2014挑战中考数学压轴题_1.5因动点产生的梯形问题.pdf

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1、1.5 因动点产生的梯形问题 例 1 2012年上海市松江区中考模拟第24 题 已知直线 y3x3 分别与 x 轴、y 轴交于点A，B，抛物线 yax22xc 经过点 A，B （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶 点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线l， 点 B 关于直线l 的对称 点为 C，若点 D 在 y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形 求点 D 的坐标； 将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称 轴与直线 y3x3 交于点 E， 若 7 3 t a nD P E ， 求四边形 BDEP 的面积 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 松江 24

2、” ，拖动点 P 向右运动，可以体验到，D、P 间的垂 直距离等于7 保持不变，DPE 与 PDH 保持相等 请打开超级画板文件名“12 松江 24” ， 拖动点 P 向右运动，可以体验到，D、P 间的 垂直距离等于7 保持不变， DPE 与 PDH 保持相等，tan0.43DPE，四边形BDEP 的面积为24 思路点拨 1这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D 四个点必须画准确，其实抛物线不必画出， 画出对称轴就可以了 2抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P 两点间的垂直距离等于 7 3已知 DPE 的正切值中的7 的几何意义就是D、P 两点间的垂直距离等于7，那么 点 P

3、向右平移到直线x3 时，就停止平移 满分解答 （1）直线 y3x3 与 x 轴的交点为A(1，0)，与 y 轴的交点为B(0,3) 将 A(1，0)、B(0,3)分别代入yax 22xc， 得 20, 3. ac c 解得 1, 3. a c 所以抛物线的表达式为yx22x3 对称轴为直线x 1，顶点为 (1,4) （2）如图2，点 B 关于直线l 的对称点C 的坐标为 (2,3) 因为 CD/AB，设直线CD 的解析式为y3xb， 代入点 C(2,3)，可得 b3 所以点 D 的坐标为（ 0，3） 过点 P 作 PHy 轴，垂足为H，那么 PDH DPE 由 7 3 tanDPE ，得 3

4、tan 7 PH PDH DH 而 DH 7，所以 PH3 因此点 E 的坐标为（ 3，6） 所以 1 ()24 2 BDEP SBDEPPH 梯形 图 2 图 3 考点伸展 第（ 2）用几何法求点D 的坐标更简便： 因为 CD/AB，所以 CDB ABO 因此 1 3 BCOA BDOB 所以 BD3BC6，OD3因此 D（0，3） 例 2 2012年衢州市中考第24题 如图 1，把两个全等的RtAOB 和 RtCOD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边 OB、OD 在 x 轴上已知点A(1，2)，过 A、 C 两点的直线分别交x 轴、 y 轴于点 E、F抛 物线 y ax2bxc 经过 O

5、、A、 C 三点 （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点P 作 y 轴的 平行线交抛物线于点M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的 点 P，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若 AOB 沿 AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合） ， AOB 在平移的过程中与COD 重叠部分的面积记为S 试探究 S是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 衢州 24” ， 拖动点 P 在线段 OC 上运动，可以体验到，在

6、AB 的左侧，存在等腰梯形ABPM拖动点A 在线段 AC 上运动，可以体验到，RtA OB 、 Rt COD、RtAHG、RtOEK 、RtOFG 和 RtEHK 的两条直角边的比都为12 请打开超级画板文件名“12 衢州 24” ，拖动点P 在线段 OC 上运动，可以体验到，在 AB 的左侧，存在AM=BP 拖动点A 在线段 AC 上运动，发现S最大值为0.375 思路点拨 1如果四边形ABPM 是等腰梯形，那么AB 为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为 一个矩形和两个全等的直角三角形，AB 边分成的3 小段，两侧的线段长线段 2 AOB 与 COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，可以通

7、过割补得到，即OFG 减去 OEH 3求 OEH 的面积时，如果构造底边OH 上的高 EK，那么 RtEHK 的直角边的比为 12 4设点 A移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m 表示 满分解答 （1）将 A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入yax2bxc， 得 2, 0, 421. abc c abc 解得 3 2 a ， 7 2 b ，0c所以 237 22 yxx （2）如图 2，过点 P、M 分别作梯形ABPM 的高 PP、 MM ，如果梯形ABPM 是等腰 梯形，那么AMBP，因此 yAy MyP yB 直线 OC 的解析式为 1 2 yx，设点 P

8、 的坐标为 1 ( ,) 2 xx ，那么 237 ( ,) 22 M xxx 解方程 2371 2() 222 xxx，得 1 2 3 x ， 2 2x x2 的几何意义是P 与 C 重合，此时梯形不存在所以 2 1 (, ) 3 3 P 图 2 图 3 （3）如图 3， AOB 与 COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，作 EK OD 于 K 设点 A移动的水平距离为m，那么 OG1m，GB m 在 RtOFG 中， 11 (1) 22 FGOGm 所以 21 (1) 4 OFG Sm 在 RtAHG 中， A G2m，所以 111 (2)1 222 HGA Gmm 所以 13 (1)

9、(1) 22 OHOGHGmmm 在 RtOEK 中， OK2 EK；在 RtEHK 中， EK 2HK ；所以 OK4HK 因此 443 2 332 OKOHmm所以 1 2 EKOKm 所以 2 1133 2224 OEH SOH EKm mm 于是 222 13111 (1) 44224 OFGOEH SSSmmmm 2 113 () 228 m 因为 0m1，所以当 1 2 m 时， S取得最大值，最大值为 3 8 考点伸展 第（ 3）题也可以这样来解：设点A的横坐标为a 由直线 AC：y x3，可得 A (a, a3) 由直线 OC： 1 2 yx，可得 1 ( ,) 2 F aa

10、由直线 OA：y2x 及 A(a, a3)，可得直线OA：y2x3a3， 33 (,0) 2 a H 由直线 OC 和直线 OA可求得交点E(2a2，a1) 由 E、F、G、H 4 个点的坐标，可得 例 4 2011年义乌市中考第24 题 已知二次函数的图象经过A（2，0） 、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x4，设顶点为 点 P，与 x 轴的另一交点为点B （1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标； （2）如图 1，在直线y2x 上是否存在点D，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在， 求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（ O、P

11、 两点除外），以每秒2 个单位长度 的速度由点P 向点 O 运动， 过点 M 作直线 MN/x 轴，交 PB 于点 N 将 PMN 沿直线 MN 对折，得到 P1MN 在动点 M 的运动过程中，设 P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面 积为 S，运动时间为t 秒，求 S关于 t 的函数关系式 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“11 义乌 24” ，拖动点 M 从 P 向 O 运动，可以体验到，M 在到 达 PO 的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形 思路点拨 1第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解 都要排除平行四边形

12、的情况 2第（ 3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO 的中点 满分解答 （ 1）设抛物线的解析式为 2 (4)ya xk，代入A（ 2， 0） 、C(0， 12) 两点，得 40, 1612. ak ak 解得 1, 4. a k 所以二次函数的解析式为 22 (4)4812yxxx，顶点 P 的坐标为（ 4， 4） （2）由 2 812(2)(6)yxxxx，知点 B 的坐标为（ 6，0） 假设在等腰梯形OPBD，那么 DPOB6设点 D 的坐标为 (x，2x) 由两点间的距离公式，得 22 (4)(24)36xx解得 2 5 x或 x 2 如图 3，当 x 2 时，四

13、边形ODPB 是平行四边形 所以，当点D 的坐标为 ( 5 2 ， 5 4 )时，四边形OPBD 为等腰梯形 图 3 图 4 图 5 （3）设 PMN 与 POB 的高分别为PH、PG 在 RtPMH 中，2PMt，PHMHt所以24P Gt 在 RtPNH 中，PHt， 11 22 NHPHt 所以 3 2 MNt 如图 4， 当 0t2 时， 重叠部分的面积等于PMN 的面积此时 2133 224 St tt 如图 5，当 2t4 时，重叠部分是梯形，面积等于PMN 的面积减去PDC 的面 积由于 2 P DC PMN SP G SPH ，所以 2 22 2433 (24) 44 P DC

14、 t Stt t 此时 222339 (24)1212 444 Stttt 考点伸展 第（ 2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图： 方法一，按照对角线相等画圆以P 为圆心， OB 长为半径画圆，与直线y2x 有两个 交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点 方法二，按照对边相等画圆以B 为圆心， OP 长为半径画圆，与直线y2x 有两个交 点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点 例 5 2010 年杭州市中考第24 题 如图 1， 在平面直角坐标系xOy 中， 抛物线的解析式是y 2 1 1 4 x， 点 C 的坐标为 ( 4， 0)，平行四边形OABC 的顶点 A，B

15、在抛物线上， AB 与 y 轴交于点M，已知点 Q(x，y)在抛 物线上，点P(t，0)在 x 轴上 (1) 写出点 M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以 MQ，PC 为腰的梯形时 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； 当梯形 CMQP 的两底的长度之比为12 时，求 t 的值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10 杭州 24” ，拖动点 Q 在抛物线上运动，从 t 随 x 变化的图象 可以看到， t 是 x 的二次函数，抛物线的开口向下还可以感受到，PQCM 12 只有一 种情况，此时Q 在 y 轴上； CMPQ1 2 有两种情况 思路点拨 1第（1）题求点

16、 M 的坐标以后， RtOCM 的两条直角边的比为12，这是本题的基 本背景图 2第（ 2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关 于 t 与 x 的比例式，从而得到t 关于 x 的函数关系 3探求自变量x 的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况 4梯形的两底的长度之比为12，要分两种情况讨论把两底的长度比转化为QH 与 MO 的长度比 满分解答 (1)因为 ABOC 4，A、B 关于 y 轴对称，所以点A 的横坐标为2将 x2 代入 y 2 1 1 4 x，得 y2所以点M 的坐标为（ 0，2） (2) 如图 2，过点 Q 作 QHx 轴，设垂足

17、为H，则 HQy 2 1 1 4 x，HPx t 因 为CM/PQ ， 所 以 QPH MCO 因 此tan QPH tan MCO ， 即 1 2 HQOM HPOC 所以 2 11 1() 42 xxt整理，得 2 1 2 2 txx 如图 3，当 P 与 C 重合时， 4t ，解方程 2 1 42 2 xx，得15x 如图 4，当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x 2 因此自变量x 的取值范围是15x，且 x 2 的所有实数 图 2 图 3 图 4 因为 sinQPHsinMCO，所以 HQOM PQCM ，即 PQHQ CMOM 当 1 2 PQHQ CMOM

18、时， 1 1 2 HQOM解方程 21 11 4 x，得0x（如图 5） 此 时2t 当2 PQHQ CMOM 时，24HQOM解方程 21 14 4 x，得2 3x 如图 6，当2 3x时，82 3t；如图 6，当2 3x时，82 3t 图 5 图 6 图 7 考点伸展 本题情境下，以Q 为圆心、 QM 为半径的动圆与x 轴有怎样的位置关系呢？ 设点 Q 的坐标为 21 ,1 4 xx，那么 22 222211 11 44 QMxxx 而点 Q 到 x 轴的距离为 2 1 1 4 x 因此圆 Q 的半径 QM 等于圆心Q 到 x 轴的距离，圆Q 与 x 轴相切 例 7 2009年广州市中考第

19、25题 如图 1，二次函数)0( 2 pqpxxy的图象与x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于 点 C（0， 1） ， ABC 的面积为 4 5 （1）求该二次函数的关系式； （2）过 y 轴上的一点M（0，m）作 y 轴的垂线， 若该垂线与 ABC 的外接圆有公共点， 求 m 的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角 梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“09 广州 25” ， 可以看到， ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形， AB 是它的外接圆直径，拖动点M 在 y 轴上运

20、动，可以体验到，过M 的直线与圆相切或者 相交时有公共点 在抛物线上有两个符合条件的点D，使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形 思路点拨 1根据 ABC 的面积和AB 边上的高确定AB 的长，这样就可以把两个点的坐标用一 个字母表示 2数形结合，根据点A、B、 C 的坐标确定OA、OB、OC 间的数量关系，得到AOC COB，从而得到 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，AB 是它的外接圆直径，再根据 对称性写出m 的取值范围 3根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点D 有两个， 但是求点 D 的坐标比较 麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些 满分解答 （1）因为 OC

21、1， ABC 的面积为 4 5 ，所以 AB 2 5 设点 A 的坐标为（ a， 0） ，那么点B 的坐标为（ a 2 5 ， 0） 设抛物线的解析式为) 2 5 )(axaxy， 代入点 C （0， 1） ， 得1) 2 5 (aa 解 得 2 1 a或2a 因为二次函数的解析式qpxxy 2 中，0p， 所以抛物线的对称轴在y 轴右侧因 此点 A、B 的坐标分别为)0 , 2 1 (，)0,2( 所以抛物线的解析式为1 2 3 )2)( 2 1 ( 2 xxxxy （2） 如图 2， 因为1OBOA，1 2 OC，所以 OB OC OC OA 因此 AOC COB所 以 ABC 是以 AB

22、 为斜边的直角三角形，外接圆的直径为AB 因此 m 的取值范围是 4 5 m 4 5 图 2 图 3 图 4 （3）设点 D 的坐标为)2)( 2 1 (,(xxx 如图 3，过点 A 作 BC 的平行线交抛物线于D，过点 D 作 DEx 轴于 E 因为OBCDABtantan，所以 2 1 BO CO AE DE 因此 2 1 2 1 )2)( 2 1 ( x xx 解得 2 5 x此时点D 的坐标为) 2 3 , 2 5 ( 过 点B 作AC 的 平 行 线 交 抛 物 线 于D ， 过 点D作DF x轴 于F 因 为 CAODBFtantan， 所以2 AO CO BF DF 因此2 2 )2)( 2 1 ( x xx 解得 2 5 x 此 时点 D 的坐标为)9 , 2 5 ( 综上所述，当D 的坐标为) 2 3 , 2 5 (或)9 , 2 5 (时，以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直 角梯形 考点伸展 第（ 3）题可以用代数的方法这样解：例如图3，先求得直线BC 为1 2 1 xy，再根 据 AD/BC 求得直线AD 为 4 1 2 1 xy，由直线 AD 和抛物线的解析式组成的方程组，得到 点 D 的坐标