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1、空间距离的常用求法策略 内蒙古科技大学附属中学申炎 （014030） 本文主要介绍高中阶段在立体几何中求解空间距离的一些常用方法，这些方 法包括了点面距离，线面距离，面面距离以及异面直线距离求解的常用方法，其 中包含近年来的高考题真题，并为这些题目提供了一些新的解法。 一 直接法 直接利用点到面的距离，线面距离， 两平行平面的距离以及两异面直线的距离的 定义来计算求解。 例 1(2008年重庆文20)如图,和为平面，l， A，B，5AB， A， B在棱 l 上的射影分别为 A ， B ，3AA，2BB。若二面角l的大小为 3 2 ， 求：点 B 到平面 的距离。 解：如图，过点B 作直线/B
2、CAA 且使 B CAA 。过点 B作 BDCB ，交CB 的延长 线于 D 。 由已知 AAl，可得DBl，又已知BBl，故l 平面BB D，得BD l。 又因 BDCB ，从而BD平面， BD 之长即为点 B到平面的距离。因 B Cl 且 BBl ，故BB C 为二面角l的平面角。 O D1 C1 DC A1 B1 AB 由题意，BB C= 3 2 , 因此在RTBB D中，2BB，BB D =BB C= 3 ， BD=sinBBBB D =3。 点评：在直接法作点到平面的距离时，要注意确定垂足的位置，以便于计算。 例 2（2008 年重庆理19）如图 ,在ABC中， 2 B， 15 2
3、AC，D、E两点分别在AB、AC 上，使 2 ADAE DBEC ，3DE。现将ABC沿DE折成直二面角，求：异面直线AD与BC的距 离。 解：在图 (1)中，因 ADAE DBEC ，故/DEBC。 又因 2 B，从而ADDE。 (1) 因A DEB是直二面角，ADDE，故 ADDBCE底面，从而 ADDB。 而DB BC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线。 下面求DB之长。 在图 (1)中，由2 ADAE DBEC ，得 2 3 DEAD BCAB 。 又已知3DE，从而 29 32 BCDE， 2222159 ()()6 22 ABACBC。 因 1 3 DB AB ，故2DB。 二
4、转移法 常用的方法有将线面距离转化为点面距离，将线线距离转化为线面距离或面面距 离。还有A点到平面的距离可以转化为与其相关的B点到平面的距离等。 例 3（2005 年湖南）正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为1，点O是底面 1111 A B C D的中 心，则O到平面 11 ABC D的距离为（） 3 2 （A） 1 2 （B） 2 4 （C） 2 2 （D） 解：如图作 11 A EAD，则 1 2 2 A E。 因为 1111 C DAA D D平面，所以 111 C DA E， 故 111 A EABC D平面。 即 1 A到 11 ABC D平面的距离为 2 2 。 又O为
5、 11 AC的中点，所以O到 11 ABC D平面的距离为 1 A到 11 ABC D平面的距离的一半。 故而选（ B） 。 点评：本题将点O到 11 ABC D平面的距离转换为点 1 A到 11 ABC D平面的距离，从而简 化了计算。 例 4 如图，ABCD为边长为4的正方形，GCABCD平面，2GC，E，F分别 是AD，AB的中点。（1）求点B到平面EFG的距离；（2）求点A到平面EFG的距 离。 解： （1）如图，连接BD、AC，BDAC=H；EFACI。 在正方形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，/BDEF， 所以/BDEFG平面。 因此点B到平面EFG的距离等于线段BD到平
6、面EFG的距离，即点H到平面EFG 的距离。 设点H到平面EFG的距离为 1 d， 在RTGCI中， 1 dCG HIGI ， 1 22 11 2 11 22 CG dHI GI 。 （2） 因为点A与点H关于线段EF对称，所以点A到平面EFG的距离等于点H到 平面EFG的距离。 故点A到平面EFG的距离等于 2 11 11 。 点评：本题利用线面平行，将点到平面的问题转化为线面距离，避免了从点B向 平面EFG作垂线的问题。 三 体积法 当点到平面的距离一时不易求出时，可先构建一个合适的三棱锥，若此三棱锥的 底面积易求，且通过体积变换，此三棱锥的体积也能求出，则点到平面的距离可 得。 例 5
7、（2008 安徽理 18）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD边长为1的菱 形， 4 ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点，N为BC的中点 （）证明：直线MNOCD平面； （）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到OCD平面的距离。 解： （）略 （）略 （）连接BD，设点B到OCD平面的距离为h 3 2 4 OCD S， 2 4 BCD S 点评： 这类题型利用三棱锥的体积不变的性质，避免了从点B向OCD平面作垂线， 垂足不易确定的问题，解法摆脱了常规思维，大大简化了解题过程。 四 极值法 有时通过建立所求的两个研究对象上任意两点之间的距离的函数关系，来求该函
8、数的最小值，此最小值即为这两个对象之间的距离。 例 6 棱长为a的正方体 1 AC中，求异面直线BD与 1 BC之间的距离。 解：如图， 在 1 BC上任取一点M，作MNBC 于H， H M D C A B A1B1 C1 D1 N 再过H作HNBD于N，连接MN。 平面 1 BC平面AC，MNAC平面。 MHMN。 设MCx，则 2 2 MHx， 2 2 HCx， 2 2 BHax， 21 22 HNax 在MHN中， 2 MHN 2 2 32 () 433 a xa。 当且仅当 2 3 xa时， 2 2 min 3 a MN 即 min 3 3 MNa。 所以异面直线BD与 1 BC之间的
9、距离为 3 3 a。 点评：极值法多适用于两异面直线之间的距离，其背景是易于由其中一条直线上 的任意一点向另一条直线作垂线，而且该垂线段的长度能够表示成某一变量的函 数。 五 向量法 如果试题的背景适合于建立空间直角坐标系，用空间向量来求解空间距离也是很 方便的事。 例 7 如图，正方体 1111 ABCDA B C D的边长为4，M、N、E、F分别是 11 A D， 11 A B， 11 D C， 11 B C的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离。 解：依题意建立如图所示坐标系，则(4,0,0)A，(2,0, 4)M，(4,2,4)N，(0,0,0)D， (4,4,0)B，(0,2,4
10、)E，(2,4,4)F 设平面EFBD的法向量为n，(1, ,)n， 又(2, 2,0)EF，( 1,1,4)QK。 1， 1 2 ， 1 (1, 1, ) 2 n。 故两平面之间的距离为 |040|8 31 1 1 4 BA n d n 点评：这里是先求出平面EFBD的法向量为n，再将AB向法向量n上投影，此投 影长度即为两平行平面间的距离。 例 8 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面 1 AEC F所截得到的，其 中4AB，2BC， 1 3CC，1BE，求点C到平面 1 AEC F的距离。 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(2,4,0)B，(2,0,0)
11、A，(0,4,0)C， (2,4,1)E， 1(0,4,3) C。 (2,4,0)CA，(2,0,1)CE，(0,4,2)CF 设向量CM平面 1 AEC F，垂足为M，则M，A，E，F四点共面，故存在实数 a，b，c使 CM平面 1 AEC F，CMAE，CMAF 0 0 CM AE CMAF ， 1430 23 1 abc abc abc ，即 8 11 1 11 2 11 a b c 故点C到平面 1 AEC F的距离为 4 33 11 。 点评：利用空间向量基本定理可以求出CM的坐标，进而求出CM的模长，模长 既是点到平面的距离。 以上总结了求空间向量的一些常用方法，在解题过程中应注意各方法的使用背 景，区分使用前提。