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1、精品文档 精品文档 八年級數學上冊壓軸題訓練 1.問題背景： 如图 1： 在四边形ABC 中， AB=AD， BAD=120 ， B=ADC=90 E， F 分别是 BC， CD 上点且 EAF=60 探 究图中线段BE，EF，FD 之间数量关系 小王同学探究此问题方法是，延长FD 到点 G使 DG=BE连结 AG，先证明 ABE ADG，再证明 AEF AGF，可得出结论，他结论应是； 探索延伸： 如图 2，若在四边形ABCD 中， AB=AD， B+D=180 E，F 分别是 BC，CD 上点，且EAF=BAD， 上述结论是否仍然成立，并说明理由； 實際應用： 如图 3，在某次军事演习中，
2、舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70 B 处，并且两舰艇到指挥中心距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里 /小时速度前进，舰艇 乙沿北偏东50 方向以80 海里 /小时速度前进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F 处， 且两舰艇之间夹角为70 ，试求此时两舰艇之间距离 精品文档 精品文档 2.【问题提出】学习了三角形全等判定方法（即“ SAS” 、 “ ASA” 、“ AAS ” 、“ SSS” ）和直角三角形全等判定方法 （即 “ HL” ）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边对角对应相等”情形进行研究 【初步
3、思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC 和DEF 中， AC=DF，BC=EF， B=E，然后， 对 B 进行分类，可分为“B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究 【深入探究】第一种情况：当B 是直角时， ABC DEF (1)如图 ，在 ABC 和DEF ，AC=DF， BC=EF， B=E=90 ， 根据，可以知道RtABCRtDEF 第二种情况：当B 是钝角时， ABC DEF (2)如图 ，在ABC 和DEF ，AC=DF ，BC=EF，B=E， 且 B、 E 都是钝角，求证：ABC DEF 第三种情况：当B 是锐角时， ABC 和DEF 不一定全等 (3)在 ABC 和DE
4、F ，AC= DF ，BC=EF， B=E，且 B、E 都是锐角，请你用尺规在图 中作出 DEF ， 使DEF 和ABC 不全等（不写作法，保留作图痕迹） (4) B 还要满足什么条件， 就可以使 ABC DEF ？请直接写出结论： 在ABC 和DEF 中， AC=DF ， BC=EF， B=E，且 B、 E 都是锐角，若，则 ABC DEF 精品文档 精品文档 3 有這樣一道題：把一張頂角為36 等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形， 你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法 我們有多少種剪法，圖1 是其中一種方法： 定義：如果兩條線段將一個三角形分成3 個等腰三角形，我們
5、把這兩條線段叫做這個三角形三分線 (1)請你在圖2 中用兩種不同方法畫出頂角為45 等腰三角形三分線，並標注每個等腰三角形頂角度數； （若兩種方法分得三角形成3 對全等三角形，則視為同一種） (2) ABC 中，B=30 ，AD 和 DE 是 ABC 三分線， 點 D 在 BC 邊上，點 E 在 AC 邊上，且 AD=BD，DE=CE， 設 C=x ，試畫出示意圖，並求出x 所有可能值； 精品文档 精品文档 4.如图， ABC 中， AB=AC， A=36 ，称满足此条件三角形为黄金等腰三角形请完成以下操作：（画图不要求 使用圆规，以下问题所指等腰三角形个数均不包括ABC） (1)在图 1 中
6、画 1 条线段，使图中有2 个等腰三角形， 并直接写出这2 个等腰三角形顶角度数分别是度 和度； (2)在图 2 中画 2 条线段，使图中有4 个等腰三角形； (3)继续按以上操作发现：在ABC 中画 n 条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰 三角形 精品文档 精品文档 5.在等腰直角三角形ABC 中，BAC=90 ，AB=AC， 直线 MN 过点 A 且 MNBC，过点 B 为一锐角顶点作RtBDE， BDE=90 ，且点 D 在直线 MN 上（不与点A 重合） ，如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易证： BD=DP （无需写证明 过程） (1)在图 2 中， DE 与 CA
7、延长线交于点P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理 由； (2)在图 3 中， DE 与 AC 延长线交于点P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你结论，无需证明 精品文档 精品文档 6.如图，已知 BAD 和BCE 均为等腰直角三角形，BAD=BCE=90 ，点 M 为 DE 中点，过点E 与 AD 平行 直线交射线AM 于点 N (1)当 A，B， C 三点在同一直线上时（如图1） ，求证： M 为 AN 中点； (2)将图 1 中 BCE 绕点 B 旋转，当A，B，E 三点在同一直线上时（如图2） ，求证： ACN 为等腰直角三角 形； (3)将图 1 中
8、BCE 绕点 B 旋转到图3 位置时， (2)中结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明 理由 精品文档 精品文档 7.【问题情境】张老师给爱好学习小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在 ABC 中， AB=AC，点 P 为边 BC 上任一点， 过点 P 作 PDAB，PEAC，垂足分别为D、E，过点 C 作 CF AB，垂足为 F求证：PD+PE=CF 小军证明思路是：如图2，连接 AP，由 ABP 与ACP 面积之和等于 ABC 面积可以证得：PD+PE=CF 小俊证明思路是：如图2，过点 P 作 PGCF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则 PD +PE=CF 【变
9、式探究】如图3，当点 P 在 BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PDPE=CF. 精品文档 精品文档 8.在图 1、图 2、图 3、图 4 中，点 P 在线段 BC 上移动（不与B、C 重合） ，M 在 BC 延长线上 (1)如图 1，ABC 和 APE 均为正三角形，连接CE 求证： ABP ACE ECM 度数为 (2) 如图 2，若四边形ABCD 和四边形APEF 均为正方形，连接CE则 ECM 度数为 如图 3，若五边形ABCDF 和五边形APEGH 均为正五边形，连接CE则 ECM 度数为 (3)如图 4，n 边形 ABC和 n 边形 APE均为正n 边形， 连接 CE，请你探索
10、并猜想ECM 度数与正多边形边 数 n 数量关系（用含n 式子表示ECM 度数），并利用图4（放大后局部图形）证明你结论 精品文档 精品文档 9、如圖，在ABC 中，點 D 為邊 BC 中點，過點A 作射線 AE，過點 C 作 CFAE 於點 F，過點 B 作 BGAE 於點 G，連接 FD 並延長，交BG 於點 H （1）求證： DF=DH ； （2）若 CFD=120 ，求證： DHG 為等邊三角形 精品文档 精品文档 10、已知兩等邊 ABC ，DEC有公共頂點C。 （1）如圖，當D在 AC上， E在 BC上時， AD與 BE之間數量關係為_； （2）如圖，當B、C、D共線時，連接AD
11、、BE交於 M ，連接 CM ，線段 BM與線段 AM 、 CM之間有何數量關係？試說明理由； （3）如圖，當B、C、D不共線時，線段BM與線段 AM 、CM之間數量關係是_。 （不要求證明）。 精品文档 精品文档 3、 在 ABC中 ， ACB 為 銳 角 ， 動 點 D（ 異 於 點 B） 在 射 線 BC 上 ， 連 接 AD， 以 AD為 邊 在 AD 右 側 作 正 方 形 ADEF， 連 接 CF （ 1） 若 AB=AC， BAC=90那 麼 如 圖 一 ， 當 點 D 線 上 段 BC 上 時 ， 線 段 CF 與 BD 之 間 位 置 、 大 小 關 係 是 _( 直接寫出結
12、論) 圖 二 ， 當 點 D 線 上 段 BC 延 長 上 時 ， 中 結 論 是 否 仍 然 成 立 ？ 請 說 明 理 由 （ 2） 若 AB AC， BAC 90 點 D 線 上 段 BC 上 ， 那 麼 當 ACB 等 於 多 少 度 時 ？ 線 段 CF 與 BD 之 間 位 置 關 係 仍 然 成 立 請 畫 出 相 應 圖 形 ， 並 說 明 理 由 精品文档 精品文档 4、如圖 1，等腰直角三角板一個銳角頂點與正方形ABCD 頂點 A 重合，將此三角板繞點A 旋轉，使三角板中 該銳角兩條邊分別交正方形兩邊BC，DC 於點 E，F，連接 EF （1）猜想 BE、 EF、DF 三條
13、線段之間數量關係，並證明你猜想； （2）在圖 1 中，過點A 作 AM EF 於點 M，請直接寫出AM 和 AB 數量關係； （3）如圖 2，將 RtABC 沿斜邊 AC 翻折得到RtADC ，E，F 分別是 BC ，CD 邊上點，EAF= 1/2 BAD ， 連接 EF，過點 A 作 AM EF 於點 M，試猜想AM 與 AB 之間數量關係並證明你猜想 精品文档 精品文档 答案 1、全 等 三 角 形 判 定 與 性 質 ； 等 邊 三 角 形 判 定 分 析 ： （ 1） 首 先 證 明 1= 2， 再 證 明 DCF DBH即 可 得 到 DF=DH； （ 2） 首 先 根 據 角 和
14、差 關 係 可 以 計 算 出 GFH=30 ， 再 由 BGM=90可 得 GHD=60， 再 根 據 直 角 三 角 形 性 質 可 得 ， HG= 2 1 HF， 進 而 得 到 結 論 解 答 ： 證 明 ： （ 1） CF AE ， BG AE ， BGF= CFG=90， 1+ GMB= 2+ CME ， GMB= CME ， 1= 2， 點 D 為 邊 BC 中 點 ， DB=CD ， 在 BHD和 CED中 ， 1 2 DBCD 3 4 BHD CED （ ASA ） ， DF=DH； （2 ） CFD=120， CFG=90 ， GFH=30， BGM=90， GHD=60，
15、 HGF是 直 角 三 角 形 ， HD=DF， HG= 2 1 HF=DH DHG為 等 邊 三 角 形 點 評 ： 此 題 主 要 考 查 了 全 等 三 角 形 判 定 與 性 質 ， 以 及 直 角 三 角 形 斜 邊 上 中 線 等 於 斜 邊 一 半 ， 關 鍵 是 掌 握 全 等 三 角 形 判 定 定 理 2、解：（ 1）AD=BE （2）BM=AM+CM 理由：在BM上截取 BM =AM ，連接 CM ABC 、 CED均為等邊三角形， BC=AC ， CE=CD ， ACB= ECD=60 ACB+ ACE= ECD+ ACE即 BCE= ACD 在 BCE和 ACD中 AC=BC BCE= ACD CE=CD 精品文档 精品文档 BCE ACD （ SAS ） 1=2 在 BM C和 AMC 中 BM =AM 1=2 BC=AC BM C AMC （SAS ） 3=4，CM= CM ACB 3 5=60 4 5=60即 MM C=60 MM C 為等邊三角形 CM= MM BM=B M +M M =AM+CM （3）BM=AM+CM 精品文档 精品文档 4、 精品文档 精品文档 精品文档 精品文档