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1、大庆实验中学 2012-2013 学年度上学期月考 高一年级数学试题 一、选择题（每题5 分，共 60 分） 1. 设集合3, 4,54,5, 6, 7PQ，. 定义( , ),P Qa b aP bQ, 则*PQ中元素的个数为 （） A.3 B.4 C.7 D.12 2. 集合 22 =1,= 1Ay y xBx yx，则A与B的关系是（） A.AB B.AB C.AB D. AB是空集 3. 集合 , Aa b，0,1,2B，则从A到B的映射共有（）个 A.6 B.7 C.8 D.9 4函数 )82(log)( 2 3 xxxf的单调减区间为（） A)1 ,( B （， 2） C （4，+
2、） D 1 ,( 5. 已知函数 aax xa xf 22 是奇函数，则a的取值范围是 ( ) （A） 1a0 或 0a1 （B）a 1 或a1 （C）a0 （D）a0 6. 如果函数(2)yf x是偶函数，那么函数 1 = () 2 y fx的图像的一条对称轴是直线（） A.4x B. 2x C. 1 4 x D. 1 2 x 7. 已知函数 2 1 log 2 xaxxf a 在1,2上的函数值恒为正数，则实数 a的取值范围是 ( ) A. 8 5 , 2 1 B. , 2 3 C. 1 53 , 2 82 U D., 2 1 8. 当01x时，( ) lg x f x x ，则下列大小关
3、系正确的是（） A 22 ( )()( )fxf xf x B 22 ()( )( )f xfxf x C 22 ( )()( )f xf xfx D 22 ()( )( )f xf xfx 9. 已知函数 4),1( 4,) 2 1 ( )( xxf x xf x ，则)3log2( 2 f的值为（） A 3 1 B 6 1 C 12 1 D 24 1 10. 关于x方程 ) 1,0(2 2 aaaxxa x 且 的解的个数是（） A 1 B.2 C.0 D.视a的值而定 11. 函数 y f(x) 是定义在实数集R上的函数，那么 y f(x 4)与 yf(6 x) 的图像之间（） A关于直
4、线x5 对称 B关于直线x1 对称 C关于点（ 5，0）对称 D关于点（ 1，0）对称 12. 已知函数( )f x满足对所有的实数, x y，都有 2 ( )(2)5(3)21f xfxyxyfxyx，则(10)f的值为（） A -49 B-1 C0 D25 二、填空题（每题5 分，共 20 分） 13. 若函数 2 ( ) 1 f x x 的定义域是(,1)2,5)U, 则其值域为 _. 14. 对于在R上的函数( )yf x满足： （1） 对任意xR， 都有 33 ()( )f xfx；（2） 对任意 12 ,x xR， 12 xx，都有 12 ()()f xf x，则(0)(1)( 1
5、)fff_ 15.( )f x和( )g x的定义域都是R,( )f x是偶函数，( )g x是奇函数， 且 2 1 ( )( )= +1 f xg x xx , 那么 ( ) ( ) f x g x 的取值范围是 _. 16. 设集合M =2,0,1 ，N =1,2,3,4,5，映射f：MN使对任意的xM ，都有x+f(x)+xf(x) 是 奇数，则这样的映射f的个数是 _. 三、解答题（共70 分） 17. （满分 10 分） 设,Ra b, ,Ax yyaxb xZ, 2 ,3+15,Bx yyxxZ, 22 ,144Cx yxy. 是否存在,a b，使得AB，且( , )a bC? 1
6、8. （满分12 分）已知函数( ) a f xx x ， 其中a为常实数，试讨论( )fx的单调性，并用函数的 单调性证明之. 19.（满分 12分）已知函数 2 ( )4(0, ,f xaxxb aa bR), 设关于x的方程( )0f x的两实根为 12 ,x x，方程( )f xx的两实根为, （I ）若1，求a与b的关系式； （II ）若,a b均为负整数，且1，求( )f x的解析式； （III）若12，求证： 12 (1)(1)7xx 20. （满分 12 分）如图，铁路线上AB段长 100 千米，工厂C 到铁路的距离CA为 20 千米现要在AB 上某一点D处，向 C修一条公路，
7、已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为 3:5 为了使原 料从供应站B运到工厂 C的运费最少，D点应选在何处？ 21. （满分 12 分） 函 数( )l og (3 ) (0 a fxxaa， 且1)a， 当 点( , )P x y是 函 数( )yf x图 象 上 的 点 时 ， (2 ,)Q xay是函数( )yg x图象上的点 (I) 写出函数( )yg x的解析式； (II)当2,3xaa时，恒有( )( )1f xg x，试确定a的取值范围 22. （满分 12 分）对于定义域为0,1的函数( )f x，如果同时满足以下三条：对任意的0,1x，总有 ( )0f x；(1)
8、1f；若 1212 0,0,1xxxx，都有 1212 ()()()f xxf xf x成立，则称函数 ( )f x为理想函数 (1) 若函数( )fx为理想函数，求(0)f的值； (2) 判断函数( )21 x g x)1 ,0(x是否为理想函数，并予以证明； (3) 若函数( )f x为理想函数，假定存在 0 0,1x ，使得 0 ()0,1f x ，且 00 ( ()ff xx，求证： 00 ()f xx 大庆实验中学 2012-2013 学年度上学期月考 高一年级数学试题答案 一、选择题 D A D B C A C C D B D A 二、填空题 13. 1 (,0)(,2 2 U 1
9、4. 0 15 22 +)(-,-， 16. 45 三、解答题 17. 解：由 2 =+ 3+15 y ax b yx 得 2 3+15=0xaxb有解 . 则 2 012(15)ab 又 2222 144144-abab 所以， 222 =6 144-180-12-12 +360(b-6)0 =108 b bbbb a 代入， 2 3108+9=0x，得无整数解，所以不存在. 18. 当=0a时，( )f x在(-,+)上单调增；当0a时，( )f x在(- ,- a 及 ,+)a 都单调增，在 (-,0)a及(0,a上都单调减；当0a时，( )f x在(-,0)及(0,+)都单调增 . 1
10、9. 解： （I ）由( )fxx得 2 ( )4(0, ,f xaxxb aa bR)有两个不等实根为,， 3 940, b ab aa 由1得 2 ()1，即 2 2 94 ()41 b aa ， 2 94aba， 即 2 49(0, ,aabaa bR) （II ） 由 （ 1） 得 2 49aab，,a b均为负整数， 1 49 a ab ， 或 9 41 a ab ， 或 3 43 a ab ， 显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有 1 49 a ab ，解得1,2ab 故所求函数解析式为 2 ( )42f xxx （III）由已知得 1212 4 , b xxx x aa ，又由
11、12 得 3 0,2 b aa ，故 1 1 a ，且 121212 4 (1)(1)112417 b xxx xxx aa 20. 解 据题设知，单位距离的公路运费大于铁路运费，又知ACBADCBD，因此只 有点 D选在线段BA上某一适当位置， 才能使总运费最省 若设 D点距 A点x千米，从 B到 C的总运费为y， 建立y与x的函数，则通过函数)(xfy的最小值，可确定点D的位置 设)(千米xDA， 铁路吨千米运费为3a, 公路吨千米运费为5a， 从 B到 C的总运费为y, 则依题意， 得 2 3 (100)5400,(0,100)yaxaxx 令yat，则有 2 35 400txx（ 1）
12、 平方，整理得 22 166100000xtxt 由 22 364 16(10000)0tt，得80t 0,80.tt 将80t代入方程（ 1） ，解得15x，这时t最小，y最小 即当D点选在距A点 15 千米处时，总运费最省 21. 解： 解 (1) 设 00 (,)P xy是( )yf x图象上的点，( , )Q x y是( )yg x图象上的点， 则 0 0 2xxa yy 0 0 2xxa yy ,log (23 ) a yxaa 1 log()( ) a yxag x xa (2) 30 0 xa xa ,3xa ( )f x与( )g x在2,3aa上有意义，32aa,01a (
13、)( )1f xg x恒成立，log (3 )()1 a xaxa恒成立 22 1log (2 )1 01 a xaa a 221 (2 )axaa a 对2,3xaa时恒成立，令 22 ( )(2 )h xxaa，其对称轴2xa， 22aa，当2,3xaa时， min( ) (2)hxh a .69 1 ,44 )( 1 ,)( .max min a a aa xh a xha 957 0 12 a 故a的取值范围是 957 (0, 12 22. 解： （）取可得 又由条件，故 （）显然在0 ，1 满足条件； 也满足条件 若，则 ，即满足条件， 0 21 xx0)0()0()0()0(ffff 0)0(f0)0(f 12)( x xg0)(xg 1)1(g 0 1 x0 2 x1 21 xx )12()12(12)()()( 2121 2121 xxxx xgxgxxg 0)12)(12(1222 122121xxxxxx 故理想函数 （ III ）提示：反证法. )(xg