《2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的基本定理及坐标表示(含解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的基本定理及坐标表示(含解析).pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、平面向量的基本定理及坐标表示 知识能否忆起 一、平面向量基本定理及坐标表示 1平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且 只有一对实数 1， 2，使 a1e1 2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解 3平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i， j 作为基底 对 于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使 ax i yj，把有序数对 (x，y)叫做向量 a 的坐标，记
2、作a(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标 (2)设OAxiyj，则向量 OA的坐标 (x，y)就是终点A 的坐标，即若OA(x，y)，则 A 点坐标为 (x，y)，反之亦成立(O 是坐标原点 ) 二、平面向量坐标运算 1向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)， a(x 1， y1) 2向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1， y2 y1)，|AB|x2x1
3、 2 y 2y1 2. 三、平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)， b(x2，y2)，其中 b0.若 ab? x1y2x2y10. 小题能否全取 1(2012 广东高考 )若向量AB(1,2)，BC(3,4)，则 AC() A(4,6)B(4， 6) C(2， 2) D(2,2) 解析： 选 AACABBC，AC(1,2)(3,4)(4,6) 2已知向量a(2,1)，b(x， 2)，若 ab，则 ab 等于 () A(2， 1) B (2,1) C(3， 1) D (3,1) 解析： 选 A由 a b可得 2(2)1x0，故 x 4，所以 ab(2， 1) 3(教材习题改编)已知两点A
4、(4,1)，B(7， 3)，则与AB同向的单位向量是 () A. 3 5， 4 5 B. 3 5， 4 5 C. 4 5， 3 5 D. 4 5， 3 5 解析： 选 A A(4,1)，B(7， 3)，AB(3， 4)， 与AB同向的单位向量为 AB |AB| 3 5， 4 5 . 4在平行四边形ABCD 中，若AB(1,3)，AC (2,5)，则AD _，BD _. 解析：ADBCACAB(2,5)(1,3)(1,2)， BDADAB(1,2)(1,3)(0， 1) 答案： (1,2)(0， 1) 5梯形 ABCD 中， ABCD，AB2CD，M，N 分别是 CD，AB 的 中点，设ABa，
5、AD b.若MNmanb，则 n m_. 解析： MNMDDAAN 1 4ab 1 2a 1 4ab， m 1 4，n 1. n m 4. 答案： 4 1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内 任意向量a 都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示， 且在基底确定后，这样的表示是唯 一的 2向量坐标与点的坐标的区别 要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不 同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息 平面向量基本定理及其应用 典题导入 例 1(2012 苏北四市联考 )如图，在四边形ABCD 中， AC 和 BD
6、 相交于点O，设AD a，ABb，若 AB2DC，则AO _(用向量 a 和 b表示 ) 自主解答 AB2DC， DOC BOA，且 OC OA 1 2， AO 2 3 AC 2 3( AD DC)2 3 a 1 2b 2 3a 1 3b. 答案 2 3a 1 3b 由题悟法 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就 是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加 减运算和数乘运算 以题试法 1(2012 南宁模拟 )在 ABC 中，M 为边 BC 上任意一点， N 为 AM 中点，AN AB AC，则 的值为 () A.
7、1 2 B.1 3 C.1 4 D1 解析： 选 A设CM mCBm(ABAC)(0m1)，则 AM ACCM(1 m) ACmAB，AN1 2 AM m 2 AB 1m 2 AC ，所以 m 2 1m 2 1 2. 平面向量的坐标运算 典题导入 例 2(1)(2012西城期末 )已知向量a(3，1)，b(0， 2)若实数 k 与向量 c满足 a2bkc，则 c 可以是 () A(3， 1)B(1，3) C(3， 1) D(1, 3) (2)已知 A(2,4)，B(3， 1)，C(3， 4)设AB a，BCb，CAc. 求 3ab3c； 求满足 ambnc 的实数 m，n. 自主解答 (1)
8、a(3，1)，b(0， 2)， a2b(3， 3)3(1，3) (2)由已知得a (5， 5)，b(6， 3)，c(1,8) 3ab3c3(5， 5)(6， 3)3(1,8) (1563， 15324) (6， 42) mbnc(6mn， 3m8n)， 6mn 5， 3m8n 5， 解得 m 1， n 1. 答案 (1)D 本例中第 (2)题增加条件CM3c，ON2b，求 M，N 的坐标及向量MN的坐标 解： CMOMOC3c， OM 3cOC(3,24)(3， 4) (0,20) M(0,20)又CNONOC 2b， ON 2bOC(12,6)( 3， 4) (9,2)， N(9,2) MN
9、(9， 18) 由题悟法 1向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转 化为数量运算 2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程(组)思想的应用 注意 向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化， 但向量的坐标不变 以题试法 2(2012 淮安模拟 )已知向量a(6,4)，b(0,2)，OC a b，O 为坐标原点，若点 C 在函数 ysin 12x 的图象上，则实数 的值为 _ 解析： 由题意得OC(6,4) (0,2)(6,42 )， 故点 C 的坐标为 (6,42 )， 根据条件得42 sin6 121，解得 3 2. 答案
10、： 3 2 平面向量共线的坐标表示 典题导入 例 3(2011 广东高考 )已知向量a(1,2)，b (1,0)，c (3,4)若 为实数， (a b) c，则 () A. 1 4 B.1 2 C1 D2 自主解答 可得 a b (1 ，2)，由 (a b)c 得(1 )432 0，所以 1 2. 答案 B 在本例条件下， 问是否存在非零常数 ，使 a b 和 a c平行？若平行，是同向还是 反向？ 解： a b(1 ，2)，a c(13 ，24 )， 若(a b)(a c)， (1 )(24 )2(1 3 )0. 1.a b(2,2)与 a c(2， 2)反向 即存在 1 使 a b 与 a
11、 c 平行且反向 由题悟法 ab 的充要条件有两种表达方式 (1)a b(b0)? a b( R)； (2)设 a(x1， y1)，b (x2，y2)，则 a b? x1y2x2y10. 两种充要条件的表达形式不同第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件 b0，而第 (2)种无 b0 限制 以题试法 3(1)(2012北京东城区综合练习)已知向量a(2,3)，b( 1,2)，若 manb 与 a 2b 共线，则 m n () A 2 B2 C 1 2 D.1 2 解析： 选 C由向量 a(2,3)，b(1,2)得 manb(2mn,3m2n)，a2b(4， 1)，因为 ma nb 与
12、 a2b 共线，所以 (2mn)(1)(3m2n)40，整理得 m n 1 2. (2)(2012嘉兴模拟 )已知 a，b 是不共线的向量，AB ab，ACa b， ， R， 那么 A，B， C 三点共线的充要条件为() A 2 B 1 C 1 D1 解析：选 DA， B， C 三点共线， 存在实数t， 满足AB tAC，即 ab ta tb， 又 a，b 是不共线的向量， t， 1t， 即 1. 1在 ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，点 Q 是 AC 的中点，若 PA(4,3)， PQ (1,5)，则BC等于 () A(2,7)B (6,21) C(2， 7) D (6， 2
13、1) 解析： 选 BBC3PC3(2PQPA)6PQ3PA(6,30)(12,9)( 6,21) 2已知平面向量a(1,2)， b(2， m)，且 ab，则 2a 3b() A(2， 4) B (3， 6) C(4， 8) D (5， 10) 解析： 选 C由 a (1,2)，b (2，m)，且 ab，得 1m2(2)? m 4，从而 b(2， 4)，那么 2a3b2(1,2) 3(2， 4)(4， 8) 3.(2013昆明模拟 )如图所示，向量OAa，OBb，OCc，A， B，C 在一条直线上，且AC 3CB，则 ( ) Ac 1 2a 3 2b Bc 3 2a 1 2b Cc a2b Dc
14、a2b 解析： 选 AAC 3CB，OCOA 3(OBOC) OC 1 2 OA 3 2 OB ，即 c 1 2a 3 2b. 4已知点A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)给出下面的结论： 直线 OC 与直线 BA 平行；ABBCCA；OAOCOB；ACOB 2OA.其中正确的结论的个数是 () A1 B2 C3 D4 解析： 选 COC( 2,1)，BA(2， 1)，OCBA，又 A，B，C，O 不共 线， OCAB.正确； ABBCAC，错误； OAOC (0,2)OB，正确； OB2OA( 4,0)，AC( 4,0)，正确 5(2012 郑州模拟 )已知平面直角坐标系内
15、的两个向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面 内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b( 、 为实数 )，则 m 的取值范围是 () A(， 2) B(2， ) C(， ) D(， 2)(2， ) 解析： 选 D由题意知向量a，b 不共线，故m 3m2 2 ，解得 m2. 6在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线 与 CD 交于点 F.若ACa，BDb，则AF () A. 1 4a 1 2b B.2 3a 1 3b C.1 2a 1 4b D.1 3a 2 3b 解析： 选 B由已知得DE 1 3EB， 又 DEF BEA，
16、DF 1 3AB. 即 DF 1 3DC.CF 2 3CD. CF 2 3 CD 2 3( ODOC) 2 3 1 2b 1 2 a 1 3b 1 3a. AFACCFa 1 3b 1 3a 2 3a 1 3b. 7(2012 洛阳质检 )已知向量a 8， x 2 ，b(x,1)，其中 x0，若 (a2b)(2ab)，则 x_. 解析： a2b 82x， x 22 ，2ab(16x，x1)， 由题意得 (82x) (x1) x 22 (16x)，整理得 x216，又 x0，所以 x4. 答案： 4 8(2013 九江模拟 )Pa|a(1,1)m(1,2)，mR， Q b|b(1， 2)n(2,
17、3)，n R是两个向量集合，则PQ 等于 _ 解析： P 中， a( 1m,12m)，Q 中， b(12n， 23n) 则 1m12n， 12m 23n. 得 m 12， n 7. 此时 ab (13， 23) 答案：13， 23 9已知向量OA(1， 3)，OB(2， 1)，OC (k1，k2)，若 A， B，C 三点 能构成三角形，则实数k 应满足的条件是_ 解析： 若点 A，B，C 能构成三角形， 则向量AB，AC不共线 ABOBOA(2， 1)(1， 3) (1,2)， ACOCOA(k1，k2)(1， 3)(k，k1)， 1(k 1)2k0，解得 k1. 答案： k1 10已知 A(
18、1,1)， B(3， 1)， C(a，b) (1)若 A，B，C 三点共线，求a，b 的关系式； (2)若AC 2AB，求点 C 的坐标 解： (1)由已知得AB(2， 2)，AC(a1，b1)， A， B，C 三点共线，ABAC. 2(b1) 2(a1)0，即 ab2. (2)AC 2AB， (a1，b1)2(2， 2) a14， b1 4， 解得 a5， b 3. 点 C 的坐标为 (5， 3) 11已知 a(1,0)，b(2,1)求： (1)|a3b|； (2)当 k 为何实数时，kab 与 a3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解： (1)因为 a (1,0)，b (2,1)，所以
19、 a3b (7,3)， 故|a3b|723258. (2)kab(k2， 1)，a 3b(7,3)， 因为 kab 与 a3b 平行， 所以 3(k2)7 0，即 k 1 3. 此时 kab(k2， 1) 7 3， 1 ， a3b(7,3)，则 a3b 3(kab)， 即此时向量a3b 与 kab 方向相反 12已知 O 为坐标原点， A(0,2)，B(4,6)，OM t1OAt2AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当t11 时，不论 t2为何实数， A，B，M 三点都共线 解： (1) OM t1OA t2ABt1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)
20、 当点 M 在第二或第三象限时，有 4t20， 2t14t20， 故所求的充要条件为t20 且 t12t20. (2)当 t11 时，由 (1)知OM (4t2,4t22) ABOBOA(4,4)， AM OMOA (4t2,4t2)t2(4,4)t2AB， 不论 t2为何实数， A，B， M 三点共线 1.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC，BD 的交点， N 是线段 OD 的中点， AN 的延长线与CD 交于点 E，则下列说法错 误 的是 () AACABAD BBDADAB CAO 1 2 AB 1 2 ADDAE 5 3 ABAD 解析： 选 D由向量减法的三角形法则知，
21、BDADAB，排除 B；由向量加法的 平行四边形法则知，ACABAD，AO 1 2 AC1 2 AB 1 2 AD ，排除 A、 C. 2(2012 山西四校联考 )在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC3CD，点 O 在线段 CD 上(与点 C、 D 不重合 )， 若AOxAB(1x) AC， 则 x 的取值范围是() A. 0， 1 2 B. 0， 1 3 C. 1 2，0 D. 1 3，0 解析： 选 D依题意，设BOBC， 其中 1 4 3， 则有 AOABBOABBC AB (ACAB)(1 ) ABAC. 又AOxAB(1x) AC，且AB，AC不共线，于是有x
22、1 1 3，0 ，即 x 的取值范围是 1 3，0 . 3(2012 东营模拟 )已知 P 为 ABC 内一点，且3AP4BP5CP0.延长 AP 交 BC 于点 D，若ABa，ACb，用 a，b表示向量AP，AD. 解： BPAPABAPa，CPAPACAPb， 又 3AP4BP5CP0， 3AP4(APa)5(APb)0， 化简，得AP1 3a 5 12b. 设ADtAP (tR)，则AD1 3t a 5 12t b 又设BDkBC (kR)， 由BCACABba，得 BDk(ba)而 ADABBDaBD， ADak(b a)(1k)akb. 由，得 1 3t1k， 5 12tk， 解得
23、t 4 3. 代入，有AD 4 9a 5 9b. 1已知向量a(3，1)，b (sin m，cos )，且 ab，则实数m 的最小值为 () A 2 B 1 C2 D 3 解析： 选 A ab，3cos sin m 0. msin 3cos 2sin 3 2. 2若 ，是一组基底，向量 x y (x，yR)，则称 (x，y)为向量 在基底 ， 下的坐标，现已知向量a 在基底 p(1， 1)，q(2,1)下的坐标为 (2,2)，则 a 在另一组基 底 m(1,1)，n(1,2)下的坐标为 () A(2,0) B (0， 2) C(2,0) D (0,2) 解析： 选 D a 在基底 p，q 下的
24、坐标为 (2,2)，即 a 2p 2q(2,4) 令 ax m y n(xy，x 2y)， 故 xy2， x2y4， 即 x 0， y 2. 3.如图，已知平行四边形ABCD 的顶点 A(0，0)，B(4,1)，C(6,8) (1)求顶点 D 的坐标； (2)若DE 2EC ， F 为 AD 的中点， 求 AE 与 BF 的交点 I 的坐标 解： (1)设点 D(x，y)，因为ADBC， 所以 (x，y)(6,8)(4,1)(2,7)， 所以顶点 D 的坐标为 (2,7) (2)设点 I(x，y)，则有 F 点坐标为1， 7 2 ，由于 DE2EC ，故 (xE2，yE7)2(6 xE,8yE)? E 14 3 ， 23 3 ， 由于BF 3， 5 2 ， BI (x4， y1)，BFBI? 5 2(x4) 3(y1)，又 AE AI? 23 3 x 14 3 y，联立方程组可得x 7 4，y 23 8 ， 则点 I 的坐标为 7 4， 23 8 .