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1、刘 云 摘要：本文究现行管理会计、财务管理、项目投资管理中的资金时间价值净现值基础上的内含报酬率计算公式：一般公式和特殊公式的数学原理和命名变更、推导过程省略等问题，提出了该公式的原貌，描述了该公式的真正数学意义上的线性学名。相关教科书应将该知识点的来龙去脉作为附录内容加以补充，并予加以注引，以示该知识点的完整和对国人知识产权的尊重。关键词：内含报酬率 一般公式 特殊公式 解析公式Irr calculation formula of the correct nameChongqing university of science and technology research and devel
2、opment center of accounting Liu yunZhejiang east vocational technical college WangXinPingAbstract: This paper investigates the current administration, accounting, financial management, project investment management of capital time-value based on net present value of the formula for calculating the i
3、rr: the general formula and special formula of mathematical principle and named alteration, derivation omit etc., and puts forward the original formula, describes the true meaning of mathematical formula of linear name. This knowledge should be related textbooks context as appendix content, and give
4、 them to the knowledge, note the integrity of the intellectual property rights and the respect.Keywords: Irr general formula special formula analytical formula一、内含报酬率计算公式讨论背景IRR，是Internal Rate of Return的缩写，相关书籍中，有的翻译为“内部报酬率”，有的翻译为“内含报酬率”，还有的译为“内部收益率”（以下称“内含报酬率”用IRR表示）。它是评价长期投资报酬情况的重要财务指标。计算内含报酬率是长期投
5、资决策分析中重要方法之一，它优于其他投资分析的主要原因在于：计算中考虑到资金的投入和报酬、投资回收的时间价值。其理论介绍多见于管理会计、财务管理、项目投资可行性研究、投资决策等教科书，其计算方法多囿于插值法（内插值法、外插值法）、几何法（平面几何相似三角形线段比）。关于内含报酬率的解法问题，一些会计刊物成绩展开纷纷扬扬、连篇累牍的讨论。以下笔者将多年来相关课题研究的成果内含报酬率新的解法理论介绍于后。以使这一知识点更加科学，使相关教科书更加完整。翻开财政部会计资格评价中心编，全国会计专业技术资格考试辅导用书中级会计资格财务管理可知，现行的会计师资格考试已不再有管理会计课目考试了，取而代之的是财
6、务管理。通过两本书两个教科书课程比较可知，现存的财务管理较管理会计只是在概论、证券投资（管理会计曰短期投资）和财务杠杆运用之细微处不同外，其余内容基本相同。其中对IRR的计算公式称其名“特殊方法”、“一般计算方法”（详见中国财政经济出版社出版2004年11月第1版财务管理第242至245页），全国会计专业技术资格考试辅导教材中级会计资格财务管理2007年版本，新版亦如是；所有书没有就此问题只列公式的结果而无推导过程，没有向读者、考生交代清楚。笔者觉得有必要予以把推导过程和其真正学名交代给读者；否则有失其科学性、完整性。因为该课题讨论曾源于财务与会计杂志，但本文所推导的结果并未在贵刊刊发。旧话重
7、提，也是对我国数十万会计师职称考试的考生负责，对管理会计、财务管理学科负责。1996年财务与会计开展了一次颇具民主学术氛围的IRR计算方法讨论，于当年第2期刊载了周其亚同志的内含报酬率新解法几何法，主要是用几何相似比的方法计算内含报酬率；同年第4期刊载了于慧源、朱启莲同志的求内部收益率的“外插法”，主要解决的是外插值折现率试算在IRR同向的解法；又于同年第10期刊载了乔元芳、陈勇同志的关于内含报酬率求解方法的数学推导，主要贡献在于解决IRR与净现值之间的数学关系特征。作为全国财务会计权威性的刊物，连续在同一个年份内刊出多篇关于IRR计算方法问题的讨论，这是前所未有的。在此前，我国相关专业书籍对
8、IRR的计算也多有介绍，如李天民老师介绍其解法，主要是内插值法；余绪缨老师介绍的计算公式虽已初具完形，但其计算公式还带有绝对值符号（是从解析几何相似形线段比得出的）。作者于八十年代的学生时期，对管理会计颇感兴趣，并蒙业师李天民教授的指点和激励，曾对IRR计算公式作过专门研究，惜研究成果因种种原因，未能在相关刊物见刊。今旧话重提，一是觉得财务管理所述相关内容应当完善，IRR的计算公式学名并非是“特殊方法”亦非“一般计算方法”，应还IRR计算公式本来面目，予以正名。二是认为应将其计算公式的来龙去脉交代给读者，使读者知其然，更知其所以然。不能只讲结果，不讲理论依据和推导过程。笔者曾有内含报酬率计算方
9、法新探文在境外专业期刊发表，文中究内含报酬率计算问题，专门作过探讨，为便于完善财务管理和相关管理会计教辅书的内容，便于报考会计师职称的读者理解，作者以为有必要内含报酬率的解析公式法介绍给读者，一是完善了相关书籍关于这一计算方法的科学性；二是便于作者知其然，更知其所以然。二、内含报酬率计算公式的数学描述内含报酬率是指项目寿命期内，资金流入量的现值总额与资金流出量现值总额相等面净现值等于零时的折现率。现金净流量则是项目投资所引起的未来的现金流入量减流出量后的净额。为便于公式的推导，将下文中所涉及的因素用以下符号表示：N-净现值；NCFt第t期的现金净流量；i利息率，折现率；NCF0初始投资额；I-
10、内含报酬率；n项目有效期；a、b、c分别为常数。根据现金净流量及净现值定义，净现值的通项公式可用以下关系式表示：N=NCF1（1+i）-1+ NCF2（1+i）-2+ NCFt（1+i）-t NCF0= （1） 下面我们来看i变动对N的影响，也即讨论值现值与折现率、折现率与内含报酬率的关系：当i=0时：N0=(1+i)-t-NCF0 =- NCF0 (2) 即当折现率趋于零时，净现值恰是未折现的现金流入量与流出量之间的差。当i=I时NI= (1+i)-t-NCF0=0 (3) 即内含报酬率正是净现值为零时的折现率，它表明了折现率与内含报酬率的关系。当i时：N=(1+i)-t-NCF0=-NCF
11、0 （4）表明净现值趋于原始投入的相反值，现金流入量趋于零，N的值趋于N=-NCF0直线。以上i变动与净现值的关系，以及折现率与内含报酬率的关系，可用解析图一表示：由以上数学分析和图示解析可见：i由0时，N由N0NCF0，N随i增大而减少，随i减小而增大，这说明净现值与折现率之间存在着反比例曲线关系。(0，N0)净现值与折现率的关系线P（I,0）内含报酬率点(0,0) i (0,NCF0) N-NCF0三、关于内含报酬率的近似值现行的内含报酬率的解多采用插值法（也有用平面几何相似三角形线段比求得），其实质是以直代曲，故通常我们求出的“内含报酬率” 是其近似值，即净现值与折现率之间虽是反比例曲线
12、关系，但我们假设小区间内或瞬间表现为直线，这样就可以求出I的近似值。以下，我们通过图示和计算实例来讨论选择不同测试点对内含报酬率的影响。例某企业拟投资340万元建一产业项目，投资建设期为0年。项目有效经营期为10年，期末无残值，每年的现金净流量为60万元。即已知：N0=340，N110=60，n=10。则该投资项目在不同折现率条件下的净现值如下表所示：折现率(i)10%11%12%13%14%年金值系数3.1455.8895.6505.4265.216净观值（I）28.713.34-1-14.44-27.04当测试值选择在P两侧临近点：11%、12%时，则内插法计算（见解析图示二）图示二：NA
13、(11%，13.34)C(i，0)i(0，0)P（I，0）B（12%，-1）折现率：净现值：x=13.34/14.34=0.930265i=11%+0.930365%=11.930265%这里“以直代曲”计算出的i=11.930265I，它只是内含报酬率的近似值。当选择测试值在P点一侧（同向）10%、11%时，适用外插法计算（见解析图三）图示三：NA(10%，28.7)B(11%，13.34) (0，0) iC（i，0）折现率：净现值：x/(1+x)=13.34/28.7x=13.34/15.36=0.86849i=11%+0.86849%=11.86849%可见，求得的内含报酬率的近似值i1
14、1.930265%I。通过以上选择不同测试点计算结果比较得知：(1)“以直代曲”计算出的i值，只是I的近似值；（2）当测试点选择在P点两侧时，计算出的内含报酬率的近似值大于I；（3）当测试点选择在P点同侧时，计算出的内含报酬率的近似值i小于I；(4)测试点越临近P点，其近似于I的值精确度越高。四、内含报酬率解析公式法1内含报酬率计算解析公式法是以直代曲，直线性方程式。理论依据。设净现值与折现率之间存在着直线性关系，有ai+bN=C成立，那么只要测算出两点A、（i，N1）、B（i2，N2），就能得出净现值与折现率的特定式；再根据N=0时，求出i即内含报酬率I的近似值，其解析图形见图示五。由A、B
15、两点知： N A(i1，N1)AB：ai+bN=c内含报酬率点P(i,0) B(i2，N2) i（5）-（6）得：a(i1-i2)+b(N1-N2)=0 b/a=-(i1-i2)/(N1-N2) (7) 又c/a=i1+N1b/a=i1-N1(i1-i2)/(N1-N2) (8)将一般式变为：i=c/a-Nb/a 将（7）、（8）代入上式得：i=i1-N1(i1-i2)/(N1-N2)+ (i1-i2)N/(N1-N2)= i1+(N1-N) (i1-i2)/(N1-N2) (9） 当N=0时 i= i1+N1(i1-i2)/(N1-N2) （10） 上式中的公式（9），就是财政部会计资格评价
16、中心编财务管理（2007年版本）P99,所述的“内部收益率指标计算的特殊方法”公式列示为： 该书的P100-101所述的“内部收益率指标计算的一般方法”公式列示为： 这个计算公式实际就是，本文所推导出的上式（10）实例计算。为便于与“插值法”计算结果对比，仍用以上例题，并选相应的测试点代入计算。(1)取折现率分别为11%、12%的测试值代入(10)式：i=11%+13.34(12%-11%)/13.34-(-1)=11%+13.34/1434=11.930265%(2)取折现率分别为10%、11%的测试值代入(10)式：i=10%+28.7(11%-10%)/(28.7-13.34)=10%2
17、8.7/1536=11.86849%(3)取折现率分别为10%、14%的测试值代入(10)式：i=10%+28.7(14%-10%)/28.7-(-27.04)=10%+0.0205956=12.05956%五、内含报酬率解析公式法2内含报酬率解析公式法，是反比例曲线性方程式，即以曲代曲解析公式法。理论依据。根据净现值通项公式(1)，假设折现率与净现值的关系可用以下反比例曲线方程式描述：N=a/(1+i)+b式中分母中加1，一是考虑微量参数，不会影响计算的结果，同时不至于使在代数转换过程中使之不会互约，采用分母加微法；二是加1相当于报酬率是百分数之上的。同样，我们只要测试两次，就可计算出内含报
18、酬率的近似值，其解析图见图示六其公式推导如下：已知：A(i1，N1)、B(i2、N2)两点图示六：NA(i1，N1) N=a/(1+i)+b内含报酬率点P(i，0)(0，0) B(i2，N2) i有由（11）-（12）得：N1-N2=a(1+i1)-1-(1+i2)-1a=(N1-N2)(1+i1)(1+i2)(i2-i1)-1 (13) 将(13)代入(11)得：b=N1-(N1-N2)(1+i1)(1+i2)(i2-i1)-1 (14) 当N=0时，I=-(a+b)/b （15） 将(13)、（14）代入(15)得：i=i2N1(i1+1)-i1N2(i2+1)/N1(i1+1)-N2(i
19、2+1) (16) 实例计算选折现率分别为11%、12%的测试值代入(16)式（仍用插值法中举例）i=11.92968%选折现率分别为10%、11%的测试值代入(16)式：i= =11.88336%选择折现率分别为10%、14%的测试值代入(16)式：i= =754.34/6280.6=12.01064% 六、内含报酬率计算公式研究结论 三种方法计算结果比较以上三种方法取相同测试点的计算结果见下表：采用方法与取点两侧近点测试值同向测试值两侧远点测试值插值法（或几何法）（以直代曲）11.930265%11.86849%12.05956%解析公式法1（以直代曲）11.930265%11.86849
20、%12.05956%解析公式法2（以曲代曲）11.92968%11.88336%12.01064%公式法2与以上方法计算结果比较-5.8510-51.48710-4-4.89210-4计算结果表明：1. “插值法”、“几何法”、“解析公式法1”，实质都是以直代曲的比例法，计算结果一致；1.在以直代曲的计算中，测试值临近P点（内含报酬率点）两侧时，救出的II，而采用以曲代曲解析公式法2计算出的i小于用以上各法计算出的内含报酬率近似值，这说明公式法2计算出的结果精确度高；3.当测试值取P点同向一侧时，以直代曲计算出的i=40（即E3=40）”，在true内输入800，在false内输入600，确定
21、（其余行可以采用填充柄完成，或重复上述的顺序）选择实发工资项下的一个单元格，输入“=基本工资（在该行的单元格名）+奖金（同上）-住房基金（同上）-保险费（同上）”，确认（回车）（其余单元格采用填充柄完成，或重复上述顺序）保存文件本题完成11. If函数的应用：根据教师工作表教师职称确定其职务津贴练习Excel2003P140：Excel2003电子表格的编辑操作2. 排序3. （1）打开当前试题目录下文件excel-24.xls；（2）在B4单元格内键入数字“45637”；（3）表格所有数字格式为带1位小数格式（如：23456.0）；（4）将Sheet1的所有内容复制到工作表Sheet2的相应
22、单元格内，并以“电器”为关键字，对四个季度所有数据递减排序；（5）同名存盘。打开当前试题目录下文件excel-24.xls点B4单元格，输入“45637”选中表格内的所有数字格式，点右键，点设置单元格格式，点数字，设小数位为1，确定全选SHEET1（即当前的文件），点复制，点开SHEET2，点当前页面的左上角的单元格，点粘贴点“电器”单元格，点表格，点排序，主要关键字下选择电器，点降序，确定保存文件本题完成4. （1）打开当前试题目录下文件excel-29.xls；（2）根据工作表中数据，在B4单元格内键入数据“2580”；（3）表格数字数据设置为“0,000.0”的格式；（4）以“1997年
23、”为关键字，对不同规格所有相应数据进行递减排序；（5）同名存盘。打开当前试题目录下文件excel-29.xls点B4单元格，输入“2580”选中表格内的所有数字格式，点右键，点设置单元格格式，点数值，设小数位为1，点使用千分分隔符为有效，确定点“1997年”单元格，点表格，点排序，主要关键字下选择1997，点降序，确定保存文件本题完成5. （1）打开当前试题目录下文件excel-33.xls；（2）根据工作表中数据，在E4单元格内键入数据“商务出版社”；（3）将SHEET1所有内容复制到工作表SHEET2的相应位置，并以“单价”为关键字，递减排序；（4）同名存盘。打开当前试题目录下文件exce
24、l-33.xls点E4单元格，输入“商务出版社”全选SHEET1（即当前的文件），点复制，点开SHEET2，点当前页面的左上角的单元格，点粘贴点“单价”单元格，点表格，点排序，主要关键字下选择单价，点降序，确定保存文件本题完成6. （1）打开当前试题目录下文件excel-23.xls；（2）根据工作表中数据，在A4单元格内键入数据“李四”；（3）“总成绩”列数据都设置为带一位小数格式；（4）将所有内容复制到SHEET2工作表中相应单元格，并以“总成绩”为关键字递增排序；（5）同名存盘。打开当前试题目录下文件excel-23.xls点A4单元格，输入“李四”选中总成绩列的全部数据，点右键，点设置
25、单元格格式，点数字，点数值，设小数位为1位，确定全选SHEET1（即当前的文件），点复制，点开SHEET2，点当前页面的左上角的单元格，点粘贴点“总成绩”单元格，点表格，点排序，主要关键字下选择总成绩，点升序，确定保存文件本题完成7. （1）打开当前试题目录下文件excel-36.xls；（2）根据工作表中数据，在A4单元格内键入数据“狮子座”；（3）A4单元格数据格式与该列其它相应数据格式保持一致；（4）将SHEET1的所有内容复制到SHEET2中，并以“赤纬（度）”为关键字，递减排序；（5）同名存盘。打开当前试题目录下文件excel-36.xls点A4单元格，输入“狮子座”选中A4单元格所
26、在列的其他单元格，点格式刷，点A4单元格全选SHEET1（即当前的文件），点复制，点开SHEET2，点当前页面的左上角的单元格，点粘贴点“赤纬（度）”单元格，点表格，点排序，主要关键字下选择赤纬（度），点降序，确定保存文件本题完成8. （1）打开当前试题目录下文件excel-21.xls；（2）根据工作表中数据，在B5单元格内键入数据2719840；（3）B列、C列数字都以单元格格式中货币类的“￥”货币符号、小数点后2位小数表现（如：￥3,200,000.00”）；（4）将所有内容拷贝到SHEET2中相应位置，并按关键字“增长率”递减排序；（5）同名存盘。打开当前试题目录下文件excel-21
27、.xls点B5单元格，输入“2719840”选中B、C列下的数字（单元格），点右键，点设置单元格格式，点数字，点货币，设货币符号为“￥”，设小数点位为2位，采用千分隔符，确定全选SHEET1（即当前的文件），点复制，点开SHEET2，点当前页面的左上角的单元格，点粘贴点“增长率”单元格，点表格，点排序，主要关键字下选择增长率，点降序，确定保存文件本题完成9. （1）打开当前试题目录下文件excel-30.xls；（2）根据工作表中数据，在C4单元格内键入数据“3650”；（3）所有数字所在格式为0,000.0格式；（4）将SHEET1的所有内容复制到SHEET2相应单元格并以“木材”为关键字，
28、递减排序；（5）同名存盘。打开当前试题目录下文件excel-30.xls点C4单元格，输入“3650”选中所有数字单元格，点右键，点设置单元格格式，点数字，点数值，设小数位为1位，采用千分隔符，确定全选SHEET1（即当前的文件），点复制，点开SHEET2，点当前页面的左上角的单元格，点粘贴点“木材”单元格，点表格，点排序，主要关键字下选择增长率，点降序，确定保存文件本题完成10. （1）打开当前试题目录下文件excel-27.xls；（2）根据工作表中数据，在B3单元格内键入数据“1000200015”；（3）设置报价列数据带1位小数格式；（4）将所有内容复制到工作表SHEET2的相应位置，
29、并以“报价”为关键字，递减排序；（5）同名存盘。打开当前试题目录下文件excel-27.xls点B3单元格，输入“1000200015”选中报价列下的数字单元格，点右键，点设置单元格格式，点数字，点数值，设小数位为1位，确定全选SHEET1（即当前的文件），点复制，点开SHEET2，点当前页面的左上角的单元格，点粘贴点“报价”单元格，点表格，点排序，主要关键字下选择报价，点降序，确定保存文件本题完成11. （1）打开当前试题目录下文件excel-22.xls；（2）根据工作表中数据，在E8单元格内键入数据40115.7；（3）“房价款（元）”列数字都以单元格格式中货币类的“￥”货币符号、小数点
30、后2位小数表现（如：￥44,886.20）；（4）将所有内容拷贝到SHEET2中的相应单元格内，并按关键字“房价款”递增排序；（5）同名存盘。打开当前试题目录下文件excel-22.xls点E8单元格，输入“40115.7”选中“房价（元）”列下的数字单元格，点右键，点设置单元格格式，点数字，点货币，设货币符号为“￥”，设小数位为2位，确定全选SHEET1（即当前的文件），点复制，点开SHEET2，点当前页面的左上角的单元格，点粘贴点“房价款”单元格，点表格，点排序，主要关键字下选择房价款，点升序，确定保存文件本题完成12. 图表13. （1）打开当前试题目录下文件excel-47.xls；（2）根据工作表中数据，建立折