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1、考点一、概念 (1) 定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的 整式方 程就是一元二次方程。 (2) 一般表达式：)0(0 2 acbxax 难点： 如何理解“未知数的最高次数是2” ： 该项系数不为“0” ； 未知数指数为“2” ； 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以 讨论。 典型例题 ： 例 1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A 1213 2 xxB 02 11 2 xx C 0 2 cbxaxD 12 22 xxx 变式： 当 k 时，关于 x 的方程32 22 xxkx是一元二次方程。 例 2、方程0132mxxm m
2、是关于 x 的一元二次方程，则m 的值为。 针对练习： 1、方程78 2 x的一次项系数是，常数项是。 2、若方程02 1m xm是关于 x 的一元一次方程， 求 m 的值；写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程11 2 xmxm是关于 x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 4、若方程nx m +x n -2x 2 =0 是一元二次方程，则下列不可能的是（） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解 概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 应用： 利用根的概念求代数式的值； 典型例题 ： 例 1、已知32 2 yy的值为 2，则
3、124 2 yy的值为。 例 2、关于 x 的一元二次方程042 22 axxa的一个根为0，则 a 的值为。 说明： 任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例 3、已知关于x 的一元二次方程00 2 acbxax的系数满足bca，则此方程 必有一根为。 说明： 本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1 ”巧解代数 式的值。 例 4、已知ba,是方程04 2 mxx的两个根，cb,是方程058 2 myy的两个根， 则 m 的值为。 针对练习： 1、已知方程010 2 kxx的一根是2，则 k 为，另一根是。 2、已知关于x 的方程02 2 kxx的一个解与方
4、程3 1 1 x x 的解相同。 求 k 的值； 方程的另一个解。 3、已知 m 是方程01 2 xx的一个根，则代数式mm 2 。 4、已知a是013 2 xx的根，则aa62 2 。 5、方程0 2 acxcbxba的一个根为（） A 1B 1 C cb D a 6、若 yx 则yx324,0352。 考点三、解法 方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 关键点： 降次 类型一、直接开方法：mxmmx,0 2 对于max 2 ， 22 nbxmax等形式均适用直接开方法 典型例题 ： 例 1、解方程：; 0821 2 x 2 16252x=0; ;0913 2 x 例 2、解关于x
5、 的方程：0 2 bax 例 3、若 22 21619xx，则 x 的值为。 针对练习： 下列方程无解的是（） A.123 22 xxB.02 2 xC.xx132D.09 2 x 类型二、因式分解法:0 21 xxxx 21, xxxx或 方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ， 方程形式：如 22 nbxmax，cxaxbxax， 02 22 aaxx 典型例题 ： 例 1、3532xxx的根为（） A 2 5 xB 3xC 3, 2 5 21 xxD 5 2 x 例 2、若04434 2 yxyx，则 4x+y 的值为。 变式 1： 2222 2 22 , 06b则ab
6、aba。 变式 2：若14 2 yxyx，28 2 xxyy，则 x+y 的值为。 例 3、方程06 2 xx的解为（） A.23 21，x xB.23 21，x xC.33 21，x xD.22 21，x x 例 4、解方程：0432132 2 xx 例 5、已知0232 22 yxyx,则 yx yx 的值为。 变式 ：已知0232 22 yxyx,且0,0 yx,则 yx yx 的值为。 针对练习： 1、下列说法中： 方程0 2 qpxx的二根为 1 x， 2 x，则)( 21 2 xxxxqpxx )4)(2(86 2 xxxx. )3)(2(65 22 aababa )()( 22
7、yxyxyxyx 方程07) 13( 2 x可变形为0)713)(713(xx 正确的有（） A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 2、以71与71为根的一元二次方程是（） A062 2 xxB062 2 xx C062 2 yyD062 2 yy 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数x、y 满足023yxyx，则 x+y 的值为（） A、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D 、1 或 2 5、方程：2 1 2 2 x x的解是。 类型三、配方法00 2 acbxax 2
8、2 2 4 4 2a acb a b x 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。 典型例题 ： 例 1、试用配方法说明32 2 xx的值恒大于0。 例 2、已知 x、y 为实数，求代数式742 22 yxyx的最小值。 例 3、已知， x、yyxyx01364 22 为实数，求 y x的值。 例 4、分解因式：3124 2 xx 针对练习： 1、试用配方法说明4710 2 xx的值恒小于0。 2、已知04 11 2 2 x x x x，则 x x 1 . 3、若91232 2 xxt，则 t 的最大值为，最小值为。 1、关于 x 的方程 2 0xpxq 的
9、两根同为负数，则（） A 0p 且 q 0 B 0p 且 q 0 D 0p 且 q 0 2、如果方程 02 2 mxx 有两个同号的实数根，则 m的取值范围是 （） A、 m1 B 、 0 m1 C 、 0 m1 D 、m0 类型四、公式法 条件：04, 0 2 acba且 公式： a acbb x 2 4 2 ,04,0 2 acba且 典型例题 ： 例 1、选择适当方法解下列方程： . 613 2 x.863 xx014 2 xx 0143 2 xx5211313xxxx 说明： 解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式 法；一般不选择配方法。 例 2、在实数范
10、围内分解因式： （1）322 2 xx；（ 2）184 2 xx. 22 542yxyx 说明： 对于二次三项式cbxax 2 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解， 一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax 2 =0，求出两根，再写成 cbxax 2 = )( 21 xxxxa. 分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、“降次思想”的应用 求代数式的值；解二元二次方程组。 典型例题 ： 例 1、已知023 2 xx，求代数式 1 11 23 x xx 的值。 例 2、如果01 2 xx，那么代数式72 23 xx的值。 例 3、已知a是一元二次方程
11、013 2 xx的一根，求 1 152 2 23 a aaa 的值。 说明： 在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进 行灵活的变形；能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次 幂，最后求解。 例 4、用两种不同的方法解方程组 )2(. 065 ) 1(,62 22 yxyx yx 说明： 解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题 . 考点四、根的判别式acb4 2 根的判别式的作用： 定根的个数； 求待定系数的值； 应用于其它。 典型例题 ： 例 1、若关于x的方程012 2 xkx有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。