2013-2014学年高中数学北师大版必修1示范教案2.3函数的单调性.pdf

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1、3函数的单调性 整体设计 教学分析 在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容实际上，在初中学习函数时，已经重点 研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义， 对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出而本节内容， 正是初中有关内容的深化和 提高给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某 个区间来说的， 还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根 据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性， 这样就将以上两种方法统一起来了 由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，

2、在本节教学时可以充分使用信息技术 创设教学情境， 以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性还要 特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解 三维目标 1函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生 通过 自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数 的性质 2理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求 函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力 3能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调 性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发

3、学生学习的积极性 重点难点 教学重点：函数的单调性 教学难点：增函数、减函数形式化定义的形成 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,18501909) ，他以自 己为实验对象， 共做了 163 次实验， 每次实验连续要做两次无误的背诵经过一定时间后再 重学一次，达到与第一次学会的同样的标准他经过对自己的测试，得到了一些数据 时间间隔t 0 分钟20 分钟60 分钟 89 小时 1 天2 天6 天一个月 记忆量 y( 百分比 ) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1

4、% 观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数当自变量( 时间间隔t)逐渐 增大时，你能看出对应的函数值( 记忆量y) 有什么变化趋势吗？描出这个函数图像的草图 ( 这就是著名的艾宾浩斯曲线) 从左向右看， 图像是上升的还是下降的？你能用数学符号来 刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？( 可以借助信息技术画图像) 学生： 先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横 轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图艾宾浩斯遗忘曲线 如图 1 所示 图 1 遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律随着时间的推移， 记忆保持量在递减

5、， 刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理 解和记忆教师提示、点拨，并引出本节课题 推进新课 新知探究 提出问题 如图 2 所示的是一次函数yx，二次函数yx 2 和yx 2 的图像，它们的图像有什 么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？ 图 2 函数图像上任意点P(x，y) 的坐标有什么意义？ 如何理解图像是上升的？ 对于二次函数yx 2，列出 x，y的对应值表 ( 如下表 ) 完成下表并体会图像在y轴右 侧上升 x ,432101234, f(x)x 2 , 在数学上规定：函数yx 2 在区间 (0， ) 上是增函数谁能给出增函数的定义？

6、 增函数的定义中， 把“当x1x2时， 都有f(x1) f(x2) ”改为“当x1x2时， 都有f(x1) f(x2) ”，这样行吗？ 增函数的定义中， “当x1x2时， 都有f(x1) f(x2) ”反映了函数值有什么变化趋势？ 增函数的几何意义是什么？ 类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？ 函数yfx在区间D上具有单调性，说明了函数yfx在区间D上的图像有 什么变化趋势？ 讨论结果：函数yx的图像，从左向右看是上升的；函数yx 2 的图像在y轴左侧 是下降的，在y轴右侧是上升的；函数yx 2 的图像在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是 下降的 函数图像上任意点P的坐标 (x，y)

7、 的意义： 横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自 变量为x时对应的函数值的大小 按从左向右的方向看函数的图像，意味着图像上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量 逐渐增大 图像是上升的意味着图像上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐 增大也就是说从左向右看图像上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大 在区间 (0 ， ) 上，任取x1，x2， 且x1x2， 那么就有y1y2， 也就是有f(x1) f(x2) 这 样可以体会用数学符号来刻画图像上升 一般地， 设函数f(x) 的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自 变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1) f(x2

8、) ，那么就说函数f(x) 在区间D上是增函 数 可以增函数的定义：由于当x1x2时，都有f(x1) f(x2) ，即都是相同的不等号 “”，也就是说前面是“”，后面也是“”，步调一致；“当x1x2时，都有f(x1) f(x2) ”都是相同的不等号“”，也就是说前面是“”，后面也是“”， 步调一致 因 此我们可以简称为：步调一致增函数 函数值随着自变量的增大而增大 从左向右看，图像是上升的 一般地， 设函数f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自 变量的值x1，x2， 当x1x2时， 都有f(x1) f(x2)， 那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数 简 称为：

9、步调不一致减函数减函数的几何意义：从左向右看，图像是下降的函数值变化趋 势：函数值随着自变量的增大而减小总结：如果函数yf(x)在区间D上是增函数 (或减 函数 ) ，那么就说函数yf(x) 在这一区间具有( 严格的 ) 单调性 ，区间 D叫作yf(x) 的单调 递增 ( 或减 ) 区间 函数yf(x)在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大( 减小 ) ，几何 意义：从左向右看，图像是上升( 下降 ) 的 应用示例 思路 1 例 1 说出函数f(x) 1 x的单调区间，并指明在该区间上的单调性 活动：学生思考函数单调性的几何意义，由图像得单调区间 解： ( ， 0) 和(0 ， )

10、 都是函数的单调区间，在这两个区间上函数f(x) 1 x是减少 的 点评： 本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图像法判断函数单调性图像法判断 函数的单调性适合于选择题和填空题如果解答题中给出了函数的图像，通常用图像法判断 单调性 函数的图像类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函 数的图像可以分析出函数值的变化趋势即单调性 图像法求函数单调区间的步骤是：第一步，画函数的图像；第二步，观察图像，利用函 数单调性的几何意义写出单调区间 变式训练 图 3 是定义在区间 5,5 上的函数yf(x) 的图像，根据图像说出函数的单调区间， 以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函

11、数？ 图 3 活动：教师提示利用函数单调性的几何意义学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、 提示并及时评价学生图像上升则在此区间上是增函数，图像下降则在此区间上是减函数 解：函数yf(x) 的单调区间是 5，2) ， 2,1) ，1,3) ，3,5其中函数yf(x) 在区间 5， 2) ，1,3)上是减函数，在区间 2,1) ，3,5上是增函数 . 例 2 画出函数f(x) 3x2 的图像，判断它的单调性，并加以证明 活动： 学生自己画出图像，当学生没有证明思路时，教师再提示，及时纠正学生解答过 程中出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤 图 4 解： 作出f(x) 3x2 的图

12、像 ( 如图 4) 由图看出函数的图像在R上是上升的，函数是 R上的增函数 下面进行证明： 任取x1、x2R，且x1x2，则x1x20. 所以f(x1) f(x2) (3x12) ( 3x22) 3(x1x2) 0， 即f(x1) f(x2) 由单调函数的定义，可知函数f(x)3x 2是 R上的增函数 点评： 本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性 定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：第一步，在所给的区间上任取 两个自变量 x1和x2，通常令x1x2；第二步， 比 较f(x1) 和f(x2) 的大小， 通常是用作差比较法比较大小， 此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第

13、三步，再 归纳结论定义法的步骤可以 总结为：一“取( 去 ) ”、二“比”、三“再 ( 赛 ) ”，因此简称为“去比赛 ” 变式训练 1证明函数y 2 x 1在区间 2,6 上是单调递减的 证明：设x1、x2是区间 2,6上任意两个值， 且x1x2，则f(x1) f(x2) 2 x11 2 x21 2x2 1x11 x11x21 2x2x1 x11x21 . 由 2x1x26，所以x2x10，(x11)(x21) 0. 所以 2x2x1 x11x21 0. 于是f(x1) f(x2) 0，即f(x1) f(x2) 所以函数y 2 x1在区间 2,6 上是单调递减的 2画出 函数y 2x 1 的

14、图像，判断它的单调性，并加以证明 解： 作出函数y 2x1 的图像 ( 如图 5) 由图 5 可以看出函数y 2x1 的图像在 R 上是下降的，即函数是R上的减函数 图 5 证明：设x1、x2是 R上任意两个值，且x1x2，则f(x1) f(x2) ( 2x1 1)( 2x2 1) 2(x1x2) ， 因为x1x2， 所以x1x20， 2(x1x2) 0. 于是f(x1) f(x2) 0，即f(x1) f(x2) 所以函数y 2x1 在 R上是减函数 . 思路 2 例 1 (1)画出已知函数f(x) x 22x 3 的图像； (2) 证明函数f(x) x 22x3 在区间 ( ， 1 上是增函

15、数； (3) 当函数f(x)在区间 ( ，m 上是增函数时，求实数m的取值范围 解： (1) 函数f(x)x 22x3 的图像如图 6 所示 图 6 (2) 设x1、x2( ， 1 ，且x1x2，则有 f(x1) f(x2) ( x 2 12x13) ( x 2 22x23) (x 2 2x 2 1) 2(x1x2) (x1x2)(2 x1x2) x1、x2( ， 1 ，且x1x2，x1x20，x1x2 2. 2x1x2 0. f(x1) f(x2) 0. f(x1) f(x2) 函数f(x) x 22x3 在区间 ( ， 1 上是增函数 (3) 函数f(x) x 22x3 的对称轴是直线 x

16、1，在对称轴的左侧是增函数，那么当 区间 ( ，m 位于对称轴的左侧时满足题意，则有m1，即实数m的取值范围是(， 1 点评： 本题主要考查二次函数的图像、函数的单调性及其应用讨论有关二次函数的单 调性问题时， 常用数形结合的方法，结合二次函数图像的特点来分析；二次函数在对称轴两 侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内 判断函数单调性时，通常先画出其图像，由图像观察出单调区间，最后用单调性的定义 证明 判断函数单调性的三部曲： 第一步，画出函数的图像，观察图像，描述函数值的变化趋势； 第二步，结合图像来发现函数的单调区间； 第三步，用数学符号即函数单调性

17、的定义来证明发现的结论 函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的必考内容之一因此应理解单调函数及 其几何意义，会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调 性解决一些问题，会判断复合函数的单调性函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联 系极为密切，是高考命题的热点题型 变式训练 已知函数f(x) 是 R上的增函数，设F(x) f(x) f(ax) (1) 用函数单调性定义证明F(x) 是 R上的增函数； (2) 证明函数yF(x) 的图像关于点 a 2，0 成中心对称图形 活动： (1) 本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法证明；(2) 证明函数y F(x)

18、 的图像上的任意点关于点 a 2，0 的对称点还是在函数 yF(x) 的图像上即可 解： (1) 设x1、x2R，且x1x2. 则 F(x1) F(x2) f(x1)f(ax1) f(x2) f(ax2) f(x1) f(x2) f(ax2)f(ax1) 又函数f(x) 是 R上的增函数，x1x2，ax2ax1. f(x1) f(x2) ，f(ax2) f(ax1) f(x1) f(x2) f(ax2)f(ax1) 0. F(x1) F(x2) F(x) 是 R上的增函数 (2) 设点M(x0，F(x0) 是函数F(x) 图像上任意一点，则点M(x0，F(x0) 关于点 a 2，0 的 对称点

19、M(ax0，F(x0) 又F(ax0) f(ax0) f(a(ax0) f(ax0) f(x0) f(x0)f(ax0) F(x0) ， 点M(ax0，F(x0) 也在函数F(x) 图像上， 又点M(x0，F(x0) 是函数F(x) 图像上任意一点， 函数yF(x)的图像关于点 a 2，0 成中心对称图形 . 例 2 (1) 写出函数yx 2 2x 的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴 两侧的单调性有什么特点？ (2) 写出函数y|x| 的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴两侧的单 调性有什么特点？ (3) 定义在 4,8 上的函数yf(x) 的图像关于直线x2 对

20、称，yf(x) 的部分图像如 图 7 所示，请补全函数yf(x) 的图像，并写出其单调区间，观察：在函数图像对称轴两侧 的单调性有什么特点？ 图 7 (4) 由以上你发现了什么结论？试加以证明 活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示： (1) 画出二次函数yx 22x 的图像，借助于图像解决；(2) 类似于 (1) ；(3) 根据轴对称 的含义补全函数的图像，也是借助于图像写出单调区间； (4) 归纳函数对称轴两侧对称区间 上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明 解： (1) 函数yx 22x 的单调递减区间是( ， 1)，单调递增区间是(1 ， ) ；对 称轴是直线x1；区间

21、 ( ， 1) 和区间 (1 ， ) 关于直线x1 对称，而单调性相反 (2) 函数y|x| 的单调递减区间是( ， 0) ，单调递增区间是(0 ， ) ；对称轴是y 轴即直线x0；区间 ( ， 0)和区间 (0， ) 关于直线x0 对称，而单调性相反 (3) 函数yf(x) ，x 4,8 的图像如图8. 函数yf(x) 的单调递增区间是 4， 1 ，2,5；单调递减区间是5,8， 1,2 ； 区间 4，1 和区间 5,8 关于直线x2 对称，而单调性相反， 区间 1,2 和区间 2,5 关于直线x2 对称，而单调性相反 图 8 (4) 可以发现结论：如果函数yf(x)的图像关于直线xm对称，

22、那么函数yf(x) 在 直线xm两侧对称单调区间内具有相反的单调性证明如下： 不妨设函数yf(x) 在对称轴直线xm的右侧一个区间a，b 上是增函数，区间a， b 关于直线xm的对称区间是 2mb,2ma 由于函数yf(x) 的图像关于直线xm对称，则f(x) f(2mx) 设 2mbx1x22ma，则b2mx1 2mx2a， f(x1) f(x2) f(2mx1) f(2mx2) 又函数yf(x) 在 a，b 上是增函数， f(2mx1) f(2mx2) 0. f(x1) f(x2) 0. f(x1) f(x2) 函数yf(x) 在区间 2mb,2ma 上是减函数 当函数yf(x) 在对称轴

23、直线xm的右侧一个区间a，b上是增函数时，其在a， b 关于直线xm的对称区间 2mb,2ma 上是减函数，即单调性相反 因此有结论： 如果函数yf(x) 的图像关于直线xm对称，那么函数yf(x) 在对称轴 两侧的对称单调区间内具有相反的单调性 点评：本题通过归纳猜想证明得到了正确的结论，这是我们认识世界发现问题 的主要方法，这种方法的难点是猜想，突破路径是寻找共同的特征本题作为结论记住，可 以提高解题速度 图像类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点， 同样根据函数的图像也能观察出函数的性质特征这需要有细致的观察能力 变式训练 函数yf(x) 满足以下条件： 定义域是R

24、；图像关于直线x1 对称；在区间2 ， ) 上是增函数试写出函 数yf(x) 的一个解析式f(x) _( 只需写出一个即可，不必考虑所有情况) 活动：根据这三个条件，画出函数yf(x) 的图像简图 (只要能体现这三个条件即可) ， 再根据图像简图，联系猜想基本初等函数及其图像和已有的解题经验写出 解： 定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图像关于直线x 1 对 称的函数解析式满足：f(x) f(2 x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由 想到了二次函数；结合二次函数的图像，在区间 2 ，) 上是增函数说明开口必定向上， 且正好满足二次函数的对称轴直线x 1不在区间 2

25、 ， ) 内，故函数的解析式可能是y a(x1) 2 b(a 0) 结合二次函数的图像和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有： 形如ya(x1) 2b( a0)，或为ya|x1| b(a0) 等都可以，答案不唯一. 知能训练 1利用图像法写出基本初等函数的单调性 解： 正比例函数：ykx(k0) 当k0 时，函数ykx在定义域R 上是增函数；当k0 时，函数ykx在定义域R 上是减函数 反比 例函数：y k x( k0) 当k0 时，函数y k x的单调递减区间是 (， 0)，(0 ，) ，不存在单调递增区间； 当k0 时，函数yk x的单调递增区间是 ( ， 0) ，(0 ， )

26、，不存在单调递减区间 一次函数：ykxb(k0) 当k0 时，函数ykxb在定义域R上是增函数； 当k0 时，函数ykxb在定义 域 R上是减函数 二次函数：yax 2 bxc(a0) 当a0 时，函数yax 2 bxc的单调递减区间是， b 2a ，单调递增区间是 b 2a， ； 当a0 时，函数yax 2 bxc的单调递减区间是 b 2a， ，单调递增区间是 ， b 2a . 点评： 以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度 2已知函数ykx2 在 R上是增函数，求实数k的取值范围 答案：k(0 ， ) 3二次函数f(x) x 2 2ax m在( ， 2) 上是减函数，在(2

27、 ， ) 上是增函数，求 实数a的值 答案：a2. 4已知f(x) 是定义在 (0 ， ) 上的减函数，若f(2a 2 a1)f(3a 24a1)成立， 则a的取值范围是_ 解析： f(x) 的定义域是 (0， ) ， 2a 2 a10， 3a 24a10. 解得a 1 3或 a1. f(x) 在(0 ， ) 上是减函数，2a 2 a1 3a 24a1. a 25a0. 0a5. 0a 1 3或 1 a5，即a的取值范围是0，1 3 (1,5) 答案：0，1 3 (1,5) 点评： 本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式解与函数 有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的

28、单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式 拓展提升 问题： 1画出函数y1 x的图像，结合图像探讨下列说法是否正确 (1) 函数y 1 x是减函数； (2) 函数 y 1 x的单调递减区间是 ( ， 0) (0， ) 2对函数y1 x，取 x1 1x22，则f(x1) 1f(x2) 1 2，满足当 x1x2时f(x1) f(x2) ，说函数y 1 x在定义域上是增函数对吗？为什么？ 3通过上面两道题，你对函数的单调性定义有什么新的理解？ 解答： 1.(1)是错误的，从左向右看，函数y 1 x的图像不是下降的 (2) 是错误的，函数y 1 x的单调递减区间是 ( ， 0) ，(0 ， ) 在定义域(

29、， 0) (0 ， ) 上函数y 1 x的图像，从左向右看不是下降的，因此这是错误的 2不对这个过程看似是定义法，实质上不是定义中x1、x2是在某区间内任意取的 两个值，不能用特殊值来代替 3函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保 持其任意性 点评： 函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”； 函数yf(x) 在区间 (a，b) 和(b，c) 上均是增 (减 ) 函数，那么在区间(a，b) (b，c)上的单 调性不能确定 课堂小结 本节学习了：函数的单调性；判断函数单调性的方法：定义法和图像法 作业 习题 23 A 组 3、4、

30、5. 设计感想 “函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单 调性的定义教学中， 往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构” 本 设计致力于展示概念是如何生成的在概念的发生、发展中，通过层层设问， 调动学生的思 维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材 本节课采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究， 师生 交流， 最终形成概念，获得方法本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提 供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识考虑到部分学生数学基础较好、思维 较为活跃的特点，对判断方法进行

31、适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函 数单调性埋下伏笔. 备课资料 判断下列说法是否正确： 已知f(x) 1 x，因为 f(1) f(2) ，所以函数f(x) 是增函数 若函数f(x) 满足f(2) f(3) ，则函数f(x) 在区间 2,3上为增函数 若函数f(x) 在区间 (1,2 和 (2,3) 上均为增函数，则函数f(x) 在区间 (1,3) 上为增函 数 因为函数f(x) 1 x在区间 ( ，0) 和(0 ， ) 上都是减函数， 所以 f(x) 1 x在( ， 0) (0 ， ) 上是减函数 活动：教师强调以下三点后，让学生判断 单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性 有的函数在整个定义域内单调( 如一次函数 ) ， 有的函数只在定义域内的某些区间单调 ( 如二次函数 ) ，有的函数根本没有单调区间( 如常函数 ) 函数在定义域内的两个区间A，B上都是增 ( 或减 ) 函数，一般不能认为函数在AB 上是增 ( 或减 ) 函数 答案： 这四个判断都是错误的 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？ 证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即 可也就是说，只要找到两个特殊的自变量不符合定义就行 ( 设计者：张建国)