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1、3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 例 1 2013 年上海市黄浦区中考模拟第24 题 已知二次函数y x2 bxc 的图像经过点P(0, 1)与 Q(2, 3) （1）求此二次函数的解析式； （2）若点 A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作 x 轴的平行线交二次函数 图像于点B，分别过点B、A 作 x 轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD 恰为 正方形 求正方形的ABCD 的面积； 联结 PA、PD，PD 交 AB 于点 E，求证： PAD PEA 动感体验 请打开几何画板文件名“13 黄浦 24” ，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以 体验到， PA
2、E 与 PDA 总保持相等，PAD 与 PEA 保持相似 请打开超级画板文件名“13 黄浦 24” ，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以 体验到， PAE 与 PDA 总保持相等，PAD 与 PEA 保持相似 思路点拨 1数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD、AB 的长， 当四边形 ABCD 是正方形时， ADAB 2通过计算 P AE 与 DPO 的正切值， 得到 PAE DPO PDA，从而证明 PAD PEA 满分解答 （1）将点 P(0, 1)、Q(2, 3)分别代入y x2bxc，得 1, 4213. c b 解得 0, 1. b c 所以该二次
3、函数的解析式为y x 2 1 （2）如图1，设点A 的坐标为 (x, x21)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD AB 此时 yA2xA 解方程 x212x，得12x 所以点 A 的横坐标为21 因此正方形ABCD 的面积等于 2 2(21)1282 设 OP 与 AB 交于点 F，那么 2 12(21)322(21)PFOPOF 所以 2 ( 21) tan21 21 PF PAE AF 又因为 tantan21 OD PDADPO OP ， 所以 PAE PDA 又因为 P 公用，所以 PAD PEA 图 1 图 2 考点伸展 事实上，对于矩形ABCD，总有结论P AD PEA证明如下
4、： 如图 2，设点 A的坐标为 (x, x21)，那么 PFOPOF 1(x21)x2 所以 2 tan PFx PAEx AFx 又因为 tantan OD PDADPOx OP ， 所以 PAE PDA因此 PAD PEA 例 2 2013 年江西省中考第24 题 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： （1）操作发现： 在等腰 ABC 中， ABAC，分别以 AB、AC 为斜边，向 ABC 的外侧作等腰直角三角 形，如图1 所示，其中DF AB 于点 F，EGAC 于点 G，M 是 BC 的中点，连结MD 和 ME，则下列结论正确的是_（填序号即可） AFAG
5、 1 2 AB； MDME；整个图形是轴对称图形；MD ME （2）数学思考： 在任意 ABC 中，分别以 AB、AC 为斜边，向 ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图2 所示， M 是 BC 的中点，连结MD 和 ME，则 MD 与 ME 有怎样的数量关系？请给出证明过 程； （3）类比探究： 在任意 ABC 中，仍分别以AB、AC 为斜边，向 ABC 的内侧作等腰直角三角形，如 图 3 所示， M 是 BC 的中点，连结MD 和 ME，试判断 MDE 的形状答：_ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“13 江西 24” ，拖动点 A 可以改变 ABC 的形状，可以体验到， DFM MG
6、E 保持不变，DME DFA EGA 保持不变 请打开超级画板文件名“13 江西 24” ，拖动点 A 可以改变 ABC 的形状，可以体验到， DFM MGE 保持不变，DME DFA EGA 保持不变 思路点拨 1本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题 意把图形规范、准确地重新画一遍 2三个中点M、F、G 的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线 3两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的 角？ 满分解答 （1）填写序号 （2）如图 4，作 DF AB，EGAC，垂足分别为F、 G 因为 DF 、EG 分别是等腰
7、直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE 斜边上的高， 所以 F、G 分别是 AB、AC 的中点 又已知 M 是 BC 的中点，所以MF、MG 是 ABC 的中位线 所以 1 2 MFAC， 1 2 MGAB，MF/AC，MG/AB 所以 BFM BAC， MGC BAC 所以 BFM MGC所以 DFM MGE 因为 DF 、EG 分别是直角三角形ABD 和直角三角形ACE 斜边上的中线， 所以 1 2 EGAC， 1 2 DFAB 所以 MFEG，DFNG 所以 DFM MGE所以 DM ME （3） MDE 是等腰直角三角形 图 4 图 5 考点伸展 第（ 2）题和第（ 3）题证明 DFM MGE 的思路是相同的，不同的是证明DFM MGE 的过程有一些不同 如图 4，如图 5， BFM BAC MGC 如图 4， DFM 90 BFM ， MGE 90 MGC ，所以 DFM MGE 如图 5， DFM 90 BFM ， MGE 90 MGC ，所以 DFM MGE