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1、第 11 讲一次函数及其图象 陕西中考 说明 陕西 2012 2014 年中 考试题分 析 考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值 比重 考点 1一次 函数和正 比例函数 的概念 1.能根据已 知条件确 定一次函 数表达式； 2.理解正比 例函数 考点 2一次 函数的图 象与性质 1.会画一次 函数的图 象； 2.会利 用一次函 数的图象 求一元一 次方程、 二 元一次方 程组的解； 3.根据一次 函数的图 象和解析 表达式 y kx b(k0)探 索并理解 其性质 (k 0 或 k0 时，图象的 变化情况 ) 2014 选择题1 3 已知正比 例函数过 定点 ，求未 知数 2013 选
2、择题 6 3 已知正比 例函数过 两点 ，求未 知量的取 值范围 8 3 待定系数 法求一次 函数的解 析式及由 自变量的 值确定对 应的函数 值 2012 选择题 6 3 正比例函 数图象上 点的判断 8 3 已知两个 一次函数 解析式 ，求 交点坐标 4.2% 从近三年陕西中考题来看， 一次函数的考查内容主要集中在正比例函数图象的性质 及一次函数图象的性质，题型为选择题 ，分值为 3 分，对于正比例函数和一次函数图象的性 质， 经常会与反比例函数图象的性质结合起来进行考查，预计在 2015 年的中考中 ，仍会延 续以往考查方式进行考查，考生在复习时应熟练掌握本节的知识点，通过做习题多加训练
3、， 以便从容应考 1一次函数和正比例函数概念 形如函数 _ykxb(k，b 都是常数 ，且 k0)_叫做一次函数 ，其中 x 是自变量特 别地 ，当 b0 时，则把函数 _y kx_叫做正比例函数 2正比例函数ykx 的图象 过_(0，0)，(1，k)_两点的一条直线 3正比例函数ykx 的性质 (1)当 k0 时，_y 随 x 的增大而增大 _； (2)当 k0 时，_y 随 x 的增大而减小 _ 4一次函数ykxb 的图象 5一次函数ykxb 的性质 过_(0，b)，(b k，0)_的一条直线 (1)_当 k0 时，y 随 x 的增大而增大 _； (2)_当 k0 时，y 随 x 的增大而
4、减小 _ 6一次函数与一元一次方程，一元一次不等式的关系 (1)从数的方面看，一次函数y kxb(k0)的值为 0 时， 相应的自变量的值为方程kx b0(k0)的_解_，一次函数ykxb(k0)的值大于 (或者小于 )0，相应的自变量的值 为不等式kxb0(k0)(或 kxb0，k0)的_解集 _ (2)从形的角度看，一次函数ykxb(k0)的图象与x 轴的交点的 _横坐标 _就是方 程 kxb0(k0)的解 注意：不等式的解集有时可由对应的函数图象直接得出，不等式大于0 的解集就是函数 图象在 x 轴上方的部分的自变量的取值， 不等式小于0 的解集就是函数图象在x 轴下方的部 分的自变量的
5、取值 7二元一方程与一次函数的关系 (1)a.任意一个二元一次方程都可化成ykxb 的形式 ，即每个二元一次方程都对应一 个_一次 _函数 ， 也对应一条直线； b直线 y kxb 的每一个横、纵坐标均为这个二元一次方程_ykx b_的解 (2)二元一次方程组与一次函数的关系 a二元一次方程组中的每个方程可看作一个一次函数解析式； b求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数_交点 _的坐标注意：一次函数 ykxb 与直线 y kxb 的联系与区别 ，它们的图象形状都是直线，但前者 k0，b 为任 意实数 ，后者 k，b 都可以为任意实数 一个方法 待定系数法是求一次函数解析式的常用方法， 一
6、般是先设待求的函数关系式(其中含有 未知常数 )，再根据条件列出方程或方程组， 通过解方程或方程组，求出未知系数，从而得 到所求函数解析式的方法 即表示如下： 函数解析式 ykxb 选取 解出 满足条件的两定点 （x1， y1）与（ x2，y2） 画出 选取 一次函数的 图象：直线 l 两个区别 (1)正比例函数和一次函数的区别 正比例函数是一次函数的特殊情况，一次函数包括正比例函数也就是说： 如果一个函 数是正比例函数，那么一定是一次函数， 但是 ，一个函数是一次函数，不一定是正比例函数 (2)正比例和正比例函数的区别 成正比例的两个量之间的函数关系不一定是正比例函数， 但正比例函数的两个量
7、一定成 正比例 1(2014陕西 )若点 A(2， m)在正比例函数y 1 2x 的图象上 ，则 m 的值是 ( C ) A.1 4 B 1 4 C1D 1 2(2013陕西 )如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(2，m)，B(n，3)，那 么一定有 ( D ) Am0，n0 Bm0，n0 Dm0，n0 3(2013陕西 )根据下表中一次函数的自变量x 与函数 y 的对应值 ，可得 p 的值为 ( A ) x 2 0 1 y 3 p 0 A.1 B 1 C3 D 3 4(2012陕西 )下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是( A ) A(2.3)，(4，6) B( 2
8、，3)， (4，6) C(2，3)，(4，6) D(2, 3)，(4，6) 5(2012陕西 )在同一平面直角坐标系中，若一次函数y x3 与 y3x5 图象交于 点 M，则点 M 的坐标为 ( D ) A(1，4) B(1，2) C(2，1) D(2， 1) 待定系数法求一次函数的解析式 【例 1】(2014 怀化 )设一次函数ykx b(k0)的图象经过A(1，3)，B(0，2)两点 ， 试求 k， b的值 解：把 A(1 ，3)，B(0，2)代入 y kxb 得 kb3， b 2， 解得 k5， b 2， 即 k，b 的值分 别为 5， 2 【点评】(1)k，b 是一次函数ykxb 的未
9、知系数 ，这种先设待求函数关系式，再根 据条件列出方程或方程组，求出未知数 ，从而得出所求结果的方法，就是待定系数法(2) 函数中常用的方法还有代入法 1(2013河北 )如图 ，A(0，1)，M(3 ，2)，N(4，4)动点 P 从点 A 出发 ，沿 y 轴以每秒 1 个单位长的速度向上移动，且过点P 的直线l： y xb 也随之移动 ，设移动时间为t 秒 (1)当 t3 时，求 l 的解析式； (2)若点 M，N 位于 l 的异侧 ， 确定 t 的取值范围； (3)直接写出t 为何值时 ，点 M 关于 l 的对称点落在坐标轴上 解： (1)直线 y x b 交 y 轴于点 P(0，b)，
10、由题意得b0，t0，b1 t，当 t3 时， b4，y x4(2)当直线 y xb 过 M(3 ，2)时 ，2 3b，解得 b5，5 1t， t4，当直线 y xb 过 N(4，4)时， 4 4b，解得 b8，81t，t7， 点 M，N 位于 l 的异侧 ，4t7(3)t1 时，落在 y 轴上； t2 时，落在 x 轴上 一次函数与一次方程、一次不等式综合问题 【例 2】(1)已知一次函数yaxb(a0)中，x，y 的部分对应值如下表，那么关于x 的方程 axb0 的解是 _x2_ x 1 0 1 2 3 4 y 6 4 2 0 2 4 (2)若直线y xb 与 x 轴交于点 (2，0)，则关
11、于 x 的不等式 xb0 的解集是 _x 2_ 【点评】进一步熟悉函数图象的作法，通过图象体会一次函数与一元一次方程、一元 一次不等式的内在联系，提高识图能力一次函数ykx b，当 y 0，则 kxb0，得到 一元一次方程 ，当 y0，则有 kxb0， 得到一元一次不等式 2 (2014毕节 )如图 ， 函数 y2x 和 yax4 的图象相交于点A(m ， 3)， 则不等式2x ax 4 的解集为 ( A ) Ax 3 2 B x3 Cx 3 2 Dx3 试题如图 ， O 为矩形 ABCD 的中心 ，将直角三角板顶点与O 重合 ，转动三角板使两 直角边 始终与 BC，AB 相交 ， 交点分别为
12、M，N，如果 AB 4，AD 6，OMx，ONy， 则 y 与 x 的关系式是 ( ) Ay 2 3x By 6 x Cyx Dy 3 2x 错解B 剖析此题看起来有些无从下手，易估计直角三角形顶点与矩形ABCD 的中心 O 重合 时，转动三角板 ，与矩形重合的面积不变，即 S矩形OEBF 1 446(即取直角三角板的特殊情 形)，则易错误地得到x y6，即 y 6 x.但实际上 ，过点 O 作 AB，BC 的垂线 ，垂足分别为 点 E，F， 如图所示由于FOM EOM90，EON EOM 90，所以 EON FOM，又OEN OFM 90，因此 OFM OEN ，则 ON OM OE OF 3 2， 即 y 3 2x， 此时 ，可看出SOEN SOFM (OEOF)294， 所以 ，直角三角板与矩形ABCD 重合部 分面积并非定值6.此类题目不可以偏概全，用特殊位置、特殊值来考虑一般情形 正解D