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1、- 1 - 数学试题 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 若32，M54321， ， 的个数为：则M ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 1. 函数 )34(log 2 xy 的定义域为 : （） A.( 4 3 ,+ ) B. , 4 3 C.( 3 4 , + ) D.(- , 4 3 ) 已知幂函数y x 的图象过点 (2 ，2) ，则f(4) 的值是 :( ) A. 1 2 B 1 C 2 D4 4. 下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是：( ) A. 2 yx B. 1 2
2、 yx C. 1 3 yx D. 3 yx 5. 把正方形ABCD沿对角线BD折成直二角后，下列命题正确的是：( ) A. BCAB B. BDAC C. ABCCD平面 D. ACDABC平面平面 6. 已知函数 2 ( )4 ,1,5)f xxx x，则此函数的值域为：( ) A. 4,) B. 3,5) C. 4,5 D. 4,5) 7.已知函数fx的图像是连续不断的，有如下的, x fx对应值表： x1 2 3 4 5 6 7 fx 123.5 21.5 7.82 11.57 53.7 126.7 129.6 那么函数fx在区间1,6上的零点至少有：( ) A. 2 个 B. 3个 C
3、. 4个 D. 5个 8. 若函数fx在 R上是单调递减的奇函数，则下列关系式成立的是：( ) A.34ff B.34ff C.34ff D.34ff 9已知 A、B 两地相距150 千米，某人开汽车以60 千米 / 小时的速度从A 地到达 B 地，在 B 地停留 1 小时后再以50 千米 / 小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时 间 t （小时）的函数表达式是: ( ) Ax=60tBx=60t50t Cx= )5.3( ,50150 )5.20( ,60 tt tt Dx= )5 . 65. 3(),5. 3(50150 ) 5.35.2( ,150 )5 .20( ,60
4、tt t tt - 2 - 10某工厂去年12 月份的产值是去年1 月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为: （） A. 11 m B. 12 m C.1m 12 D.1m 11 11某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下 图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该 学生走法的 : （） 12. 设f（x） lg(10 x 1) ax是偶函数，g（x） x x b 2 4 是奇函数， 那么ab的值为 :（） A 1 B 1 C 2 1 D 2 1 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二
5、、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 把答案填在题中的横线上. 13. 圆台的上，下底面积分别为4 ,，侧面积为6，则这个圆台的体积是 14. 函数 2 3 4 1 ( ) 2 xx y的值域 15. 若平面平面，点,25,48,CDABDBCA且点又CD在平面内 的射影长为7，则AB于平面所长角的度数是 16. 若 11 23,23ab，则 22 11ab的值是 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10 分） 若02x，求函数 1 2 43 25 x x y的最大值和最小值. d d0 t0tO A d
6、 d0 t0tO B d d0 t0tO C d d0 t0tO D - 3 - 18( 本题满分10 分) 如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧 面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m ，高为7m ，制造这个塔顶需要多少铁板？ 19（本小题满分12 分） 已知函数 x xxf 2 )(. （1）判断)(xf的奇偶性，并证明你的结论； （2）证明：函数)(xf在,2内是增函数 . 20（本小题满分12 分） 如图，棱长为1的正方体 1111 DCBAABCD中， （1）求证：DBDBAC 11 平面; (2) 求三棱锥 1 ACBB的体积 . B 1 D D A 1
7、 A 1 B 1 C C - 4 - 21 （本小题满分12 分） 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1 ，若最初时含杂质2， 每过滤 一次可使杂质含量减少 1 3 ，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？ （已知lg 20.3010，lg 30.4771） - 5 - 22 （本小题满分14 分） 已知函数lg10 xx fxabab. （1）求yfx的定义域； （2）在函数yfx的图像上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴； （3）当,a b满足什么关系时，fx在1,上恒取正值 . 答案： 三. 17. 解：原式可变形为 1 2 443 25 xx y， 即
8、 2 1 2325 02 2 xx yx 令2x t，则问题转化为 2 1 35 14 2 yttt 将函数配方有 211 314 22 ytx 根据二次函数的区间及最值可知： 当3t，即23 x 时，函数取得最小值，最小值为 1 2 . - 6 - 当1t，即0x时，函数取得最大值，最大值为 5 2 . 18. 如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO. 作SPAB，连接OP. 在 RtSOP中，SO7(m)，OP1 2BC 1(m)， 所以SP 22(m)， 则SAB的面积是 1 222 222(m 2) 所以四棱锥的侧面积是42282(m 2) ， 即制造这个塔顶需要82m 2 铁板 1
9、9. 解： （1）函数的定义域是, 00, )() 2 ( 2 )(xf x x x xxf )(xf是奇函数 （2）设, 2, 21 xx，且 21 xx 则) 2 ( 2 )()( 2 2 1 121 x x x xxfxf 21 2xx，0,02, 0212121xxxxxx )()(, 0)()( 2121 xfxfxfxf即 故)(xf在，2内是增函数 ) 2 )( ) 22 ()( 21 21 21 21 21 xx xx xx xx xx - 7 - 22. 解： （1）由0 xx ab得1 x a b ， 由已知1 a b ，故0x， 即函数fx的定义域为0,. （2）设 12
10、 0,10,xxab 1212 , xxxx aabb则 12xx bb. 故 1122 0 xxxx abab， 1122 lglg xxxx abab 即 12 fxfx.fx在0,上为增函数 . 假设函数yfx的图像上存在不同的两点 1122 ,A x yB xy，使直线AB平行于x 轴，即 1212 ,xxyy，这与fx是增函数矛盾 . 故函数yfx的图像上不存在不同 的两点，使过这两点的直线平行于x轴. （ 3）由（ 2）知，fx在0,是增函数， fx在1,上也是增函数 . - 8 - 当1,x时，1fxf. 只需10f，即lg0ab，即1ab， 1ab时，fx在1,上恒取正值 .