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1、2.2.1 等差数列导学案 一、课前预习： 1、预习目标： 通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式； 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； 体会等差数列与一次函数的关系。 2、预习内容： （1） 、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等 于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，通 常用字母 d 表示。 （2） 、等差中项：若三个数 bAa, 组成等差数列，那么A 叫做a与b的， 即A2 或 A 。 （3） 、等差数列的单调性：等差数列的公差时，数列为递增数列；时， 数列为递减数列；时，数列为常
2、数列；等差数列不可能是。 （4） 、等差数列的通项公式： n a 。 二、课内探究学案 例 1、1、求等差数列8、5、2 的第 20 项 解：由 8 1 a 385d20n 得： 49)3() 120(8 20 a 2、 401是不是等差数列5、9、13 的项？如果是，是第几项？ 解：由 5 1 a4)5(9d 得 14)1(45nnan 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得： 14401n 成立 解得： 100n 即 401 是这个数列的第100 项。 例 2、某市出租车的计价标准为1.2 元/km ，起步价为10 元，即最初的4km（不含 4km）计 费为 10 元，如果某人乘坐该
3、市的出租车去往14km 处的目的地， 且一路畅通， 等候时间为0， 需要支付多少车费？ 分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km 处的车费记为： 2 .11 1 a 公差 2 .1d 当出租车行至目的地即14km 处时， n=11 求 11 a 所以： 2.232 .1) 111(2.11 11 a 例 3：数列 53nan 是等差数列吗？ 变式练习：已知数列 n a 的通项公式 qpnan ，其中 p 、 q 为常数，这个数列是等 差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ （指定学生求解） 解：取数列 n a 中任意两项 n a 和 1n a )2(n qnpqpnaa nn ) 1()(
4、1pqppnqpn)( 它是一个与n 无关的常数，所以 n a 是等差数列？ 并且： qpa1pd 三、课后练习与提高 在等差数列 n a 中， 已知 ,10, 3,2 1 nda 求 n a = 已知 , 2,21, 3 1 daa n 求n 已知 ,27,12 61 aa 求d 已知 ,8, 3 1 7 ad 求 1 a 2、已知 23 1 , 23 1 ba ，则 ba, 的等差中项为（） A 3 B 2 C 3 1 D 2 1 3、2000 是等差数列4，6，8的（） A 第 998 项B第 999 项C第 1001 项D 第 1000 项 4、在等差数列40，37， 34，中第一个负
5、数项是（） A 第 13 项B第 14 项C第 15 项D 第 16 项 5、在等差数列 n a 中，已知 ,13, 2 321 aaa 则 654 aaa 等于（） A 10 B 42 C43 D45 6、等差数列 -3，1， 5的第 15 项的值为 7、等差数列 n a 中， 0, 25 1 1 da 且从第 10 项开始每项都大于1，则此等差数列公差d 的取值范围是 8、在等差数列 n a 中，已知 ,31,10 125 aa ，求首项 1 a 与公差 d 9、在公差不为零的等差数列 n a 中， 21,a a 为方程 0 43 2 axax 的跟，求 n a 的通项 公式。 10、数列
6、 n a 满足 ),2( 4 4,4 1 1 n a aa n n ，设 2 1 n n a b 判断数列 n b 是等差数列吗？试证明。 求数列 n a 的通项公式 11、数列 n a 满足 )(3 * 1 Nnnaa nn ，问是否存在适当的 1 a ，使是等差数列？ （2） 2 1 2 1 1 1 a b ， 22 1 1 2 1n nbn 2 1 2 n a n n n an 12 注：有学生在解本题第二问的时候，通过已知条件写出数列 n a 的前几项，然后猜想通项 公式，由于猜想的公式需要证明，所以这种解法在现阶段是有问题的。 11、解：假设存在这样的 1 a 满足题目条件。 )(
7、13 * 12 Nnnaa nn 12 112 naaa nnn 由已知 )(3 * 1 Nnnaa nn 可得 naaa nnn 2 1 nnnn aaaa 112 即 nana nn 212 1 2 1 1nn aa ，满足等差数列的定义，故假设是正确的。即存在适当的 1 a 的值使数列 n a 为公差为 2 1 的等差数列。 由已知条件 naa nn 3 1 ，令 1n 13 12 aa 即 13 2 1 11 aa ，解得 4 3 1 a 。 2.2.2 等差数列的性质教案 临清市第二中学数学编写人：李其智审稿人：马英济 一、教学目标： 知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等
8、差数列的通项公式及推导公式, 能通 过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。 过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想； 通过等差 数列通项公式的运用，渗透方程思想。 情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系， 从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。 二、教学重点、难点： 重点：等差数列的性质及推导。 难点：等差数列的性质及应用。 三、新课讲解： 等差数列的常见性质：若数列 n a 为等差数列，且公差为 d ，则此数列具有以下性质： dmnaa mn ； mn aa n aa d mnn 1
9、1 ； 若 qpnm （ * ,Nqpnm ） ，则 qpnm aaaa ； mnmnn aaa2 。 证明： 左边 = dnaan1 1 ，右边 = dnadmndma11 11 左边 由 dnaan1 1 可得 1 1 n aa d n ；由 dmnaa mn 可得 mn aa d mn 左边 dnmadnadma2211 111 右边 dqpadqadpa2211 111 又因为 qpnm ，所以左边 =右边，故得证。 左边 dna12 1 右边 dnadnadmnadmna1222211 1111 =左边 等差数列的其它性质： n a 为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等
10、，且等于首末两项之和， 即 ininnn aaaaaaaa 123121 。 下标成等差数列且公差为 m的项 * 2 ,Nmkaaa mkmkk 组成公差为 md 的等差 数列。 若数列 n a 和 n b 均为等差数列，则 bkaba nnn , （ bk, 为非零常数）也为等差数 列。 m个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来 m个等差数 列的公差之和。 四、例题讲解： 例 1、已知 n a 是等差数列， 17, 5 82 aa ,求数列的公差及通项公式。 Key ：d=2， an=2n+1 【变式】已知 n a 是等差数列， （1）已知： 20, 8 6015
11、aa ,求 75 a （2）已知： 153,33 4515 aa ,求 61 a 。 Key（1） 75 a =24（ 2） 61 a =185 例 2、已知 n a 是等差数列，若 450 76543 aaaaa ,求 82 aa 。 Key： 82 aa =180 【变式 1】在等差数列 n a 中，已知 123 2,13,aaa 则 456 aaa 等于（） A. 40B. 42C. 43D. 45 Key ：B 【变式 2】等差数列 n a 中，已知 125 1 ,4,33, 3 n aaaan则 为（） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 Key ：C 【变式 3】已知等
12、差数列 n a 中， 1,16 497 aaa ，则 12 a 的值为（） A15 B30C31 D64 Key ：A 五、小结： 本节课的主要内容是等差数列的性质，对这些性质我们应当熟练掌握，并能够在解题过程中 灵活的运用，以便简化解题过程。 2.2.2 等差数列的性质导学案 临清市第二中学数学编写人：李其智审稿人：马英济 一、课前预习： 等差数列的常见性质：若数列 n a 为等差数列，且公差为 d ，则此数列具有以下性质： dmnaa mn ； mn aa n aa d mnn 1 1 ； 若 qpnm （ * ,Nqpnm ） ，则 qpnm aaaa ； mnmnn aaa2 用等差数
13、列的定义证明： 二 、课内探究： 1、等差数列的其它性质： n a 为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和， 即 ininnn aaaaaaaa 123121 。 下标成等差数列且公差为 m的项 * 2 ,Nmkaaa mkmkk 组成公差为 md 的等差 数列。 若数列 n a 和 n b 均为等差数列，则 bkaba nnn , （ bk, 为非零常数）也为等差数 列。 m个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来 m个等差数 列的公差之和。 2、典例分析： 例 1、已知 n a 是等差数列， 17, 5 82 aa ,求数列的公差及通
14、项公式。 Key ：d=2， an=2n+1 【变式】已知 n a 是等差数列， （1）已知： 20, 8 6015 aa ,求 75 a （2）已知： 153,33 4515 aa ,求 61 a 。 Key（1） 75 a =24（ 2） 61 a =185 例 2、已知 n a 是等差数列，若 450 76543 aaaaa ,求 82 aa 。 Key： 82 aa =180 【变式 1】在等差数列 n a 中，已知 123 2,13,aaa 则 456 aaa 等于（） A. 40B. 42C. 43D. 45 Key ：B 【变式 2】等差数列 n a 中，已知 125 1 ,4,
15、33, 3 n aaaan则 为（） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 Key ：C 【变式 3】已知等差数列 n a 中， 1,16 497 aaa ，则 12 a 的值为（） A15 B30C31 D64 Key ：A 三、课后提高： 1、 已知等差数列 n a 中， 2 6a ， 5 15a ， 若 2nn ba ， 则数列 n b 的前 5项和等于 （） A30 B45 C 90 D186 2、已知 an为等差数列， a3 + a8 = 22，a6 = 7，则 a5 = _ 3、三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数 4、已知 a、b、c 成等差数列，求
16、证：bc， ca，a b 也成等差数列 答案 1、 【解析】由 211 51 63 4153 aada aadd , 33(1)3 , n ann 2 6 , nn ban 所以 5 630 590. 2 S 【答案】C 2、 【标准答案】 ： 【试题解析】 ：由于 n a 为等差数列，故 3856 aaaa 5386 22715aaaa 3、解设三个数分别为xd，x， xd 则 (xd)x(xd) = 15 (xd)x(xd)= 83 222 解得 x 5，d 2 所求三个数为3、5、 7 或 7、5、3 说明注意学习本题对三个成等差数列的数的设法 4、证a、b、c 成等差数列 2b=ac (bc)(ab)a2bc a(ac)c 2(ac) bc、ca、ab 成等差数列 说明如果 a、b、c 成等差数列，常化成2bac 的形式去运用；反之，如果求证a、b、 c 成等差数列，常改证2b=ac