《2014届高考数学一轮复习教学案二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题(含解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高考数学一轮复习教学案二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题(含解析).pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 知识能否忆起 1二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域： 不等式表示区域 AxBy C0 直线 AxByC0 某一侧的 所有点组成的平面区域 不包括边界直线 AxBy C0包括边界直线 不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分 (2)二元一次不等式表示的平面区域的确定： 二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试 点来进行判定， 满足不等式的， 则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一 侧 2线性规划中的基本概念 名称意义 约束条件由变量
2、 x， y 组成的不等式 (组) 线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程 )组成的不等式(组) 目标函数关于 x，y 的函数解析式，如z2x 3y 等 线性目标函数关于 x，y 的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解(x，y) 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 小题能否全取 1.(教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分 )，用不等式表示为 () A2xy30B2xy30 C2xy30 D2xy3 0 解析： 选 B将原点 (0,0)代入 2xy3 得 20 03 30，所以不等式为
3、2xy 30. 2(教材习题改编)已知实数x、y 满足 x1， y2， xy0， 则此不等式组表示的平面区域的面 积是 () A. 1 2 B.1 4 C1 D.1 8 解析： 选 A作出可行域为如图所示的三角形，S 1 211 1 2. 3(2012 安徽高考 )若 x，y 满足约束条件 x0， x2y 3， 2xy 3 则 zxy 的最小值是 () A 3 B 0 C.3 2 D 3 解析： 选 A 根据 x0， x2y3， 2xy3 得可行域如图中阴影部分所示，根据 z xy 得 yxz，平移直线 yx，当其经过点(0,3)时取得最小值3. 4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是
4、_ 解析： 由可行域知不等式组为 x0， 0y1， 2xy20. 答案： x0， 0y1， 2xy 20 5完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成请木工需付工资每人50 元，请瓦工需 付工资每人40 元，现有工人工资预算2 000 元，设木工x 人，瓦工y 人，则所请工人数的 约束条件是 _ 答案： 50x 40y2 000， xN * ， yN * 1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域” 的方法 (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直 线画成实线； (2)特殊点定域，即在直线
5、AxByC0 的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为 测试点代入不等式检验，若满足不等式， 则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线 的另一侧特别地，当C 0 时，常把原点作为测试点；当C0 时，常选点 (1,0)或者 (0,1) 作为测试点 2最优解问题 如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解 就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最 后通过的顶点便是特别地， 当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优 解可能有无数个 二元一次不等式(组)表示平面区域 典题导入 例 1(2011 湖北高考 )直线
6、2xy100 与不等式组 x0， y0， xy 2， 4x3y 20 表示的平面区 域的公共点有 () A0 个B 1 个 C2 个D无数个 自主解答 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分 ) 直线 2xy100 恰过点 A(5,0)，且斜率 k 2kAB 4 3 ，即直 线 2xy 100 与平面区域仅有一个公共点A(5,0) 答案 B 由题悟法 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域 注意： 不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测 试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点 以题试法 1(1)(2012海淀期中 )
7、若满足条件 x y0， x y20， y a 的整点 (x，y)恰有 9 个，其中整点是 指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为 () A 3 B 2 C 1 D 0 (2)(2012北京朝阳期末)在平面直角坐标系中，不等式组 xy0， xy40， xa 所表示的平面 区域的面积是9，则实数a 的值为 _ 解析： (1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a0 时，只有 4 个整点 (1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a 1 时，正好增 加(1， 1)，(0， 1)，(1， 1)，(2， 1)，(3， 1)5 个整点， 故选 C. (2)不等式组所表示的平面区域是如
8、图所示的ABC，且A( 2,2)，B(a，a4)，C(a， a)，若 a0，则有 ABC 的面积 SABC4，故 a0， BC 的长为 2a 4，由面积公式可得ABC 的面积 SABC 1 2(a2) (2a4)9，解得 a1. 答案： (1)C(2)1 求目标函数的最值 典题导入 例 2(1)(2012新课标全国卷)设 x， y满足约束条件 xy 1， xy 3， x0， y0， 则 zx2y 的取 值范围为 _ (2)(2012广州调研 )已知实数x，y 满足 x0， y1， 2x2y10， 若目标函数zaxy(a0) 取得最小值时的最优解有无数个，则实数a 的值为 _ 自主解答 (1)依
9、题意，画出可行域，如图阴影部分所示，显然， 当直线 y 1 2x z 2过点 B(1,2)时， z 取得最小值为 3；当直线过点A(3,0) 时， z取得最大值为3，综上可知z 的取值范围为3,3 (2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影部分所示，平移直线axy 0，可知当 平移到与直线2x2y1 0 重合，即 a 1 时，目标函数zaxy 的最小值有无数多个 答案 (1) 3,3(2)1 若本例 (2)条件变为目标函数zaxy(a0)仅在点 1 2， 1 处取得最小值，其它条件不 变，求 a 的取值范围 解： 由本例图知，当直线axy0 的斜率 k a 1， 即 a 1 时，满足条件，
10、所求 a 的取值范围为( ， 1) 由题悟法 1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解 目标函数的意义 2常见的目标函数有： (1)截距型：形如zaxby. 求这类目标函数的最值常将函数z axby 转化为直线的斜截式：y a bx z b，通过求 直线的截距 z b的最值间接求出 z 的最值 (2)距离型：形如z(xa) 2(yb)2. (3)斜率型：形如z yb xa. 注意： 转化的等价性及几何意义 以题试法 2 (1)设 z2xy， 其中 x， y 满足 xy0， xy0， 0yk， 若 z 的最大值为6， 则 k 的值为 _； z 的最小值为 _ (2
11、)已知 O 是坐标原点， 点 A(1,0)， 若点 M(x， y)为平面区域 x y2， x 1， y 2 上的一个动点， 则|OAOM |的最小值是 _ 解析：(1)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x y6，结合图形分析可知，要使z2xy 的最大值是6，直线 yk 必过直线2x y6 与 xy0 的交点，即必过点(2,2)，于是有k2； 平移直线2xy6，当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时，相应直 线在 y 轴上的截距达到最小，此时z2x y 取得最小值，最小值是z2(2)2 2. (2) 依 题 意 得 ，OAOM (x 1 ， y) ， |OAOM | x1
12、2y2可视为点 (x，y)与点 (1,0)间的距离，在坐标平面内画出 题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的 点中，由点 (1,0)向直线xy 2 引垂线的垂足位于该平面区域内， 且与点 (1,0)的距离最小，因此|OAOM |的最小值是 |102| 2 32 2 . 答案： (1)22(2)3 2 2 线性规划的实际应用 典题导入 例 3(2012 四川高考 )某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1 桶需耗A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品1 桶需耗 A原料 2 千克， B 原料 1 千克每桶甲产 品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400
13、元公司在生产这两种产品的计划中，要求每 天消耗 A、B 原料都不超过12 千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产 品中，公司共可获得的最大利润是() A1 800 元B 2 400 元 C2 800 元D 3 100 元 自主解答 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品 y 桶，相应的 利润为z 元，则 x2y12， 2xy12， x0， y0， z300x400y，在坐标平面内画 出该不等式组表示的平面区域及直线300x400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区 域内的点A(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z300x400y 取得最大值， 最大值是z300 440
14、042 800，即该公司可获得的最大利润是2 800 元 答案 C 由题悟法 与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题如用料最省、获利最大等，其解题 步骤是：设未知数，确定线性约 束条件及目标函数；转化为线性规划模型；解该线性规划问题，求出最优解；调 整最优解 以题试法 3(2012 南通模拟 )铁矿石 A 和 B 的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量 b 及 每万吨铁矿石的价格c 如下表： a b(万吨 )c(百万元 ) A 50%13 B 70%0.56 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨 )铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨 )，则购买铁矿石 的最少费用为 _百万元 解析：
15、可设需购买A 铁矿石 x 万吨， B 铁矿石 y 万吨， 则根据题意得到约束条件为 x0， y0， 0.5x0.7y1.9， x0.5y2， 目标函数为z3x 6y，画出不等式组表示的平面区域如图所示当目标函数经过(1,2)点 时目标函数取最小值，最小值为zmin316 215. 答案： 15 1(2012 三明模拟 )已知点 (3， 1)和点 (4， 6)在直线3x2ya0 的两侧，则a 的取值范围为 () A(24,7)B(7,24) C(， 7) (24， ) D(， 24)(7， ) 解析： 选 B根据题意知 ( 92a) (1212a)0. 即(a7)(a24) 0，解得 7a24.
16、 2已知实数对(x，y)满足 x 2， y 1， x y0， 则 2xy 取最小值时的最优解是() A6 B3 C(2,2) D(1,1) 解析： 选 D约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z 2xy，y 2xz，作初始直线l0：y 2x，作与 l0平行的直线 l，则直线经过点(1,1)时， (2xy)min3. 3(2012 山东高考 )设变量 x，y 满足约束条件 x2y2， 2xy4， 4xy 1， 则目标函数z3xy 的 取值范围是 () A. 3 2，6 B. 3 2， 1 C1,6 D. 6，3 2 解析：选 A不等式组表示的平面区域如图所示，目标函 数的几何意义是直线在y 轴
17、上截距的相反数，其最大值在点 A(2,0)处取得， 最小值在点B 1 2， 3 处取得， 即最大值为6，最 小值为 3 2. 4在不等式组 xy0， xy0， ya 确定的平面区域中，若zx 2y 的最大值为3，则 a 的值是 () A1 B2 C3 D4 解析： 选 A如图所示，作出可行域，是一个三角形区域，而由 图可知，目标函数zx2y 在点 A(a，a)处取得最值，故a2a3， 解得 a 1. 5 (2012 石 家 庄 质 检 ) 已 知 点Q(5,4) ， 动 点P(x ， y) 满 足 2xy20， x y20， y10， 则|PQ|的最小值为 () A5 B.4 3 C2 D7
18、解析： 选 A不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB 的 方程为 xy20， 过 Q 点且与直线AB 垂直的直线为y4x 5， 即 xy10，其与直线xy20 的交点为 3 2， 1 2 ，而 B(1,1)， A(0,2)，因为 3 21，所以点 Q 在直线 xy20上的射影不在线段AB 上，则 |PQ|的最小值 即为点 Q 到点 B 的距离，故 |PQ|min51 2 4125. 6 (2013 山东烟台模拟) 已知A(3，3) ， O 是坐标原点，点P(x， y) 的坐标满足 3xy0， x3y20， y0， 设 Z为OA在OP上的投影，则Z 的取值范围是() A3，3 B3,3 C3，
19、 3 D3，3 解析：选 B约束条件所表示的平面区域如图OA在OP上的投影为 |OA| cos 2 3 cos ( 为OA与OP的夹角 )， xOA30 ， xOB60 ， 30 150 ， 2 3cos 3,3 7(2013 成都月考 )若点 P(m,3)到直线4x3y10 的距离为4，且点 P 在不等式2x y3 表示的平面区域内，则m_. 解析： 由题意可得 |4m91| 5 4， 2m33， 解得 m 3. 答案： 3 8(2012 “ 江南十校 ” 联考 )已知x， y 满足 y20， x30， xy10， 则x2 y2的最大值为 _ 解析： 作出如图所示的可行域 x 2 y2 表示
20、可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点A(3， 4)处取最大值 (3)2(4)225. 答案： 25 9(2012 上海高考 )满足约束条件|x|2|y|2 的目标函数zyx 的最小值是 _ 解析： 由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当x2，y0 时， 目标函数zyx 取得最小值2. 答案： 2 10画出不等式组 xy50， xy0， x3 表示的平面区域，并回答下列问题： (1)指出 x，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ 解： (1)不等式xy50 表示直线xy50 上及右下方 的点的集合 xy 0表示直线xy 0 上及右上方的点的集合， x3 表示直线
21、x3 上及左方的点的集合 所以，不等式组 xy 50， xy 0， x3 表示的平面区域如图所示 结合图中可行域得x 5 2，3 ，y 3,8 (2)由图形及不等式组知 x yx5， 2 x3，且 xZ. 当 x3 时， 3y8，有 12 个整点； 当 x2 时， 2y7，有 10 个整点； 当 x1 时， 1y6，有 8 个整点； 当 x0 时， 0 y5，有 6 个整点； 当 x 1 时， 1y4，有 4 个整点； 当 x 2 时， 2y3，有 2 个整点； 所以平面区域内的整点共有2468 101242(个) 11某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100 个，生产一个
22、卫 兵需 5 分钟，生产一个骑兵需7 分钟，生产一个伞兵需4 分钟，已知总生产时间不超过10 小时 若生产一个卫兵可获利润5 元，生产一个骑兵可获利润6 元，生产一个伞兵可获利润 3 元 (1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解： (1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy， 所以利润 W 5x6y3(100xy) 2x3y300. (2)约束条件为 5x7y4 100 xy 600， 100xy0， x0，y0，xZ， yZ， 整理得 x3y 200， xy100， x0，y0，xZ，yZ， 目标函
23、数为W2x3y300，如图所示，作出可行域 初始直线 l0：2x 3y0，平移初始直线经过点A 时， W 有最大值 由 x3y200， xy 100， 得 x50， y50， 最优解为A(50,50)， 所以 Wmax 550(元) 答：每天生产卫兵50 个，骑兵 50 个，伞兵0 个时利润最大，为550 元 12变量 x、y 满足 x 4y30， 3x5y25 0， x 1. (1)设 z y x，求 z 的最小值； (2)设 zx 2y2，求 z 的取值范围 解： 由约束条件 x4y30， 3x 5y250， x1 作出 (x，y)的可行域如图所示 由 x1， 3x5y250， 解得 A
24、1， 22 5 . 由 x1， x4y30， 解得 C(1,1) 由 x4y30， 3x5y250， 解得 B(5,2) (1)zy x y0 x0表示的几何意义是可行域中的点与原点 O 连线的斜率 . 观察图形可知zmin kOB2 5. (2)zx 2y2 的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方结合图形可知，可行 域上的点到原点的距离中， dmin|OC| 2，dmax|OB|29. 故 z 的取值范围为 2,29 1(2012 龙岩阶段性检测)在平面直角坐标系中，不等式组 x2y0， 2xy0， a0 xa 表示的 平面区域的面积为5，直线 mx ym0 过该平面区域，则m 的最
25、大值是 _ 解析： 平面区域如图所示，A(a,2a)，B a， a 2 . SOAB 1 2 5a 2 a 5 4a 25， a2，即 A(2,4)，B(2， 1) 又 mxym0 过定点 (1,0)，即 ymxm，斜率 m 的最 大值为过 A 点时的值为 4 2 1 4 3. 答案： 4 3 2(2012 济南质检 )已知实数x，y 满足 |2xy1|x2y2|，且 1y1，则 z 2x y 的最大值为 () A6B 5 C4 D 3 解析： 选 B|2xy1| |x 2y2|等价于 (2x y1)2(x2y2) 2，即 x2(y1)2， 即|x| |y1|.又 1 y1，作出可行域如图阴影
26、部分所示 则当目标函数过C(2,1)时取得最大值， 所以 zmax22 15. 3若 x，y 满足约束条件 xy1， xy 1， 2xy 2， (1)求目标函数z 1 2xy 1 2的最值 (2)若目标函数z ax2y 仅在点 (1,0)处取得最小值，求a 的取值范围 解： (1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0) 平移初始直线 1 2xy 1 20， 过 A(3,4)取最小值 2， 过 C(1,0)取最 大值 1. z的最大值为1，最小值为 2. (2)直线 ax2yz 仅在点 (1,0)处取得最小值， 由图象可知1a 2 2，解得 4a2. 故所求 a 的取值范
27、围为( 4,2) 1(2012 广东高考 )已知变量x，y 满足约束条件 xy1， xy1， x10， 则 zx2y 的最小值为 () A3B 1 C 5 D 6 解析： 选 C变量 x，y 满足的不等式组 xy1， xy1， x10 表示 的平面区域如图所示，作辅助线l0： x2y0， 并平移到过点A( 1， 2)时， zx2y 达到最小，最小值为5. 2(2011 四川高考 )某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人， 有 8 辆载重量为10 吨的甲 型卡车和7 辆载重量为6 吨的乙型卡车某天需送往A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车 需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2 名工
28、人， 运送一次可得利润450 元；派用 的每辆乙型卡车需配1 名工人， 运送一次可得利润350 元该公司合理计划当天派用两类卡 车的车辆数，可得最大利润z() A4 650 元B4 700 元 C4 900 元D5 000 元 解析：选 C设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得 2xy19， xy12， 10x6y72， 0x8， 0y7. 设每天的利润为z 元， 则 z 450x350y. 画出可行域如图阴影部分所示 由图可知 z450x350y50(9x 7y)，经过点A 时取得最大值 又由 xy12， 2x y19 得 x7， y5， 即 A(7,5) 所以当 x7，y5 时， z取到最大值， zmax4507350 54 900 元