1、二次函数讲义2.1二次函数所描述的关系知识点归纳：:次函数的定义：一般地，如果y=ax+bx+c(a,b,c是常数，“w0),加么歹叫做X的二次函数.二次函数具缶三个条件，缺一不可：(1)是整式方程：(2)是一个自变求的：次式；(3):次项系数不为0典型例题：例1、函数y=(m+2)x+2x1是二次函数,那么m=.例2、以下函数中是二次函数的有U1 1y=x+；：)y三3(x1)2+2;y=(x3)2-2x2(4)y三x.1.AA.1个B.2个C.3个D.4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元件出时，的天可以作山300套.据市场调查发现，这种眼装每提高1元售价，稻加就减少5套，如果商
2、场将伊价定为X，请你得出每天销件利润y与辔价的两数表达式.例4.如图，正方形ABCD的边长为4.P是BC边上一点,QP_1.AP交DC于Q如果BP=x,ZiADQ的面枳为用含X的代数式表示y.训练题：1 .函数y=aW+b+c(其中a.b.c是常数)，当a时，是二次函数：当ab时,是一次函数：当a.b,c时，是正比例函数.2 .当E时y三三(m-2)x是二次函数.3 .菱形的一条时用线长为a,另一条对角线为它的M倍,用表达式表示出菱形的面枳S与对地线a的关系.14,在物理学内容中，如果某一物体质升为m,它运动时的能附E与它的运动逑度V之间的关系是E=5mvIm为定值).(1)假设物体质Ift为
3、1.填表表示物体在V取以下值时,E的取值：V12345678E(2)假设物体的运动速度变为原来的2倍，凰么它运动时的能求E扩大为原来的多少倍？5、请你分别给a,b.C一个(ft,让y=+5v+c为二次函数，且让一次函数y=a.b的图像经过一、二、三象限A.y=32+46.以下不是二次函数的是OB. v=-QxC.y=_5O.y=(x+1.)(X2)7.函数Y=(mn)x，+mx+n是二次函数的条件是(：n为常数,且mW0B.m.n为常数，且mNnC. m、n为常数，且n0D.m、n可以为任何常数8 .如图，校园要建苗画，其形状如直角梯形，彳I两边借用夹角为135的两面墙，另外两边是总长为30米
4、的铁捌栏.(1)求梯形的面积丫与商X的表达式：(2)求X的取值他围.9 .如图，在矩形A8CD中，AB=6tm,BC=12cm.点P从点A开始沿AB方向向点B以ICnvS的逡度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cms的速度移动.如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面枳为攵m，写出S与t的函数表达式，并指出自变的取假范困.10 .：如图，在RtAABC中，ZC=90.BC=4.AC=8.点D在斜边AB上，.分别作DEJ.AC.DF1.BC.垂足分别为E、F,得四边形DECF.设DE=x,DF=y.(1)AE用含丫的代数式表示为：AE三:*4
5、2)求y与X之间的函数表达式,并求出X的取值范围：I(3)设四边形DECF的面积为S,求S与X之间的函数表达式./J12.2结识抛物线知识点归纳：1.作图“三步取：一般胞，：次函数图像的作法和一次函数及反比例函数图像的作法过程相同，都是三步：列表、描点、连线，规律技巧：列表时注意以O为中心，对称取值(一般取37纲值)。观察图像，可得他物线的开口方向、对称轴.学习过程：一、作二次函数Y=X2的图象.二、议一议：1,你能描述困象的形状吗？与同伴交流，2 .图W与X轴有交点吗?如果杓J交点的坐标是什么？3 .当x0时我？I.取什么值时，y的值最小？5,图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴型什么？
6、谙你找出儿灼对徐点，并与同伴交流，三、y=x的图象的性质：典型例题：例1、求出函数v=x+2与函数V=M的图软的交点坐标.例2、在同一且角坐标系中画出y=3x2y=-3x2的图像例3、ay)%(a.V2)、(a+1,y3)都在函数y=的图象上，那么()A.y12y3B,y13y2C,y3y21D.Y2y11.,点（-a-1.y1.）,（a.yj）,（a+1.yj）都在函数v=x?的图飘上，判断出、y八的大小关系？7 .如图，A、B分别为y=2上两点，且设段AB_1.y轴，假设AB=6,那么直规AB的表达式为（）A.y=3B.y=6C.y=9D.y=368,函数y=ax2（aO）的图微与直畿y=
7、2x3交于点（1.,b）（D求a和b的值（2）求撇物践y=ax?的解析式，并求出顶点坐标和对称釉：（3）X取何隹（时，.次函数y=ax2中的y随X的埴大而增大？（4）求他物线与宜城y=-2的两个交点及顶点所何成的三角形的面枳.9、如图，把她物规y=/与口戏F=I图成的图形。ABC绕原点。顺时针旋转90后，再沿X轴向右平移1个单位得到图形QA8C，那么以下结论曾像的母承世（A.点。的坐标是（1,0）B.点C1.的坐标是（2,-1）C四边形Q8A,4是矩形D.假设连接OC,那么梯形OCA4的面枳是310、有座拊物跳形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶电离水面4米。（1）在如图3所示的直用坐
8、标系中，求出该抛物城的解析式：（2）在正常水位的根底上，当水位上升h（米）时，桥下水面的宽度为d（米）.试求出将d表示为h的函数解析式：（3）设正常水位时,桥下的水深为2米,为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，求水深切过多少米时就会影响过往船只在桥下地利航行。2.3刹车距离与二次函数学习目标:1 .经历探索二次函数=ax，和y=a+c的图象的作法和性质的过程,进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验.2 .会作出“ax?和y=a2+c的图象,并能比拟它们与y三x?的异同,理解a与C对二次函数图象的影响.3 .能说出y=a2+c与y=a2图象的开门方向、对称轴和顶点坐标
9、4 .体会二次函数是某些实际问国的数学模型.学习工点：二次函数产ax?、y=a2+C的图象和性横，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=a-+bx+c的图敢和性防的根帐.我们在学习时结合图望分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小值)、函数的增M性几个方面记忆分析.学习魔点：由函数图叙概括出y-ax?、y=ax+c的性质.函数图象都由(1)列表，(2)描点、连战三步完成.我们可根据函数图象来联想函数性质,由性所来分析函数图象的形状和位置.学习过程：一、复习:次函数y=2y=-2的性质:抛物线y=2y=-2对称轴顶点坐标开口方向位置增破性最值二、问题引入:你知道两辆汽午在行胶时为什么要保持一
10、定距离吗？刹车距离与什么因素有关?有研究说明:汽车在某段公路上行驶时，速度为V(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式:睹天时：J=-V2;雨天时：5=/,请分别画出这两个函数的图像：I(X)50三、动手操作、探究：1 .在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x21.的图象。2 .在同一平面内画出函数y-3x2与广3x21的图象.比拟它们的性质，你可以得到什么结论？典型例题：例1、效物线”(m+1.)X3F开口向下.求m的值.例2、k为何他时，y=(k+2)xf是关于X的：次函数？例3、在同一坐标系中,作出函数“一32,丫=3储，y=JX2,*一x?的图以，并根据图象答II史以下问题：（1
11、当x=2时.=32比=32大（或小）多少？（2）当内一2时.yQXn匕Y=-3z大（或小）多少？例4、直线y=-2x+3与他物级v=aM相交于A、B两点，旦A点坐标为（-3,m）.求a、m的值:：2）求抛初线的衣达式及其时称粘和顶点用标:X取何值时.二次函数y=ax,中的随X的增大而减小:求A、B两点及二次函数“ax?的顶点构成的三角形的面积.例S.如图.一他物线形大门,其地面宽度AB=18m.一同学站在门内，在肉门脚B点Im远的D处.垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶泡恰好覆在他物税形门上C处.根据这些条件，请你求出该大门的高度h.训练题：/xTxx1 .岫物线y=-42-4的开口向，
12、当X=时，V有最伯，2118nJ2 .当m=时,y=（m-1：x*1-3m是关于X第26题的二次函数.3 .拊物y=-32上两点A（x,-27）,8（2.V），届么x=，V=.4 .当m=时，拊物线y=（m+i）x1+9开口向下，对称轴是.在对称轴左侧，V随x的增大而:在对称轴右（H,y1.x的刷大而.5 .抛物线y=3z与直线y=kx+3的交点为（2.b）,那么k=,b=.6 .1物战的顶点在原点，对称轴为丫轴，且经过点（一1，一2）,那么抛物我的去达式为.7 .在同一坐标系中,图象与=2x，的图象关于X轴时林的是O8 .附物线，=42.v=-2z的图轨，开口最大的是OIA.y三-xzB.y
13、4x2C.y-2x2D,无法确定119 .对于抛物线尸和尸一xZ在同一坐标系里的位置,以下说法悟误的选项是OA.两条她物设关于X轴对称B.两条他物线关于原点对称C两条微物跷关于y轴对称D.两条拊物线的交点为原点10 .二次函数*a2与一次函数y=a+a在同一坐标系中的图象大致为O11 .函数y=a的图象与宜城y=x+4在第一象限内的交点和它与宜城V=X在第-象限内的交点相同，那么a的值为OA.4B.21C.212 .求符合以下条件的附物线y=ax，的表达式:（1） V=a2经过（1.2）；I（2） V=a2与y=2的开口大小相等,开门方向相反：I（3） V=a2直畿y=7x+3交于点（2,m
14、13 .如图，直戏I羟过A（3,O）,B（0.3）两点，且与二次函数y=2+1.的图拿，在第一筑限内相交于点C.求：（1） ZiAOC的面枳：4（2）二次函数图象原点与点A、B组成的三角形的面积.MJZ八14 .有一座弛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m水位上升3m.就到达警戒线CD.这时，水面宽度为IOm*（1）在如下图2-3-9的坐标系中求他物线的表达式：。Ajr（2）假设洪水到来时，水位以年小时02m的速度上升，从警戒战开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？15、（2008兰州）一座拱桥的轮廓是拗物雄型（如图1所示），拱离6m,跨度20nv相邻两支柱间的距肉均为5m.ID将抛物我
15、放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式:（2）求支柱Er的长度：13）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并择行Jtt宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由.（共10分）图象2.4二次函知识点归纳:I、求他物纹的顶点、对称轴的方法=0（x-4+A的形式，得到顶点为k）,对称轴是直成X=6（3）运用抛物线的对称性：由于微物战是以时称釉为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是他物线的对林轴,对称蝌与她物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质：（1）:次函数y=a2（a0）的图象是一条弛物戌，其顶点是
16、原点，为称轴是y轴：节a0时，拗物城开口向上，胤点是呆低点：当a0时，抛物战开口向上，图象有最低点，且、一勺，丫随*的增大422而增大，xV-金,yKiX的增大而减小：当aY，2a2ay随X的增大而减小，V-,V随X的墙大而增大.(3)当a0时，-当X=-=时，函数有最小fNp:当a2,y=a(-h)2+k的图象.将=a2的图象向上(cO)或向卜(CVo)平移IC1.个单位，即可得到y=ax+c的图象.其顶点是(O,C)形状、对称轴、开I方向与她物线y=ax，相同.格y=ax2的图象向左(h0)平移间个单的，即可左到*a(x-h”的图象.其顶点是(h.0),对肺轴是直畿x=h,形状、开口方向与
17、抛物战y=a2相同.将rax，的图象向左(h0)或向下化0)平格Ik1.个单位.RP可知到y三a(f)Jk的图象,其顶点是(h.k),对称轴是宜线=h,形状、开口方向与施物线y三az相同.记住现律，左加右城，上加下X典型例题：例1、二次函数y=ax+bx+c的图象如下图，那么曲b,CO(埴或V=.)大致足图例2、二次函数y=ax+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象中的Ob例3、在同一坐标系中，函数y=t+bx与y=(的图象大致是图中的O例4、如下图的是桥梁的两条纲缠具有相同的他物线形状.按照图中建立的直角坐标系,左向的一条跄物线可以用y-0.0225x+0.9x+1.0表示.而
18、且左右两条跄物城关于y轴对称.你能写出右向钢烫的表达式叫？例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax?+(a+c)x+c与一次的数y-ax+c的大致图象.有且只有一个是正确的，正确的选项是O例6、她物跷y=ax：+bx+c如下图，那么它关于y轴对称的他物线的表达式是.例7、二次函数y=(2)X2+(+3x+m+2的图象过点(0.5)(1)求m的值,并写出二次函数的表达式：(2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴.例8.抛物线y=a(-t1)+t?(a.t是常数.工0,tWO)的瞑前是A.他物线y=x-2x+1的顶点是B(如图).v.yft-2*1.U)判断点A是否在抛物线y=2-2x
19、1.上.为什么？VT/(2)如果施物税y=a(x-t-1.)+d经过点从求a的色：/这条她物线与X轴的两个交点和它的顶点A能否成ri角三角形？假设能，求出t的伯：假设不能,请说明理由.I例9、如下图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR.P午PR=SCm.,R=8c.,点B、C,Q、R在同一直线上，当CQ两点更合时.等腰ZsPQR以ICm/秒的速度沿直线(按衡头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABa)与等腰APQR重合冏部的面积为玄匚解答以下同巴：(1)当13秒时，求S的值:(2)当t=5秒时，求S的值;例10、某玩具厂方案生产一种玩具熊猫，每日最高产畸为40只,且每日生产
20、的产品全都仰出.生产X只玩具熊猫的本钱为R(元)，每只伊价为P(元)，RR.P与X的表达式分别为R=5O。+30x,P=I70-2x.(1)当日产T为多少时,每H获利为1750元？(2)当日产麻为多少时，可获知最大利润？最大利润是多少？训练题：1 .衲物线y-2x+6x-1.的顶点坐标为,对称轴为.2 .如图，置设a0,c二一T“y2y,B.yjyyaC.ysyjyD.yyy27,二次函数y=-xMbx+c的图象的蜃高点是(-1.-3),那么b、C的(ft是O.b=2.c=4B.b=2.C=-4C.b=-2.c=4D.b=2.c=-4以下式子能那么正确的8 .如图.坐标系中她物统是语数y=a+
21、bx+c的图象,那么成立的是OA.abcOB.a+b+c0C.ba+cD.2c0时，求使y2的X的取值范用.例2、根据以下条件，求抛物线的解析式.(1)经过点(0.-1),(1.(-2,-5):2(2)经过点(-3.2),顶点是(-2.3)：(3)与X轴两交点坐标分别为(-2.0).(2.0)并且与轴交干点(0.-2).例3、一次函数尸2x+3,与二次函数尸ax+bx+c的图金交于A5.5)和B(3.n)两点.且当x=3时，抛物线取得最值为9.(1)求二次函数的表达式；(2)在同一坐标系中画H；两个函数的图象；(3)从图象上观察，X为何值时，一次函数与二次函数的值都Bfix的墙大而增大.(4)
22、当X为何值时一次函数值大于二次函数值？例4、行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段印离才停止，这段距理称为“刹车M离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过130kmh),对这种汽车行测试，测得数据如下表；I刹车时车速(km/h)010203。40506070I测车距离()01.12.43.95.67.59.611.9(I)以车速为K轴，刹车距离为丫轴,在下面的方格图中建立坐标系,描出这些效期所表示的点,并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象：(2)观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式：(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故,现测得刹
23、车距离为26.4三,问在事故发生时，汽车是超速行咬还是IE常行股，请说明理由.例5、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知,从二月一H起的300天内,西红柿市场伴价与上市时间的关系用图中的一条折线去示，西红柿的种拣本钱与上市时间关系用图中的抛物线衣示.(1)写出图中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f(t),写出图中表示的种掖本钱与时间函数表达式Q=(I)：(2)认定市场售价减去种植本钱为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场冉价和种植本钱的单位:元1.*g.时间单位：天)训练题：I.函数y=ax+bx+c(a0)的图奴，如图所示，原么以下关系式中成立的是()bbbb(1)这个二
24、次函数的表达式是；(2)当X=时,y=3：(3)根捌图象答或：当X时.y0.3 .枪物线y=-+(6-2k)x+2k-1.与y轴的交点位于(0.5)上方,那么k的取值范附是.4 .假设他物纹y=ax+b不羟过第三、四象限，那么拗物线y=ax：+bx+c()A.开口向上，对称轴是y轴B,开口向下，对称轴是y轴C.开口向上，对称轴平行于y轴D.开口向下，对称轴平行于y轴2.二次函数y=-+bx+c图象的最高点是(一1.-3).那么b、C的假是O.b=2,c=4B.b=2.c=4C.b=-2.c=4D.b二2c=-4.5 .二次函数y=abx+c(a0)的图象如下图，以下结论：CyT1.0：4a+2
25、b+c0:(a+c)20,x=-时，=*cbAacb?当0和“0：(1)当因为对称轴左测.yMx的增大而减小所以y的最大值为Na),最小值为义)。这里y（八）、y(7)分别是,V在x=与X=力时的函数使。(2)当一2.因为对称他右IWy随K的增大而增大，所以)，的最大值为乃)，最小值(3)当-y的朵大值为y（八）、NQ)中较大者，y的最小值为,(一).2a2(2 .对于0(1)当m2.当X取何值时.训练题:1、y=3J+2,当X时y随X的增大而减小,当X时,y行最大(ft2、周长为60s)的矩形，设其一边为XCm,那么当X=时,矩形面枳最大，为.3、假设拗物线的对称轴是x=3,函数彳j最小值为
26、8,且过(0,26),那么其解析式为.4、边长为4的正方形截去一个角后成为五边形RBCDE(如图)，其中AF=2,BF=I.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面枳.5、启明公司生产某种产品，每件产品本钱是3元,件价是4元,年销售盘为10万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经监,每年投入的广告费是X(万元)时，产品的年销x277华m将是原销竹量的丫倍，且S=-二+x+,如果把利润看作是销件总额减去本钱商和广告此IOIOIO试写出年利润S（万元）与广告费X（万元）的函数关系式，弁计算广告玷多少万元时，公司茯得的年利润最大，最大年利润是多少万元？6、如图，有长为24米的
27、篱也，的成中间隔有一道藩笆的长方形的花网，目花圃的长可借用一段墙体.（墙体的最大可用长度a=10米）设AB=加长方形ABCD的面枳为S（1）求S与X的函数关系式；（2）如果要用成面枳为45平方米更大的花懈，AB的长是多少米？（3）能阚成面枳比45平方米更大的花吗？如果能.请求出最大面枳.并说明阚法：如果不能,请说明理由.7、某通讯器材公司销售种市场需求较大的新型通讯产品，出件产品的进价40元，好年销售该产品的总开支（不含进价）总计120万元，在梢华过程中发现，年铜竹量丫（万件）与销仰单价X（TC）之间存在着如下图的一次函数关系.（1）求y关于X的函数关系式：O。拊物线与X轮相交：有一个交点(璐
28、点在X轴上)OA=OO抛物线与X轴相切：没有交点oA/与G有两个交点；方程y=ax+hx+c组只有一组解时。/与G只有个交点：方程组无解时。/与G没有交点.典型例题：例1、二次函数y=kx:-7x-7的图象与X轴有两个交点，那么k的取值范用为.例2、抛物城y=a+bx+c与X轴交干点A(-3.0).对称轴为x-1.,顶点C到X轴的距国为2,求此抛物线表达式.例3、有一个：次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点；印：对称轴是宜城乙：与X轴两个交点的横坐标都是整数：丙：与y轴交点的纵坐标也是将数.且以这三点为顶点的三角形面积为3.请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式.例4、求以下：次函
29、数的图象与X箱交点坐标，并作草图验证.(1) y=xs-2x;(2y=-2x-3.训练题：1 .拊物规y=a(x-2)(x5)与X轴的交点坐标为.2,帕勒城的对称轴是x=-1.,它与X轴交点的距离等于4,它在y轴上的豉距是一6.那么它的表达式为3 .假设a0,b0.c0,0,那么抛物戏y=a+bx+c经过象限.4,附物线y-x-2x+3的顶点坐标是.5 .假设抛物线y=2x(+3)x-m+7的对称轴是X=1.那么In=.6 .拊物线y=2x+8x+与X轴只有一个交点，那么m=7 .拊物战y=a+bx+c的系数有a-b+c=O,咫么这条她物统经过点.8 .二次函数y=kx：+3x-4的图象与X轴
30、有两个交点，那么k的取值范用.9 .拊物战y=x-26x+a的顶点在直线y=2上，那么a的(ft是.10 .抛物线y=3xM5与两坐标轴交点的个数为OA.3个B.2个C.1个D.无ahc11 .如图1所示，函数y=ax-bx+c的图象过(-1.0),那么+。”4+方的假是OA.-3B.3C,2D.-212 .二次函数y=ax+bx+c的图象如图2所示，那么以F关系正确的选项是OhbbbaOV一五Ub一五V2C,D.一五=I13 .二次函数y=x+三x+2求证：无论m1.U何实数附物线总与X轴有两个交点.14 .二次函数y=x-2kx+k+k-2.(1)当实数k为何伯时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在笫四象限内？15 .抛物设y=x+(3-2m)x+m-2(.0)与X轴有两个不同的交点.(1)求m的取值慈圉;(2)判断点P(1.1)是否在抛物线上；(3)当m-1时,求她物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P的坐标，并过P、Q、P三点,画出她物找草图.1
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