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1、立体几何难题汇编1 1. 在正方体的顶点中任意选择4 个顶点，对于由这4 个顶点构成的各种几何形体的以下判 断中，所有正确的结论个数是（） 能构成矩形； 能构成不是矩形的平行四边形； 能构成每个面都是等边三角形的四面体； 能构成每个面都是直角三角形的四面体； 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体 A2 B3 C4 D 5 【考点】 命题的真假判断与应用 【专题】证明题 【分析】画出图形，分类找出所有情况即可 【解答】解：作出正方体： 在正方体的顶点中任意选择4 个顶点，对于由这4 个顶点构成的各种几何形体 z 只能有以下四种情况： 任意一个侧面和对角面皆为矩形，所以正
2、确； 四面体 A1-BC1D 是每个面都是等边三角形的四面体，所以正确； 四面体 B1-ABD 的每个面都是直角三角形，所以正确； 四面体 A1-ABD 的三个面都是等腰直角三角形，第四个面A1BD 是等边三角 形 由以上可知：不能构成不是矩形的平行四边形，故不正确 综上可知：正确的结论个数是4 故选 C 【点评】全面了解正方体中的任意四个顶点构成的四面体和平面四边形是解题 的关键 2. 一个半径为1 的小球在一个棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动， 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_ 【考点】 棱锥的结构特征 【专题】计算题；压轴题 【分析】小球与正四面体的一个面相切时的情
3、况，易知小球在面上最靠近边 的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为 ，故小三角形的边长为，做出面积相减，得到结果 【解答】解：考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况， 易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形， 正四面体的棱长为 故小三角形的边长为 小球与一个面不能接触到的部分的面积为 ， 几何体中的四个面小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 418 =72 故答案为： 72 【点评】本题考查棱柱的结构特征，本题解题的关键是看出小球的运动轨迹 是什么，看出是一个正三角形，这样题目做起来就方向明确 3.（2012?上海） 如图， AD 与 BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC
4、=2 ，若 AD=2c ， 且AB+BD=AC+CD=2a， 其 中a 、 c 为 常 数 ， 则 四 面 体ABCD的 体 积 的 最 大 值 是 _. 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】计算题；压轴题 【分析】作 BEAD 于 E，连接 CE，说明 B 与 C 都是在以 AD 为焦距的椭球 上，且 BE、CE 都垂直于焦距 AD，BE=CE 取 BC 中点 F，推出四面体 ABCD 的体积的最大值，当 ABD 是等腰直角三角 形时几何体的体积最大，求解即可 4 6 2 6 4 6 2 6 1313 4 6 *46*26 *26*18 3, 2222 3 3 3 4 6 【解答】 解
5、：作 BEAD 于 E，连接 CE，则 AD平面 BEC，所以 CEAD， 由题设， B 与 C 都是在以 AD 为焦点的椭圆上， 且 BE、CE 都垂直于焦距 AD， AB+BD=AC+CD=2a ，显然 ABDACD，所以 BE=CE 取 BC 中点 F，EFBC，EFAD，要求四面体 ABCD 的体积的最大值， 因为 AD 是定值，只需三角形EBC 的面积最大，因为BC 是定值，所以只需 EF 最大即可， 当ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，AB+BD=AC+CD=2a ， AB=a，所以 EB= EF= 所以几何体的体积为： 故答案为： 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积
6、，考查空间想象能力，逻辑推理能 力以及计算能力 4. 如图，直线l平面 ，垂足为O，已知在直角三角形ABC 中， BC=1 ，AC=2 ， AB=该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1） A l， （2） C 则 B、 O 两点间的最大距离为 _. 22 .ac 22 1.ac 2222 112 *21*2*1. 323 accc ac 22 2 1. 3 c ac 5 【考点】 点、线、面间的距离计算 【专题】转化思想 【分析】先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O 为原点， OA 为 y 轴， OC 为 x 轴建立直角坐标系，B、O 两点间的距离表示处理，结合三 角函数的
7、性质求出其最大值即可 【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决， 以 O 为原点， OA 为 y 轴， OC 为 x 轴建立直角坐标系，如图 设 ACO= ，B（x，y），则有： x=ACcos+BCsin=2cos+sin ，y=BCcos=cos x 2 +y 2 =4cos 2 +4sin cos+1=2cos2+2sin2 +3 =2sin （2+）+3 ， 当 sin （2+） =1 时， x 2+y2 最大，为 +3 ， 则 B、O 两点间的最大距离为1+ . 故答案为： 1+ 【点评】本题考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题 转化为平面几何问题解决，利
8、用三角函数的知识求最大值 2 2 2 4 4 2 5. 如图，直线l平面 ，垂足为O，正四面体ABCD 的棱长为4，C 在平面 内， B 是直 线 l 上的动点，则当O 到 AD 的距离为最大时，正四面体在平面 上的射影面积为 （） A4+2B2 +2 C4 D 4 【考点】 点、线、面间的距离计算 ；棱锥的结构特征 ；简单空间图形的三视 图 【专题】计算题；压轴题；空间位置关系与距离 【分析】确定直线BC 与动点 O 的空间关系，得到最大距离为AD 到球心的距 离+半径，再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，即可求得结论 【解答】解：由题意，直线BC 与动点 O 的空间关系：点 O 是以 B
9、C 为直径的 球面上的点，所以O 到 AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离，最大距离为AD 到球心的距离（即BC 与 AD 的公垂线） +半径 =2+2 . 虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注意到AD 垂直平面 OBC，且 平行平面 ，故其投影是以 AD 为底， O 到 AD 的距离投影，即（ 2 +2 ）cos45 =2+ 为高的等腰三角形，其面积= 故选 A 【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能 力，属于中档题. 6. 设 l1， l2，l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6 的直线给出下列 三个结论： ? Ai li（i=1 ，2，3），使得 A1A2A3是直角三角形； ? Ai li（i=1 ，2，3），使得 A1A2A3是等边三角形； 三条直线上存在四点Ai（i=1 ，2， 3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条 棱两两互相垂直的四面体 其中，所有正确结论的序号是（） ABCD 2 22 22 1 *4*2+22 = +2. 2 （） 4 2 2