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1、空间几何体的表面积与体积专题 一、选择题 1棱长为 2 的正四面体的表面积是 ( C ) A.3 B4 C43 D16 解析每个面的面积为： 1 222 3 2 3. 正四面体的表面积为： 43. 2把球的表面积扩大到原来的2 倍，那么体积扩大到原来的 ( B ) A2 倍 B2 2倍 C.2倍 D. 3 2倍 解析由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积 V4 3R 3，知体积扩大到原来的 22倍 3如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B ) A. 142 3 B. 284 3 C. 280 3 D. 140 3 解析根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的
2、形状，如图所示这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 VV长方体V正三棱锥446 1 3 1 222 2 284 3 . 4某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A82 3 B8 3 C 82 D. 2 3 解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2 的正方体内部挖去一个底面半 径为 1，高为 2 的圆锥，所以 V2 31 328 2 3 . 5已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何 体的体积为 ( A)A24 3 2 B 24 3 C 24 D24 2 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分 别为：2,3,4
3、 ， 半圆柱的底面半径为1， 母线长为 3， 故其体积 V234 1 21 23243 2 . 6某品牌香水瓶的三视图如图 ( 单位： cm)，则该几何体的表面积为( C ) A. 95 2 cm 2 B. 94 2 cm 2 C. 94 2 cm 2 D. 95 2 cm 2 解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、 下面是一个四棱柱上面四棱柱的表面积为233121 4 30 4 ；中间部分的表面积为21 21，下面部分的表面 积为 244162 4 64 4 . 故其表面积是 94 2 . 7已知球的直径 SC 4，A，B是该球球面上的两点， AB 3，ASC BSC 30
4、，则棱锥 S-ABC 的体积为 ( C) A33 B2 3 C.3 D1 解析由题可知 AB一定在与直径 SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径 SC于 D ，设 SD x， 则 DC 4x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和 C-ABD ，在SAD和SBD中，由已知条件 可得ADBD 3 3 x，又因为SC为直径，所以SBCSAC90，所以DCB DCA60，在 BDC中 ，BD 3(4x)，所以 3 3 x 3(4x) ，所以 x3，AD BD 3，所以三角形 ABD为 正三角形，所以 V 1 3S ABD43. 二、填空题 8三棱锥 PABC 中，PA 底面 ABC ，PA 3，
5、底面 ABC是边长为 2 的正三角形，则三棱锥PABC 的体 积等于 _3_解析依题意有，三棱锥 PABC 的体积 V1 3S ABC| PA | 1 3 3 4 2 23 3. 9一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球 的体积之比为 _ 3 2_ 解析 设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是 2r 2r 4r 2，设球的 半径是 R，则球的表面积是 4R 2，根据已知 4R24r2，所以 Rr. 所以圆柱的体积是 r 22r 2r 3，球的体积是4 3r 3，所以圆柱的体积和球的体积的比是 2r 3 4 3r 332. 10
6、如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形 组成，则该多面体的体积是_ 2 6 _ 解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为 1，斜高为 3 2 ，连 接顶点和底面中心即为高，可求得高为 2 2 ，所以体积 V1 311 2 2 2 6 . 11如图，半径为 R的球 O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面 积之差是 _2R 2_ 解析由球的半径为 R，可知球的表面积为4R 2. 设内接圆柱底面半径为 r ，高为 2h，则 h 2 r 2R2. 而圆柱的侧面积为 2r 2h4rh 4r 2 h 2 2 2R 2
7、(当且仅 当 rh 时等号成立 ) ，即内接圆柱的侧面积最大值为2R 2，此时球的表面积与内 接圆柱的侧面积之差为2R 2. 12如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为 2 cm ，高为 5 cm ，则一质点自点 A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为 _13_cm. 解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展 开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为5 212213 (cm) 三、解答题 13某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1 所示，墩的上 半部分是正四棱锥PEFGH ， 下半部分是长方体ABCDEFGH. 图 2、 图
8、3 分别是该标识墩的正视图和俯视图 (1) 请画出该安全标识墩的侧视图； (2) 求该安全标识墩的体积 解析(1) 侧视图同正视图，如图所示：(2) 该安全标识墩的体积为 VVPEFGHVABCDEFGH1 340 2604022064 000(cm3) 14 . 一个几何体的三视图如图所示 已知正视图是底边长为1 的平行四边形， 侧视图是一个长为3，宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为1 的正方形拼成 的矩形 (1) 求该几何体的体积V；(2) 求该几何体的表面积S. 解析 (1) 由三视图可知， 该几何体是一个平行六面体( 如图) ，其底面是边长为 1 的正方形，高为3，所以 V1133.
9、 (2) 由三视图可知，该平行六面体中，A1D 平面 ABCD ，CD 平面 BCC1B1 ， 所以 AA1 2，侧面 ABB1A1 ，CDD1C1 均为矩形， S2(111312)623. 15已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图 ( 或称主视图 ) 是一个底 边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图 ( 或称左视图 )是一个底边长为6、高为 4 的等腰三角形 (1) 求该几何体的体积V；(2) 求该几何体的侧面积 S. 解析由题设可知，几何体是一个高为4 的四棱锥，其底面是长、宽分别为8 和 6 的矩形，正侧面 及其相对侧面均为底边长为8，高为 h1的等腰三角形，左、 右侧面均
10、为底边长为6，高为 h2的等腰三角形，如右图所示 (1) 几何体的体积为： V 1 3 S 矩形h1 3684 64. (2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h14 2325.左、右侧面的底边上的高为： h24 242 4 2.故几何体的侧面面积为： S2 1 285 1 264 2 4024 2. 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）. . 解：设展开图的正方形边长为a，圆柱的底面半径为r，则 2 r=a， 2 a r，底面圆的面积是 2 4 a ， 于是全面积与侧面积的比是 2 2 2 12 2 2 a a a ， 2在棱长为1 的正方体上， 分别用过共顶
11、点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与 8 个顶点 相关的 8 个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）. 2解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是 111111 () 3222248 ，于是 8 个三棱锥的体积是 6 1 ，剩余部分的体积是 6 5 ， 3一个直棱柱 （侧棱垂直于底面的棱柱） 的底面是菱形， 对角线长分别是 6cm 和 8cm，高是 5cm， 则这个直棱柱的全面积是。 3答案： 148 cm 2 解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和 8cm，所以底面边长是5cm， 侧面面积是 455=100cm 2，两个底面面积是 48cm2， 所以
12、棱柱的全面积是148cm 2. 4已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它 们的高之比为。 4答案： 22 ：5 解：设圆柱的母线长为l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1： 2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是 2 3 和 4 3 ， 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式 2 r l ，得 1 3 l r， 2 2 3 l r， 所以它们的高的比是 22 22 ( ) 2 2 3 25 () 3 l l l l . 5 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直， 且长度分别为 1cm， 2cm， 3cm， 则此棱锥的体积
13、_ 5答案： 1cm 3 解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为 1cm，2cm 的两条 )确定的侧面 看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为 3， 则它的体积是 3 1 13=1cm3. 6矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边 a、b 旋转一周时 , 所形成的几何体的体积之比为 6答案： b a 解： 矩形绕 a 边旋转，所得几何体的体积是V1= b 2a， 矩形绕 b 边旋转，所得几何体的体积是 V2 = a 2 b， 所以两个几何体的体积的比是 2 1 2 2 Vb ab Va ba 16四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a. (1) 求该四面体
14、的体积的最大值；(2) 当四面体的体积最大时，求其表面积 解析(1) 如图，在四面体ABCD 中，设 AB BC CD AC BD a，AD x，取 AD， BC的中点为 E，连接 BP 、EP 、CP . 得到 AD 平面 BPC ，VA-BCD V A-BPCVD-BPC 1 3 S BPCAP 1 3S BPCPD 1 3 S BPCAD 1 3 1 2 a a 2x 2 4 a 2 4 x a 12 a 2 x 2 x 2 a 12 3a 2 2 1 8a 3(当且仅当 x 6 2 a 时取等号 )该四面体的体积的最大值为 1 8a 3. (2) 由(1) 知，ABC 和BCD 都是边长为 a 的正三角形， ABD 和ACD 是全等的等腰三角形， 其腰 长为 a，底边长为 6 2 a，S表2 3 4 a 221 2 6 2 a a 26 4 a 2 3 2 a 2 6 2 a 10a 4 3 2 a 2 15a 2 4 2315 4 a 2.