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1、圆_的_方_程 知识能否忆起 1圆的定义及方程 定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹 ) 标准 方程 (xa) 2(yb)2r2 (r0) 圆心： (a， b)，半径： r 一般 方程 x 2 y2 DxEyF0 (D 2E24F0) 圆心： D 2 ， E 2 ， 半径： 1 2 D 2 E24F 2点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆 (xa)2(y b)2r2的位置关系： (1)若 M(x0，y0)在圆外，则 (x0a) 2 (y 0b) 2r2. (2)若 M(x0，y0)在圆上，则 (x0a) 2 (y 0b) 2 r2. (3)若 M(x0，y0)在圆内，则 (x0
2、a) 2 (y 0b) 2r2. 小题能否全取 1(教材习题改编)方程 x 2 y2 4mx 2y5m0 表示圆的充要条件是 () A. 1 4m1 Bm 1 4 或 m1 Cm1 4 Dm1 解析： 选 B由 (4m)244 5m0 得 m 1 4或 m1. 2(教材习题改编)点(1,1)在圆 (xa) 2(ya)24内，则实数 a 的取值范围是() A(1,1) B(0,1) C(， 1) (1， ) D(1， ) 解析： 选 A点 (1,1)在圆的内部， (1a)2(1a)24， 1 a1. 3圆心在y 轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程为() Ax 2 (y2)21 Bx 2
3、(y2)21 C(x1) 2(y3)2 1 Dx2(y3)21 解析： 选 A设圆心坐标为(0，b)，则由题意知0 1 2 b22 1，解得 b2，故 圆的方程为x2(y2)21. 4 (2012 潍坊调研 )圆 x 22xy230的圆心到直线 x3y30的距离为 _ 解析： 圆心 (1,0)，d |1 3| 13 1. 答案： 1 5(教材习题改编)圆心在原点且与直线xy2 0相切的圆的方程为 _ 解析： 设圆的方程为x2y2a2(a0) |2| 11 a， a2， x2y22. 答案： x 2y22 1.方程 Ax 2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是： (1)B0； (2)AC
4、 0；(3)D 2E24AF0. 2求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上 (2)圆心在任一弦的中垂线上 (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 圆的方程的求法 典题导入 例 1(1)(2012顺义模拟 )已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧长 之比为 12，则圆 C 的方程为 () A. x 3 3 2y24 3 B. x 3 3 2y21 3 Cx 2 y 3 3 24 3 Dx 2 y 3 3 21 3 (2)已知圆 C 经过 A(5,1)， B(1,3)两点， 圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为 _
5、 自主解答 (1)由已知知圆心在y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 2 3 ， 设圆心 (0， b)，半径为r，则 r sin 31，rcos 3|b|，解得 r 2 3 ，|b| 3 3 ，即 b 3 3 . 故圆的方程为x2 y 3 3 24 3. (2)圆 C 的方程为x 2y2DxF0， 则 26 5DF0， 10 DF0， 解得 D 4， F 6. 圆 C 的方程为x2y24x60. 答案 (1)C(2)x 2y24x60 由题悟法 1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r 或 D，E，F 的方程组 2利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体
6、现了数形 结合思想的运用 以题试法 1(2012 浙江五校联考)过圆 x 2y24 外一点 P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为 A， B，则 ABP 的外接圆的方程是() A(x 4) 2(y2)2 1 Bx2(y2)24 C(x2) 2(y1)2 5 D(x2)2(y1)25 解析： 选 D易知圆心为坐标原点O，根据圆的切线的性质可知OAPA，OBPB， 因此 P，A，O，B 四点共圆， PAB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是 (x2) 2(y1)25. 与圆有关的最值问题 典题导入 例 2(1)(2012湖北高考 )过点 P(1,1)的直线，将圆形区域 (x， y)
7、|x 2y24分为两部分， 使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() Axy20 B y10 Cxy0 D x3y40 (2)P(x， y)在圆 C：(x1) 2 (y 1)21 上移动，则 x2y2的最小值为 _ 自主解答 (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件圆心O 与 P 点 连线的斜率k1，直线 OP 垂直于 x y20. (2)由 C(1,1)得|OC|2，则 |OP|min 21，即 (x2y2)min2 1.所以 x2y2的最小 值为 (21)232 2. 答案 (1)A(2)322 由题悟法 解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u yb xa的
8、最值问题，可转化为定点 (a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问 题(如 A 级 T9)； (2)形如 taxby 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2)； (3)形如 (xa) 2(yb)2 的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例 (2) 以题试法 2(1)(2012东北三校联考 )与曲线 C：x 2y2 2x2y0 相内切，同时又与直线 l：y 2x 相切的半径最小的圆的半径是_ (2)已知实数x，y 满足 (x2) 2(y1)21 则 2xy 的最大值为 _，最小值为 _ 解析： (1)依题意， 曲线 C 表示的是以点C(1，1)为圆心，2为半
9、径的圆， 圆心 C( 1， 1)到直线y2x 即 xy20 的距离等于 |1 12| 2 22，易知所求圆的半径等 于2 22 2 3 2 2 . (2)令 b2xy， 则 b 为直线 2xy b在 y 轴上的截距的相反数，当直线 2xy b 与圆 相切时， b 取得最值由 |221b| 5 1.解得 b5 5，所以 2x y 的最大值为55，最 小值为 55. 答案： (1)3 2 2 (2)5555 与圆有关的轨迹问题 典题导入 例 3(2012 正定模拟 )如图，已知点A(1,0)与点 B(1,0)，C 是圆 x 2 y21 上的动点，连接BC 并延长至D，使得 |CD|BC|，求 AC
10、 与 OD 的交点 P 的轨迹方程 自主解答 设动点 P(x， y)，由题意可知P 是 ABD 的重心 由 A(1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)， 则 D(2x01,2y0)，由重心坐标公式得 x 112x01 3 ， y 2y0 3 ， 则 x0 3x1 2 ， y0 3y 2 y00 ， 代入 x2y21，整理得 x 1 3 2y24 9(y0)， 故所求轨迹方程为x 1 3 2 y24 9(y0) 由题悟法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程 (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程 (3)几何法
11、：利用圆与圆的几何性质列方程 (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 以题试法 3(2012 郑州模拟 )动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2 倍，则动点P 的 轨迹方程为 () Ax 2 y232 Bx2y216 C(x1) 2y216 Dx2(y1)216 解析： 选 B设 P(x，y)，则由题意可得2x 2 2y2 x8 2 y2，化简整理得 x2 y 216. 1圆 (x 2) 2y25 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为() A(x 2) 2y25 Bx2(y2)25 C(x2) 2(y2)2 5 Dx2(y2)25 解析：选
12、A圆上任一点 (x， y)关于原点对称点为(x， y)在圆 (x2)2y25 上，即( x2) 2(y)25.即(x2)2y25. 2(2012 辽宁高考 )将圆 x 2y22x4y10 平分的直线是 ( ) Axy10 Bxy30 Cxy1 0 Dx y30 解析： 选 C要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)A，B， C，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心 3(2012 青岛二中期末)若圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 4x 3y0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是() A(x 3) 2 y7 3 21 B(x2)2(y1)21 C(x1)
13、 2(y3)2 1 D. x 3 2 2(y1)21 解析：选 B依题意设圆心C(a,1)(a0)，由圆 C 与直线 4x3y0 相切，得|4a 3| 5 1， 解得 a 2，则圆 C 的标准方程是(x2)2(y1)21. 4 (2012 海淀检测 )点 P(4， 2)与圆 x 2 y2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 () A(x 2) 2(y1)2 1 B(x2)2(y1)24 C(x4) 2(y2)2 4 D(x2) 2(y1)21 解析： 选 A设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ 的中点为 M(x，y)，则 x 4x0 2 ， y 2y0 2 ， 解 得 x02x4， y02y2.
14、 因为点 Q 在圆 x 2y24 上，所以 (2x 4)2(2y2)24，即 (x2)2 (y 1) 21. 5(2013 杭州模拟 )若圆 x 2y22x6y5a 0，关于直线 y x2b 成轴对称图形， 则 ab 的取值范围是() A(， 4) B(， 0) C(4， ) D(4， ) 解析： 选 A将圆的方程变形为(x1)2(y3)2105a，可知，圆心为(1， 3)，且 10 5a0，即 a2.圆关于直线yx2b 对称，圆心在直线y x2b 上，即 31 2b，解得 b 2， a b4. 6已知点M 是直线 3x4y 20 上的动点，点N 为圆 (x1) 2(y1)2 1上的动点， 则
15、|MN|的最小值是 () A. 9 5 B1 C.4 5 D.13 5 解析： 选 C圆心 (1， 1)到点 M 的距离的最小值为点(1， 1)到直线的距离d | 342| 5 9 5，故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d1 4 5. 7如果三角形三个顶点分别是O(0,0)， A(0,15)， B( 8,0)，则它的内切圆方程为 _ 解析：因为 AOB 是直角三角形， 所以内切圆半径为r |OA|OB|AB| 2 15817 2 3，圆心坐标为(3,3)，故内切圆方程为(x3) 2(y3)29. 答案： (x3) 2 (y 3)29 8(2013 河南三市调研)已知圆 C 的圆心与抛物线y
16、 24x 的焦点关于直线 yx 对称， 直线 4x3y20 与圆 C 相交于 A，B 两点，且 |AB|6，则圆 C 的方程为 _ 解析： 设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y24x 的焦点坐标是(1,0)，则圆 C 的 圆心坐标是 (0,1)， 圆心到直线4x3y20的距离 d |40 312| 4 2 32 1， 则 R2d2 |AB| 2 210，因此圆 C 的方程是x 2(y1)210. 答案： x2(y1) 2 10 9(2012 南京模拟 )已知 x，y 满足 x 2y21，则y2 x1的最小值为 _ 解析： y 2 x 1表示圆上的点 P(x，y)与点 Q(1,2)连线的斜率，
17、所以 y2 x1的最小值是直线 PQ 与圆相切时的斜率 设直线 PQ 的方程为y2k(x 1)即 kxy2 k0.由 |2 k| k 211 得 k 3 4，结合图形可知， y2 x1 3 4，故最小值为 3 4. 答案： 3 4 10过点 C(3,4)且与 x 轴， y 轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，求 r1r2. 解： 由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线 yx 上，故可设两圆方程为 (x a) 2(ya)2a2，(xb)2(yb)2b2， 且 r1a，r2b.由于两圆都过点C， 则(3a)2(4a)2a2，(3b)2 (4b)2b2 即 a214a250，b214b
18、250. 则 a、b 是方程 x 214x25 0的两个根 故 r1r2ab25. 11已知以点P 为圆心的圆经过点A(1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆P 于 点 C 和 D，且 |CD| 4 10. (1)求直线 CD 的方程； (2)求圆 P 的方程 解： (1)直线 AB 的斜率 k1， AB 的中点坐标为(1,2) 则直线 CD 的方程为y2 (x1)， 即 xy30. (2)设圆心 P(a，b)，则由 P 在 CD 上得 ab30. 又直径 |CD|410， |PA|2 10， (a1) 2b240. 由解得 a 3， b 6 或 a5， b 2. 圆心 P(
19、3,6)或 P(5， 2) 圆 P 的方程为 (x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240. 12(2012 吉林摸底 )已知关于x，y 的方程 C：x 2y22x4ym0. (1)当 m 为何值时，方程C 表示圆； (2)在(1)的条件下，若圆C 与直线 l：x2y40 相交于 M、 N 两点，且 |MN| 4 5 5 ， 求 m 的值 解： (1)方程 C 可化为 (x 1)2(y2)2 5m，显然只要5m0，即 m5 时方程 C 表示圆 (2)因为圆 C 的方程为 (x1) 2(y2)25m，其中 m5，所以圆心 C(1,2)，半径 r 5m， 则圆心 C(1,2)到直线 l：x
20、2y40 的距离为d |1224| 1 222 1 5， 因为 |MN| 45 5 ，所以 1 2|MN| 2 5 5 ， 所以 5m 1 5 2 25 5 2， 解得 m4. 1(2012 常州模拟 )以双曲线 x 2 6 y 2 3 1 的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的 方程是 () A(x3) 2y21 B(x3) 2y23 C(x3) 2y23 D(x3) 2y29 解析： 选 B双曲线的渐近线方程为x 2y 0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r |3| 1 2 22 3，所求圆方程为(x3)2y23. 2由直线yx2 上的点 P 向圆 C：(x4) 2(y2)2 1引切线
21、 PT(T 为切点 )，当 |PT| 最小时，点P 的坐标是 () A(1,1) B(0,2) C(2,0) D(1,3) 解析：选 B根据切线长、 圆的半径和圆心到点P 的距离的关系， 可知 |PT|PC| 2 1， 故|PT|最小时，即 |PC|最小，此时PC 垂直于直线yx2，则直线PC 的方程为y2 (x 4)，即 y x2，联立方程 yx 2， y x2， 解得点 P 的坐标为 (0,2) 3已知圆M 过两点 C(1， 1)，D( 1,1)，且圆心 M 在 x y20 上 (1)求圆 M 的方程； (2)设 P 是直线 3x4y 80 上的动点， PA、PB 是圆 M 的两条切线，
22、A，B 为切点，求 四边形 PAMB 面积的最小值 解： (1)设圆 M 的方程为 (xa) 2(yb)2r2(r0) 根据题意，得 1a 2 1b2r2， 1a 2 1b2r2， ab 20. 解得 ab 1，r2， 故所求圆 M 的方程为 (x1) 2(y1)24. (2)因为四边形PAMB 的面积 S SPAMSPBM 1 2|AM| |P A| 1 2|BM| |PB|， 又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以 S2|P A|， 而|P A|PM|2|AM|2|PM|24， 即 S2|PM|24. 因此要求 S的最小值，只需求|PM|的最小值即可， 即在直线 3x4y8 0 上找一点
23、 P，使得 |PM|的值最小， 所以 |PM|min |31418| 3 242 3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S2|PM|2 min4 232425. 1在圆x 2y22x6y 0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和 BD，则四 边形 ABCD 的面积为 () A5 2 B10 2 C152 D202 解析： 选 B由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点 E(0,1)位于该圆内， 故过点E(0,1)的最短弦长 |BD|210 12222 5(注：过圆内一定点的最短弦是以该点 为中点的弦 )，过点 E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|2
24、10，且 AC BD，因此四 边形 ABCD 的面积等于 1 2|AC| |BD| 1 22 1025102. 2已知两点A(2,0)，B(0,2)，点 C 是圆 x 2 y22x0 上任意一点，则 ABC 面积的 最小值是 _ 解析： lAB：xy20，圆心 (1,0)到 l 的距离 d 3 2 ， 则 AB 边上的高的最小值为 3 2 1. 故 ABC 面积的最小值是 1 22 2 3 21 32. 答案： 32 3(2012 抚顺调研 )已知圆 x 2y24 上一定点 A(2,0)，B(1，1)为圆内一点， P，Q 为圆 上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若 PBQ90 ，求线段PQ 中点的轨迹方程 解： (1)设 AP 的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为 (2x2,2y) 因为 P 点在圆 x2y24 上，所以 (2x2)2(2y)24. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1) 2y21. (2)设 PQ 的中点为N(x，y)，在 Rt PBQ 中， |PN|BN|，设 O 为坐标原点，连接ON， 则 ONPQ，所以 |OP| 2|ON|2 |PN|2|ON|2 |BN|2， 所以 x2y2(x1)2(y1)24. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为x2 y2xy10.