资=净赚） 20 （2005， 武汉市） 武汉江汉一桥维修工程中，拟由甲， 乙两个工程队共同完成某项目从 两个工程队的资料可以知道：若两个工程队合做24 天恰好完成；?若两个工程队合做18 天后，甲工程队再单独做10 天，也恰好完成请问： （1）甲，乙两个工程队单独完成该项目各需多少天？ （2）又已知甲工程队每天的施工费为0.6 万元，乙工程队每天的施工费为0.35?万元， 要使该项目总的施工费不超过22 万元，则乙工程队最少施工多少天？ 21（ 2008，连云港）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲，乙两市，两厂原来每周 生产帐篷共9 千顶，现某地震灾区急需帐
23、篷14 千顶，?该集团决定在一周内赶制出这批 帐篷为此，全体职工加班加点，?总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1.6 倍， 1.5 倍，恰好按时完成了这项任务 （ 1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？ （ 2）现要将这批帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A，B 两地， ?由于两市通往A， B 两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同，已知运送帐篷每千顶所需的车辆数， 两地所急需的帐篷数如表所示： A 地B 地 每千顶帐篷 所需车辆数 甲市4 7 乙市3 5 所急需帐篷数（单位：千顶） 9 5 请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少说明理由，并求出最少车辆总数 22
24、（ 2008，广州市） 2008 年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队 要到 30km 远的郊区进行抢修维修工骑摩托车先走，15min 后，抢修车装载所需材料 出发，结果两车同时到达抢修点已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5 倍，求这两种 车的速度 答案 12x+35=131 210% 3 40 3x = 30 3x 40.21 5400 61.210 5 7（ 1） 200 x （2） 5x，2005x （3） 2005 5 x x （4） 200 x （ 2005 5 x x +5）=1 （ 5）20 83101 9B 10D 11B 12D 13A 14A 15A 16
25、A 17设男同学平均每人捐款x 元，则女同学平均每人捐款为（x+2）元 依题得： 150120 2xx =30 化简得： x 27x 8=0 解之得 x=1 或 x=8 经检验它们都是原方程的根，但x=10（舍去） 答：男同学平均每人捐款8元，女同学平均每人捐款10 元 18（ 1）50；60；90 （ 2）解：设二月份男，女皮鞋的销售收入分别为x 万元， y 万元，根据题意，得 60 (1 40%)(1 64%)90 xy xy 解得 35 25 x y 答：二月份男，女皮鞋的销售收入分别为35 万元， 25 万元 19设小明家去年种植菠萝的收入为x 元，投资y 元，依题意，得 8000 (
26、1 35%)(1 10%)11800 xy xy 解方程组，得 12000 4000 x y 小明家今年菠萝的收入应为： （1+35%）x=1.3512000=16200 元 20（ 1）设甲工程队单独完成该项目需x 天，乙工程队单独完成该项目需y 天 依题意得 2424 1 181810 1 xy xyx ，解之得 40 60 x y 经检验 40 60 x y 是原方程的解，并且符合题意 答：甲，乙两工程队单独完成此项目各需40 天， 60 天 （ 2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b 天时总的施工费用不超过22 万元， ? 根据题意得 1 4060 0.60.3522 ab ab 解之
27、得 b40 答：要使该项目总的施工费用不超过22 万元，乙工程队最少施工40 天 21（ 1）设总厂原来每周制作帐篷x 千顶，分厂原来每周制作帐篷y 千顶 由题意，得 9, 1.61.514, xy xy 解得 5, 4. x y 所以 1.6x=8（千顶）， 1.5y=6（千顶） 答：在赶制帐篷的一周内，总厂，分厂各生产帐篷8 千顶， 6 千顶 （ 2）设从（甲市）总厂调配m 千顶帐篷到灾区的A 地，则总厂调配到灾区B?地的帐篷 为（ 8m）千顶，（乙市）分厂调配到灾区，A，B 两地的帐篷分别为（9m）千 顶和（ m3）千顶甲，乙两市所需运送帐篷的车辆总数为n 辆 由题意，得n=4m+7（8m）+3（9 m） +5（m3）（ 3 m 8）， 即 n=m+68（3m8） 因为 10，所以 n 随 m 的增大而减小 所以，当 m=8 时， n 有最小值60 答：从总厂运送到灾区A 地帐篷8 千顶，从分厂运送到灾区A，B 两地帐篷分别为1 千顶， 5 千顶时所用车辆最少，最少的车辆为60 辆 22设抢修车的速度为xkm/h，则吉普车的速度为15xkm/h 由题意得 151515 1.560xx ，解得 x=20 经检验， x=20 是原方程的解，且x=20，1.5x=30 都符合题意 答：抢修车的速度为20km/h，吉普车的速度为30km/h