《2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)直线的倾斜角与斜率、直线的方程(含解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)直线的倾斜角与斜率、直线的方程(含解析).pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、直线的倾斜角与斜率、直线的方程 知识能否忆起 一、直线的倾斜角与斜率 1直线的倾斜角 (1)定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与x 轴 平行或重合时，规定它的倾斜角为0 . (2)倾斜角的范围为0， )_ 2直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表 示，即 ktan_ ，倾斜角是90 的直线没有斜率 (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 ky 2y1 x2x1 y1y2 x1x2. 二、直线方程的形式及适用条件 名称几何条件方程局限性
2、点斜式过点 (x0，y0)，斜率为 k y y0 k(xx0)不含垂直于x 轴的直线 斜截式斜率为 k，纵截距为b ykxb 不含垂直于x 轴的直线 两点式 过两点 (x1，y1)， (x2，y2)， (x1 x2， y1y2) yy1 y2y1 xx1 x2x1 不包括垂直于坐标轴的直 线 截距式 在 x 轴、 y 轴上的截距分别 为 a，b(a，b0) x a y b1 不包括垂直于坐标轴和过 原点的直线 一般式 AxBy C 0(A，B 不 全为 0) 小题能否全取 1(教材习题改编)直线 x3ym0(mk)的倾斜角为 () A30B 60 C150D 120 解析： 选 C由 ktan
3、 3 3 ， 0， )得 150 . 2(教材习题改编)已知直线l 过点 P(2,5)，且斜率为 3 4，则直线 l 的方程为 () A3x4y140 B 3x4y140 C4x3y140 D 4x3y140 解析： 选 A由 y 5 3 4(x2)，得 3x4y140. 3过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则 m 的值为 () A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 解析： 选 A由 1 4m m2，得 m24m，m1. 4(2012 长春模拟 )若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a 的值为 _ 解析： kAC53 641，k AB a3 54a 3
4、. 由于 A，B，C 三点共线，所以a31，即 a 4. 答案： 4 5若直线l 过点 (1,2)且与直线2x3y 40 垂直，则直线l 的方程为 _ 解析： 由已知得直线l 的斜率为k 3 2. 所以 l 的方程为y2 3 2(x1)， 即 3x2y10. 答案： 3x2y 10 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直 线都存在斜率 2由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性 3用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论 直线的倾斜角与斜率 典题导入 例 1(1)(2012岳阳模拟 )经过两点A(4,2y
5、1)，B(2， 3)的直线的倾斜角为 3 4 ，则 y () A 1B 3 C0 D2 (2)(2012苏州模拟 )直线 xcos 3y20 的倾斜角的范围是_ 自主解答 (1)tan3 4 2y1 3 42 2y4 2 y2，因此 y2 1.y 3. (2)由题知 k 3 3 cos ，故 k 3 3 ， 3 3 ，结合正切函数的图象，当 k 0， 3 3 时， 直线倾斜角 0， 6 ，当 k 3 3 ，0 时，直线倾斜角 5 6 ，故直线的倾斜角的 范围是0， 6 5 6 ，. 答案 (1)B(2) 0， 6 5 6 ， 由题悟法 1求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率ktan
6、的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围 2求倾斜角时要注意斜率是否存在 以题试法 1(2012 哈尔滨模拟 )函数 yasin xbcos x 的一条对称轴为x 4，则直线 l：ax by c0 的倾斜角为 () A45B 60 C120D 135 解析： 选 D由函数 yf(x)asin xbcos x 的一条对称轴为x 4知，f(0)f 2 ，即 b a，则直线l 的斜率为 1，故倾斜角为135 . 2(2012 金华模拟 )已知点 A(1,3)，B(2， 1)若直线 l：y k(x2)1 与线段 AB 相 交，则 k 的取值范围是 ()
7、A. 1 2， B(， 2 C(， 2 1 2， D. 2，1 2 解析： 选 D由题意知直线l 恒过定点P(2,1)，如右图 若 l 与线段 AB 相交，则kPAkkPB. kPA 2，kPB 1 2， 2 k 1 2. 直 线 方 程 典题导入 例 2(1)过点 (1,0)且与直线x2y20 平行的直线方程是_ (2)(2012东城模拟 )若点 P(1,1)为圆 (x3) 2y29 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线 的方程为 _ 自主解答 (1)设所求直线方程为x 2ym0，由直线经过点(1, 0)，得 1m0，m 1. 则所求直线方程为x2y1 0. (2)由题意得， 10 13
8、k MN 1，所以 kMN2，故弦MN 所在直线的方程为y12(x 1)，即 2xy1 0. 答案 (1)x2y10(2)2xy10 由题悟法 求直线方程的方法主要有以下两种： (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； (2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线 方程 以题试法 3(2012 龙岩调研 )已知 ABC 中， A(1， 4)，B(6,6)， C(2,0)求： (1)ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程 解： (1)平行于 B
9、C 边的中位线就是AB， AC 中点的连线 因为线段 AB，AC 中点坐标分别为 7 2，1 ， 1 2， 2 ， 所以这条直线的方程为 y2 12 x 1 2 7 2 1 2 ， 整理一般式方程为得6x8y 130，截距式方程为 x 13 6 y 13 8 1. (2)因为 BC 边上的中点为(2,3)，所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 y4 34 x1 21，即 一般式方程为7xy110，截距式方程为 x 11 7 y 111. 直线方程的综合应用 典题导入 例 3(2012 开封模拟 )过点 P(3,0)作一直线， 使它夹在两直线l1：2xy20 与 l2：x y30 之间的线段A
10、B 恰被点 P 平分，求此直线的方程 自主解答 法一： 设点 A(x，y)在 l1上，点 B(xB，yB)在 l2上 由题意知 xxB 2 3， yyB 2 0， 则点 B(6 x， y)， 解方程组 2xy 20， 6x y 30， 得 x 11 3 ， y 16 3 ， 则 k 16 3 0 11 3 3 8. 故所求的直线方程为y8(x 3)，即 8xy240. 法二： 设所求的直线方程为yk(x3)， 点 A，B 的坐标分别为 (xA，yA)，(xB，yB)， 由 yk x3 ， 2xy20， 解得 xA 3k2 k2 ， yA 4k k2. 由 yk x3 ， xy 30， 解得 x
11、B 3k3 k1 ， yB 6k k1. P(3,0)是线段 AB 的中点， yAyB0，即 4k k2 6k k10， k28k0，解得 k0 或 k8. 若 k0，则 xA1，xB 3， 此时 xAxB 2 13 2 3， k0 舍去， 故所求的直线方程为y8(x 3)， 即 8xy240. 由题悟法 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件， 若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值 以题试法 4(2012 东北三校联考)已知直线 l 过点 M(2,1)，且分别与x 轴， y 轴的正半轴交于A， B 两点， O 为原点 (1)当 AOB
12、面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|MA| |MB|取得最小值时，求直线l 的方程 解： (1)设直线 l 的方程为 y1k(x2)(k0， k0. 故 S1 2|OA|OB| 1 2 12k k (12k) 1 2 4k1 k4 1 2(44)4， 当且仅当 4k 1 k，即 k 1 2时，取等号 故 S的最小值为4，此时直线l 的方程为x 2y4 0. 1(2012 郑州模拟 )已知直线l1的方向向量为 a(1,3)，直线 l2的方向向量为b (1， k)若直线l2经过点 (0,5)且 l1l2，则直线 l2的方程为 ( ) Ax3y50 Bx3y150 Cx3y50 Dx 3y15
13、0 解析： 选 B kl13， kl2 k，l1l2， k 1 3，l 2的方程为 y 1 3x5，即 x3y150. 2(2012 吴忠调研 )若过点 P(1a,1a)与 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的 取值范围是 _ 解析： ktan 2a 1 a 3 1a a1 a2. 为钝角， a1 a20，即 (a1)(a2)0， 故 2 a1. 答案： (2,1) 3.已知直线l 过点 P(3,2)，且与 x 轴， y 轴的正半轴分别交于A，B 两点如图，求ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程 解：设 A(a,0)，B(0，b)，(a0，b0)，则直线 l 的方程为 x a y b 1， l 过点 P(3,2)， 3 a 2 b 1. 13 a 2 b2 6 ab，即 ab24. SABO 1 2ab12.当且仅当 3 a 2 b，即 a6，b4 时， ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线 l 的方程为 x 6 y 41. 即 2x3y120.