讲义-万有引力1.pdf

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1、杭州学勤教育咨询有限公司龙文教育教务管理部 - 1 - 1 教师： _ 学生： _ 时间:_年_月_日_段 夯实基础知识 1开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值） 丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连 续 20 年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。 第一定律：所有行星都在椭圆轨道 上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上； 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积 相等； 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等

2、即k T r 2 3 开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。 2万有引力定律及其应用 (1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距 离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。 2 r Mm GF（1687 年） 2211 /1067. 6kgmNG 叫做引力常量， 它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相距1m 时的相互作用 力， 1798 年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。 万有引力常量的测定 卡文迪许扭秤 实验原理是力矩平衡。 实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有

3、引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运 动效果放大） 。 万有引力常量的测定使卡文迪许成为“ 能称出地球质量的人” ：对于地面附近的物体m，有 2 E E R mm Gmg（式 中 RE为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到 G gR m E E 2 。 (2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大 小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离对于均匀的球体，r 是两球心间的距离 当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出F 近为无穷大。 注意：万有引力定律把地面上的

4、运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G 的物理意义是：G 在数值上等于质量均为1kg 的两个质点相距1m 时相互作用的万有引力 (3) 地球自转对地表物体重力的影响。 重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力重力实际上是万 课题 杭州学勤教育咨询有限公司龙文教育教务管理部 - 2 - 2 有引力的一个分力另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，在纬度为的地表处，万有引 力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力F 向=mRcos 2（方向垂直于地轴指向地轴） ，而 万有引力的另一个分力就是通常所说的重力m

5、g，其方向与支持力N 反向，应竖直向下，而不是指向地心。 由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重 力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极R 逐渐减小，向心力mRcos 2 减小，重力逐渐增大，相应重力 加速度 g 也逐渐增大。 在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和 m2g 刚好在一条直线上，则有 FF 向m2g，所以 m2g=F 一 F 向G 2 21 r mm m2R自 2 。 物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力F引和 支持力 N 是一对平衡力，此时物体的重力mgNF

6、引。 综上所述 重力大小：两个极点处最大，等于万有引力；赤道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很小。 重力方向：在赤道上和两极点的时候指向地心，其地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小。 由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有： 地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即 2 R GmM mg 说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五；地面到地心的距离每增加一千米，重 力减少不到万分之三，所以，在近似的计算中，认为重力和万有引力相等。 万有引力定律的应用： 基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动，F万=F心

7、(类似原子模型) 方法：轨道上正常转： r T mrm r v m r Mm G 2 2 2 2 2 4 地面附近： G 2 R Mm = mg GM=gR 2 (黄金代换式 ) （1）天体表面重力加速度问题 N o F 引 丙 N F引 o 乙 O O N F心 m F引mg 甲 杭州学勤教育咨询有限公司龙文教育教务管理部 - 3 - 3 通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g G 2 21 R mm ， g=GM/R 2 常用来计算星球 表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（R+h） 2，比较得 gh=（ hR

8、r ） 2 g 设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，由 mg= 2 Mm G R 得 g= 2 M G R ，由此推得两个不同天体表面重力加速 度的关系为 2 121 2 212 gRM gRM （2）计算中心天体的质量 某星体 m 围绕中心天体m中做圆周运动的周期为T，圆周运动的轨道半径为r，则： 由r T m r mm G 2 2 2中 得： 2 32 4 GT r m中 例如：利用月球可以计算地球的质量，利用地球可以计算太阳的质量。 可以注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的。 （3）计算中心天体的密度 = V M = 3 3 4 R M = 32 2 3 RGT r 由上式可知

9、， 只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T，就可以算出天体的质量M若知道 行星的半径则可得行星的密度 （4）发现未知天体 用万有引力去分析已经发现的星体的运动，可以知道在此星体附近是否有其他星体，例如：历史上海王星是 通过对天王星的运动轨迹分析发现的。冥王星是通过对海王星的运动轨迹分析发现的3万有引力定律的适用条 件 例 1、如下图所示，在半径R20cm 、质量 M 168kg 的均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为要，并 且跟铜球相切， 在铜球外有一质量m 1kg、体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直 线上，并且在空穴一边，两球心相距是d2m ，试

10、求它们之间的相互吸引力 解：完整的铜球跟小球m之间的相互吸引力为 2 d Mm GF 这个力 F 是铜球 M的所有质点和小球m的所有质点之间引力 的总合力，它应该等于被挖掉球穴后的剩余部分与半径为娄的铜 球对小球m的吸引力 F=F 1+F2 式中 F1是挖掉球穴后的剩余部分对m的吸引力，F2是半径为R 2 的小铜球对m的吸引力。因为 2 2 ) 2 ( 8 R d m M GF ， 所以挖掉球穴后的剩余部分对小球的引力为F1FF2 2.41 10 9N 5物体在地面上所受的引力与重力的区别和联系 杭州学勤教育咨询有限公司龙文教育教务管理部 - 4 - 4 地球对物体的引力是物体具有重力的根本原

11、因但重力又不完全等于引力这是因为地球在不停地自转，地 球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力这个向心力的方向是垂直指向地轴 的，它的大小是 2 rmf，式中的r 是物体与地轴的距离，是地球自转的角速度这个向心力来自哪里?只 能来自地球对物体的引力F，它是引力F 的一个分力如右图，引力 F 的另一个分力才是物 体的重力mg 在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度相同，而圆周的半径r 不同， 这个半径在赤道处最大，在两极最小( 等于零 )纬度为 处的物体随地球自转所需的向 心力cos 2 Rmf (R 为地球半径 ) ，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小， 在

12、两极处Rcos0，f 0作为引力的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大在 赤道上，物体的重力等于引力与向心力之差即. 2 R Mm Gmg 在两极，引力就是重力 但 由于地球的角速度很小，仅为10 5rad s 数量级，所以 mg与 F 的差别并不很大 在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力. R Mm Gmg 2 这是一个很有用的结论 从图中还可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg才能向地心 同样，根据万有引力定律知道， 在同一纬度， 物体的重力和重力加速度g 的数值，还随着物体离地 面高度的增加而减小 若不考虑地球自转，地球表面处有. 2 R Mm Gmg，

13、可以得出地球表面处的重力加速度. 2 R M Gg 在距地表高度为h 的高空处，万有引力引起的重力加速度为g ，由牛顿第二定律可得： 2 )(hR Mm Ggm即g hR R hR M Gg 2 2 2 )()( 如果在 h处，则g g4在月球轨道处，由于r 60，所以重力加速度g g 3600 重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用 例 2、某行星自转一周所需时间为地球上的6h，在这行星上用弹簧秤测某物体的重量，在该行量赤道上称得 物重是两极时测得读数的90，已知万有引力恒量G 6.67 10 11Nm2kg2 ，若该行星能看做球体，则它的平 均密度为多少? 解析 在两极，由万有

14、引力定律得. 2 R Mm Gmg 在赤道R T mgm R Mm G 2 2 2 4 依题意 mg =O.9mg 由式和球体积公式联立解得 33 2 /1003.3 1.0 3 mkg GT 一选择题 杭州学勤教育咨询有限公司龙文教育教务管理部 - 5 - 5 1. （2010 延边高一检测）对于万有引力定律的表达式 2 21 r mm GF，下面说法中正确的是（） A公式中G为引力常量，它不是由实验测得的，而是人为规定的 B当两物体表面距离r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C 1 m与 2 m受到彼此的引力总是大小相等的，而与 1 m、 2 m是否相等无关 D 1 m与 2 m受到彼此的

15、引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力 答案： C。 2. (2010秦皇岛高一检测) 关于行星绕太阳运动，下列说法正确的是（） A. 行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时 速度大 B. 行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上 C. 所有行星绕太阳运动的周期都是相等的 D. 行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，太阳对行星的引力是不变的 答案： B 3. （2010 常州高一检测）关于开普勒行星运动的公式k T R 2 3 ，以下理解正确的是（） Ak是一个与行星无关的常量 B若地球绕太阳运转轨道的半长轴为 地 R，周

16、期为 地 T；月球绕地球运转轨道的长半轴为 月 R，周期为 月 T，则 2 3 2 3 月 月 地 地 T R T R CT表示行星运动的自转周期 DT表示行星运动的公转周期 答案： AD 。 典型练习： 杭州学勤教育咨询有限公司龙文教育教务管理部 - 6 - 6 【例题1】宇宙飞船以 2 g 的加速度匀加速上升，在飞船中用弹簧秤测得质量为10kg 的物体的视重为75N，若已 知地球半径为6400km，求测量时飞船所处的位置距地面的高度（g 为地面的重力加速度） 。 【例题 2】已知地球与火星的质量之比:8:1MM 地火 ，半径之比:2:1RR 地火 ，现用一根绳子水平拖动放在 地球表面木板上的箱子，设箱子与木板动摩擦因数为0.5，在地球上拖动时，能获得 10m/s2的最大加速 度，将箱子、木板、绳子送到火星上，仍用同样的力和方式拖动木箱，求此木箱能获得的最大加速度。 【例题 3】某星球上，宇航员用弹簧秤称得质量为m 的物体重量为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行， 测得环绕周期为T，试求该星球的质量。 【例题 4】宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出 点与落地点之间的距离为L。若抛出的初速度增大到2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L。已 知两落地点在同一水平面上，设星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量。