最新初中三角函数知识点+题型总结+课后练习.pdf

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1、精品文档 精品文档 锐角三角函数知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b平方和等于斜边c平方。 222 cba 2、如下图，在RtABC中， C为直角，则 A锐角三角函数为( A 可换成 B)： 定义表达式取值范围关系 正 弦斜边 的对边A Asin c a Asin 1sin0A ( A为锐角 ) BAcossin BAsincos 1cossin 22 AA 余 弦斜边 的邻边A Acos c b Acos 1cos0A ( A为锐角 ) 正 切的邻边 的对边 A tan A A b a Atan 0tanA ( A为锐角 ) BAcottan BAtancot A A cot 1

2、tan(倒数 ) 1cottanAA 余 切的对边 的邻边 A A Acot a b Acot 0cot A ( A为锐角 ) 3、任意锐角正弦值等于它余角余弦值；任意锐角余弦值等于它余角正弦值。 4、任意锐角正切值等于它余角余切值；任意锐角余切值等于它余角正切值。 5、0、30、 45、60、 90特殊角三角函数值( 重要) 三角函数030456090 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 tan0 3 3 1 3不存在 cot不存在31 3 3 0 )90cot(tanAA )90tan(cotAA BAcottan BAtancot )90cos

3、(sinAA )90sin(cosAA BAcossin BAsincosA90B 90 得 由BA 对 边 邻边 斜边 A C B b a c A90B 90 得 由BA 精品文档 精品文档 锐角三角函数题型训练 类型一：直角三角形求值 1已知 Rt ABC 中，,12, 4 3 tan,90BCAC求 AC、AB 和 cosB 2已知：如图，O 半径 OA16cm，OCAB 于 C 点， 4 3 sinAOC 求： AB 及 OC 长 3已知： O 中， OC AB 于 C 点， AB16cm， 5 3 sinAOC (1)求 O 半径 OA 长及弦心距OC； (2)求 cosAOC 及

4、tanAOC 4.已知A是锐角， 17 8 sin A，求Acos，Atan值 类型二 . 利用角度转化求值： 1已知：如图，RtABC 中， C90 D 是 AC 边上一点， DEAB 于 E 点 DEAE1 2 求： sinB、cosB、 tanB 2. 如图 4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边点F处已知8AB，10BC, 则tanEFC 值为 ( ) 3 4 4 3 3 5 4 5 3. 如图 6，在等腰直角三角形ABC中，90C，6AC，D为AC上一点， 若 1 tan 5 DBA，则AD 长为 ( )A2 B2 C 1 D22 4. 如图 6，在 Rt ABC 中， C

5、=90， AC=8， A 平分线AD= 3 316 求 B 度数及边BC、AB 长 . 类型三 . 化斜三角形为直角三角形 AD E C B F D A BC 精品文档 精品文档 例 1 （2012?安徽）如图，在ABC 中， A=30 ， B=45 ，AC=23，求 AB 长 例 2已知：如图，ABC 中， AC12cm，AB16cm， 3 1 sin A (1)求 AB 边上高 CD； (2)求 ABC 面积 S； (3)求 tanB 例 3已知：如图，在ABC 中， BAC120， AB10， AC5 求： sinABC 值 对应训练 1（ 2012?重庆）如图，在RtABC 中， BA

6、C=90，点 D 在 BC 边上，且 ABD 是等边三角形若AB=2 ， 求 ABC 周长（结果保留根号） 2已知：如图，ABC 中， AB9，BC6， ABC 面积等于9，求 sinB 类型四：利用网格构造直角三角形 例 1 （2012?内江）如图所示，ABC 顶点是正方形网格格点，则sinA 值为（） A 1 2 B 5 5 C 10 10 D 2 5 5 对应练习： 1如图， ABC 顶点都在方格纸格点上，则sin A =_. 特殊角三角函数值 例 1求下列各式值 30cos245sin60tan 2 =. 计算： 3 1+(2 1)0 3 3 tan30 tan45 = C BA 精品

7、文档 精品文档 0 30tan 2 3 45sin60cos2 2 1 = 60tan45sin230cos2 tan45sin30 1cos60 = 在ABC中，若0) 2 2 (sin 2 1 cos 2 BA，BA，都是锐角，求C度数 例 2求适合下列条件锐角 (1) 2 1 cos(2) 3 3 tan(3) 2 2 2sin(4) 33)16cos(6 （5）已知为锐角，且3)30tan( 0 ，求tan值 （ ）在ABC中，若0) 2 2 (sin 2 1 cos 2 BA，BA，都是锐角，求C度数 例 3. 三角函数增减性 1已知 A 为锐角，且sin A 2 1 ，那么 A 取

8、值范围是 A. 0 A 30B. 30 A 60C. 60 A 90D. 30 A 90 2. 已知 A 为锐角，且 0 30sincosA，则（） A. 0 A 60B. 30 A 60C. 60 A 90D. 30 A 90 例 4. 三角函数在几何中应用 1已知：如图，在菱形ABCD 中， DEAB 于 E，BE16cm， 13 12 sin A 求此菱形周长 2已知：如图，RtABC 中， C90，3BCAC，作 DAC30， AD 交 CB 于 D 点，求： (1) BAD； (2)sinBAD、cosBAD 和 tanBAD 3. 已知：如图 ABC 中， D 为 BC 中点，且

9、BAD90， 3 1 tanB，求： sinCADtanCAD 精品文档 精品文档 解直角三角形： 1在解直角三角形过程中，一般要用主要关系如下(如图所示 )： 在 RtABC 中， C90， ACb，BCa，AB c， 三边之间等量关系：_ 两锐角之间关系：_ 边与角之间关系： BAcossin_；BAsincos_； B A tan 1 tan_；B A tan tan 1 _ 直角三角形中成比例线段(如图所示 ) 在 RtABC 中， C 90， CDAB 于 D CD 2_；AC2_； BC2 _；ACBC_ 类型一 例 1在 RtABC 中， C90 (1)已知： a 35，235c

10、，求 A、 B，b；(2)已知：32a，2b，求 A、 B，c； (3)已知： 3 2 sin A，6c，求 a、 b；(4)已知：,9, 2 3 tanbB求 a、 c； (5)已知： A60， ABC 面积,312S求 a、b、c 及 B 例 2已知：如图，ABC 中， A30， B60， AC10cm求 AB 及 BC 长 例 3已知：如图，RtABC 中， D90， B 45， ACD60 BC10cm求 AD 长 例 4已知：如图，ABC 中， A30， B135， AC10cm求 AB 及 BC 长 类型二：解直角三角形实际应用 仰角与俯角： 精品文档 精品文档 例 1（ 2012

11、?福州）如图，从热气球C 处测得地面A、B 两点俯角分别是30 、45 ，如果此时热气球C 处 高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则AB 两点距离是（） A200 米B200米C220米D100（）米 例 2已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子顶端在B 点；当它靠 在另一侧墙上时， 梯子顶端在D 点已知 BAC60，DAE 45点 D 到地面垂直距离m23DE， 求点 B 到地面垂直距离BC 例 3（昌平） 19. 如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山高BD =30m 从水平面上一点C 测得风力发电装置顶端A 仰角 DCA=60，

12、 测得山顶B 仰角 DCB=30，求风力发电装置高AB 长 例 4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30直角三角板测量树高，已知小聪和树都与 地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为 1.7 米，求这棵树高度. 例 5已知： 如图， 河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点C 俯角为30，测得岸边点D 俯角为45， 又知河宽CD 为 50m现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直缆绳AC，求山高度及缆绳AC 长 (答案可带 根号 ) 例 5（2012?泰安）如图，为测量某物体AB 高度，在D 点测得 A 点仰角为30 ，朝物体AB 方向前进 20 米，到达点C，再次测得点A 仰角为60 ，则物体

13、 AB 高度为（） A10米 B10 米C20米D 米 例 6（ 2012?益阳）超速行驶是引发交通事故主要原因之一上周末，小明和三位同学尝试用自己所学知 识检测车速如图，观测点设在A 处，离益阳大道距离（AC ）为 30 米这时，一辆小轿车由西向东匀速行 驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用时间为8 秒， BAC=75 A B C D E 精品文档 精品文档 （1）求 B、C 两点距离； （2）请判断此车是否超过了益阳大道60 千米 /小时限制速度？ （计算时距离精确到1 米， 参考数据： sin750.9659， cos750.2588， tan753.732，31.732 ， 60 千米

14、 /小时 16.7 米/秒） 类型四 . 坡度与坡角 例（ 2012?广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 坡比是1：3，堤坝高 BC=50m ，则应水坡面AB 长度是（） A100m B1003m C150m D503m 类型五 . 方位角 1已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30，货轮以每小时20 海里速度 航行， 1 小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西 45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间最短距 离是多少 ?(精确到 0.1 海里，732.13) 综合题： 三角函数与四边形： （西城二模）1如图，四边形ABCD 中， BAD= 135 ，BC

15、D= 90 ，AB=BC= 2， tanBDC= 6 3 (1) 求 BD 长；(2) 求 AD 长 （2011 东一） 2如图，在平行四边形ABCD中，过点A 分别作 AEBC 于点 E， AFCD 于点 F （1）求证： BAE=DAF ； （2）若 AE=4，AF= 24 5 ， 3 sin 5 BAE，求 CF 长 三角函数与圆： 1 如图，直径为10 A 经过点(0 5)C，和点(0 0)O，与 x 轴正半轴交于点D，B 是 y 轴右侧圆弧上一点， C A y 精品文档 精品文档 CB A 则 cosOBC 值为（） A 1 2 B 3 2 C 3 5 D 4 5 （延庆） 19.

16、已知：在 O 中,AB 是直径， CB 是 O 切线，连接AC 与 O 交于点 D, (1) 求证： AOD= 2 C (2) 若 AD=8 ，tanC= 3 4 ，求 O 半径。 （2013 朝阳期末） 21.如图， DE 是 O 直径， CE 与 O 相切， E 为切点 .连接 CD 交 O 于点 B，在 EC 上取 一个点 F，使 EF=BF. （1）求证 :BF 是 O 切线 ; （2）若 5 4 Ccos, DE=9，求 BF 长 作业： （昌平） 1已知 2 1 sinA，则锐角A 度数是 A75B60C45D30 （西城北） 2在 RtABC 中， C90 ，若 BC1，AB=5

17、，则 tanA 值为 A 5 5 B 2 5 5 C 1 2 D 2 (房山)3在ABC 中， C=90 ，sinA= 5 3 ，那么 tanA 值等于（）. A 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 4 3 (大兴 )4. 若sin 3 2 ，则锐角. (石景山 )1如图，在RtABC 中， C 90， BC 3，AC=2， 则 tanB 值是 A 2 3 B 3 2 C 2 5 5 D 2 13 13 （丰台） 5将 放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan值是 A 2 1 B2C 2 5 D 5 52 D B O A C C F D O B E 精品文档 精品文档 (大兴 )5.

18、 ABC 在正方形网格纸中位置如图所示，则sin值是 A. 3 5 B. 3 4 C. 4 3 D. 4 5 (通县 )4如图，在直角三角形ABC中，斜边AB长为m，40B， 则直角边BC长是（） Asin40mBcos40mCtan40mD tan40 m （通州期末）1如图，已知P 是射线 OB 上任意一点，PMOA 于 M， 且 OM : OP=4 : 5，则 cos值等于（） A 3 4 B 4 3 C 4 5 D 3 5 （西城）6 如图，AB 为 O 弦，半径 OCAB 于点 D， 若 OB 长为 10， 3 cos 5 BOD， 则 AB 长是（) A . 20 B. 16 C.

19、 12 D. 8 7.在 RtABC 中， C=90 ，如果 cosA= 5 4 ，那么 tanA 值是 A 5 3 B 3 5 C 4 3 D 3 4 11如图，在 ABC 中， ACB=ADC= 90 ，若 sinA= 3 5 ，则 cos BCD 值为 13.计算：60tan45sin230cos213计算45tan30tan345cos260sin2. 13计算： 2 2sin604cos 30 +sin 45tan60 14.如图，小聪用一块有一个锐角为30直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地 面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为 1.7 米，求这棵树高度. 15已知在RtABC

20、 中， C90 ，a= 64 ，b=212.解这个直角三角形 D C BA A B C D E 第1题图 OM P B A 精品文档 精品文档 20. 如图，在 RtABC 中， CAB=90 ，AD 是 CAB 平分线， tanB= 2 1 ，求 CD BD 值 （延庆） 19. 已知：在 O 中,AB 是直径， CB 是 O 切线，连接AC 与 O 交于点 D, (3) (4) 求证： AOD= 2 C (5) 若 AD=8 ，tanC= 3 4 ，求 O 半径。 （延庆期末）19如图，某同学在楼房A处测得荷塘一端 B处俯角为30，荷塘另一端D处C、B在 同一条直线上，已知32AC米，16

21、CD米， 求荷塘宽BD为多少米？ （结果保留根号） 18.（6 分）如图，在 ABC 中，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心圆 经过 A，C 两点，交AB 于点 D，已知 2A +B =90 （1）求证： BC 是 O 切线； （2）若 OA=6，BC=8，求 BD 长 D B O A C A B C D D 第18题图 O C B A 精品文档 精品文档 （西城） 15如图，在RtABC 中， C=90 ，点 D 在 AC 边上若DB=6，AD= 1 2 CD，sinCBD= 2 3 ，求 AD 长和 tanA 值 来源 学科 网 18如图，一艘海轮位于灯塔P 南偏东45 方向，距离灯塔1

22、00 海里 A 处， 它 计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 北偏东 30 方向上B 处. （ 1）B 处距离灯塔P 有多远？ （ 2）圆形暗礁区域圆心位于PB 延长线上，距离灯塔200 海里 O 处已知圆形暗礁区 域半径为50 海里，进入圆形暗礁区域就有触礁危险请判断若海轮到达B 处是否 有触礁危险，并说明理由 22已知，如图，在ADC 中，90ADC，以 DC 为直径作半圆O ，交边 AC 于点 F，点 B 在 CD 延长线上， 连接 BF，交 AD 于点 E， 2BEDC （1）求证： BF 是O 切线； （2）若 BFFC ，3AE，求O 半径 15如图，为了测量楼AB 高度，小明在点

23、C 处测得楼AB 顶端 A 仰角为30o，又向前走了20 米后到达点 D，点 B、D、C 在同一条直线上，并在点D 测得楼 AB 顶端 A 仰角为 60o ，求楼 AB 高 14.（2009眉山中考）海船以5 海里 /小时速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船北偏东60 方向， 2 小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船北偏西45 方向，求此时灯塔B 到 C 处距离。 15.（2009常德中考）如图，某人在D 处测得山顶C 仰角为30 o，向前走 200 米来到山脚 A 处，测得山坡AC 坡度为i=10.5，求山高度（不计测角仪高度，31.73，结果保留整数） DO A C B

24、F E 精品文档 精品文档 16.（ 2008广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内滑滑板倾角由45o降为 30o ，已知原滑 滑板 AB 长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上 （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01） （2）若滑滑板正前方能有3 米长空地就能保证安全，原滑滑板前方有6 米长空地，像这样改造是 否可行？说明理由。 (参考数据：21.414,31.732,62.449) 18. 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13 所示，某学生在河东岸点 A处观测到河对岸水边有一点C， 测得C在A北偏西31方向上， 沿河岸向北前行20 米到达B处，测得C在 B北偏西45方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河宽度 （参考数值：tan31 5 3 ， sin31 2 1 ） 图 13